2024屆遼寧省遼河油田二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2024屆遼寧省遼河油田二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A．8 B．7 C．6 D．52．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則的值是（）A． B． C． D．3．己知復(fù)數(shù)z1=3+ai(a∈R),z2A．-1 B．1 C．10 D．34．已知集合，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．5．某研究機(jī)構(gòu)在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無(wú)法確定6．岳陽(yáng)高鐵站進(jìn)站口有3個(gè)閘機(jī)檢票通道口，高考完后某班3個(gè)同學(xué)從該進(jìn)站口檢票進(jìn)站到外地旅游，如果同一個(gè)人進(jìn)的閘機(jī)檢票通道口選法不同，或幾個(gè)人進(jìn)同一個(gè)閘機(jī)檢票通道口但次序不同，都視為不同的進(jìn)站方式，那么這3個(gè)同學(xué)的不同進(jìn)站方式有（）種A．24 B．36 C．42 D．607．已知命題；命題若，則．則下列命題為真命題的是A． B．C． D．8．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．-832 B．-672 C．-512 D．-1929．曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙四人被北京大學(xué)、清華大學(xué)、武漢大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)錄取，他們分別被哪個(gè)學(xué)校錄取，同學(xué)們做了如下的猜想甲同學(xué)猜：曾玉被武漢大學(xué)錄取，李夢(mèng)被復(fù)旦大學(xué)錄取同學(xué)乙猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被北京大學(xué)錄取同學(xué)丙猜：曾玉被復(fù)旦大學(xué)錄取，李夢(mèng)被清華大學(xué)錄取同學(xué)丁猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被武漢大學(xué)錄取結(jié)果，恰好有三位同學(xué)的猜想各對(duì)了一半，還有一位同學(xué)的猜想都不對(duì)那么曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙四人被錄取的大小可能是（）A．北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)B．武漢大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、北京大學(xué)C．清華大學(xué)、北京大學(xué)、武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)D．武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)10．已知直線傾斜角是，在軸上截距是，則直線的參數(shù)方程可以是（）A． B． C． D．11．設(shè)，則等于（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下圖，則___________．123414．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______..（用數(shù)字作答）15．設(shè)函數(shù)（，，為常數(shù)，且，，）的部分圖象如圖所示，則_____.16．某校共有教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為的樣本，已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為50人，那么的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）對(duì)任意正整數(shù)n，設(shè)表示n的所有正因數(shù)中最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的等差中項(xiàng)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常數(shù)s，t，使得對(duì)一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系.已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）設(shè)是參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)且,求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，求的取值范圍；（2）若的圖像與相切，求的值．21．（12分）如圖，四邊形中，，，，為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起到達(dá)的位置（折起后點(diǎn)記為）．（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．22．（10分）一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)函數(shù)：，，，（I）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由得，即，然后即可求出答案【題目詳解】因?yàn)?，所以所以即，即解得故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查的是排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算，較簡(jiǎn)單.2、B【解題分析】

因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，即，數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，，故選B.3、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念求得.【題目詳解】由已知得：z1z所以3-3a=09+a≠0,解得：故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

先分別求出集合A與集合B，再判別集合A與B的關(guān)系，得出結(jié)果.【題目詳解】，【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

求出樣本的中心點(diǎn)，計(jì)算出，從而求出回歸直線方程，個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方的有三個(gè)，算出概率即可?！绢}目詳解】由題可得，因?yàn)榫€性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，所以，所以，故個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方有，，，共個(gè)，所以概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。6、D【解題分析】分析：三名同學(xué)可以選擇1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，三種情況分別計(jì)算進(jìn)站方式即可得到總的進(jìn)站方式.詳解：若三名同學(xué)從3個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，則有種；若三名同學(xué)從2個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，則有種；若三名同學(xué)從1個(gè)不同的檢票通道口進(jìn)站，則有種；綜上，這3個(gè)同學(xué)的不同進(jìn)站方式有種，選D.點(diǎn)睛：本題考查排列問(wèn)題，屬于中檔題，解題注意合理分類討論，而且還要注意從同一個(gè)進(jìn)站口進(jìn)入的學(xué)生的不同次序.7、B【解題分析】試題分析：顯然命題是真命題；命題若，則是假命題，所以是真命題，故為真命題.考點(diǎn)：命題的真假.8、A【解題分析】

求出展開(kāi)式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即可.【題目詳解】含的項(xiàng)的系數(shù)即求展開(kāi)式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即含的項(xiàng)的系數(shù)是．故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，屬于中檔題．9、D【解題分析】

推理得到甲對(duì)了前一半，乙對(duì)了后一半，丙對(duì)了后一半，丁全錯(cuò)，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意：甲對(duì)了前一半，乙對(duì)了后一半，丙對(duì)了后一半，丁全錯(cuò)，曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙被錄取的大學(xué)為武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)（另外武漢大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)也滿足）.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的推理能力.10、D【解題分析】

由傾斜角求得斜率,由斜截式得直線方程,再將四個(gè)選項(xiàng)中的參數(shù)方程化為普通方程,比較可得答案.【題目詳解】因?yàn)橹本€傾斜角是,所以直線的斜率,所以直線的斜截式方程為:,由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故正確;故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線方程的斜截式,參數(shù)方程化普通方程,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

利用計(jì)算出定積分的值.【題目詳解】依題意得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查定積分的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

依題意可知，根據(jù)分布列計(jì)算可得；【題目詳解】解：依題意可得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與和概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、6【解題分析】

將題中所給的式子變形，即，可以發(fā)現(xiàn)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為中展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)，借助于二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，可得，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為中展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)，為，故答案是：6.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，在解題的過(guò)程中，也可以將兩個(gè)式子按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，從而求得其系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題目.15、【解題分析】

由圖像可以計(jì)算出，，的值，即可得到三角函數(shù)表達(dá)式，然后計(jì)算出結(jié)果【題目詳解】由圖可知：，由，得，從而.將點(diǎn)代入，得，即，又，所以，得.所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了由函數(shù)圖像求三角函數(shù)的表達(dá)式，熟練掌握?qǐng)D像是解題關(guān)鍵，較為基礎(chǔ)16、120【解題分析】分析：根據(jù)分層抽樣的原則先算出總體中女學(xué)生的比例，再根據(jù)抽取到女學(xué)生的人數(shù)計(jì)算樣本容量n詳解：因?yàn)楣灿薪處?00人,男學(xué)生1200人,女學(xué)生1000人所以女學(xué)生占的比例為女學(xué)生中抽取的人數(shù)為50人所以所以n=120點(diǎn)睛：分層抽樣的實(shí)質(zhì)為按比例抽，所以在計(jì)算時(shí)要算出各層所占比例再乘以樣本容量即為該層所抽取的個(gè)數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，，，；（2），見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）根據(jù)定義計(jì)算即可；（2）先由，，確定出s，t的值，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【題目詳解】（1）1的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，2的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，3的最大正奇因數(shù)為3，最小正奇因數(shù)為1，所以，4的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，5的最大正奇因數(shù)為5，最小正奇因數(shù)為1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，，成立；②假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.所以.所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.綜合①②可知，對(duì)一切且恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列中的新定義問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.18、（1）(t為參數(shù))；（2）.【解題分析】

（1）先將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，代入，求得的值，由此求得直線的參數(shù)方程.（2）先求得曲線的直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合利用參數(shù)的幾何意義列方程，解方程求得的值.【題目詳解】（1）由得直線，代入，求得，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）由得.將代入并化簡(jiǎn)得，所以，由于在直線上，由得，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)根舍去）.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查直線參數(shù)方程及直線參數(shù)的運(yùn)用，屬于中檔題.19、（1），；（2）【解題分析】分析：（1）將參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)可得直線的普通方程，利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）先證明直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓的內(nèi)部.當(dāng)直線與線段垂直時(shí)，取得最小值，利用勾股定理可得結(jié)果..詳解：（1）將（為參數(shù)，）消去參數(shù)，得直線，，即.將代入，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的普通方程為，其中，又，∴，則直線過(guò)定點(diǎn)，∵圓的圓心，半徑，，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部.當(dāng)直線與線段垂直時(shí)，取得最小值，∴.點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及勾股定理求圓的弦長(zhǎng)，屬于中檔題.消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將和換成和即可.20、（1）；（2）1【解題分析】

（1）由題意可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值，即可得到所求范圍；（2）設(shè)的圖象與相切于點(diǎn)，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)滿足曲線方程，解方程即可得到所求值．【題目詳解】（1）由得.，從而，即．設(shè).，則，（）所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故的取值范圍是．（2）設(shè)的圖像與相切于點(diǎn)，依題意可得因?yàn)?，所以消去可得．令，則，顯然在上單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)．故．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在改點(diǎn)處切線的斜率，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的關(guān)系，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．21、(1)見(jiàn)證明；(2)【解題分析】

（１）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明面，從而推得；（２）以為原點(diǎn)，以，分別為，建立空間直角坐標(biāo)，分別求出面的法向量和面的法向量為，根據(jù)二面角的余弦值公式即可求解出結(jié)果．【題目詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，，所以面，又因?yàn)槊?，所以．?）解：以為原點(diǎn)，以，分別為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，