河南省商開大聯(lián)考2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

河南省商開大聯(lián)考2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則常數(shù)（）A．-2 B．0 C．2 D．43．在一個棱長為的正方體的表面涂上顏色，將其適當(dāng)分割成棱長為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個，取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色的概率是（）A． B． C． D．4．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的虛部相等，則實數(shù)的值是A． B．2 C．1 D．5．干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數(shù)學(xué)王子高斯出生的1777年是干支紀(jì)年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年6．“”是“方程所表示的曲線是橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．在橢圓中，分別是其左右焦點，若，則該橢圓離心率的取值范圍是()A． B． C． D．8．從5個中國人、4個美國人、3個日本人中各選一人的選法有（）A．12種 B．24種 C．48種 D．60種9．下面有五個命題：①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπA．①③ B．①④ C．②③ D．③④10．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．111．若點P在拋物線上，點Q（0,3），則|PQ|的最小值是（）A． B． C． D．12．若實數(shù)滿足，則的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某單位為了了解用電量(單位:千瓦時)與氣溫(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表:氣溫/℃181310-1用電量/千瓦時24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中,預(yù)測當(dāng)氣溫為℃時,用電量的千瓦時數(shù)約為_____.14．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于，兩點，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，當(dāng)點坐標(biāo)為時，為正三角形，則______.15．連續(xù)3次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，在至少有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為．16．設(shè)圓x2+y2＝1上的動點P到直線3x+4y﹣10＝0的距離為d，則d的最大值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；若在處取得極值，直線y=與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍．18．（12分）已知，，.求與的夾角；若，，，，且與交于點，求.19．（12分）已知數(shù)列的首項為1.記.（1）若為常數(shù)列，求的值：（2）若為公比為2的等比數(shù)列，求的解析式：（3）是否存在等差數(shù)列，使得對一切都成立？若存在，求出數(shù)列的通項公式：若不存在，請說明理由.20．（12分）（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個“安檢”入口，每個入口每次只能進(jìn)1個旅客求—個小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫出計算過程.21．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值.22．（10分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

化簡復(fù)數(shù)，計算，再計算對應(yīng)點的象限.【題目詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)點為：故答案選A【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點象限，意在考查學(xué)生的計算能力.2、C【解題分析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值是，則值可求．詳解：令，解得：或，

令，解得：

∴在遞增，在遞減，，

故答案為：2點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結(jié)果，根據(jù)古典概型及其概率的計算公式，即可求解．【題目詳解】由題意，在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，可得試驗發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結(jié)果，所以所求概率為．故選：C．【題目點撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應(yīng)用，其中解答根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得出基本事件的總數(shù)和所求事件所包含基本事件的個數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

先化簡與，再根據(jù)它們虛部相等求出m的值.【題目詳解】由題得，因為復(fù)數(shù)與的虛部相等，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，按照這個規(guī)律進(jìn)行推理，即可得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】分析：根據(jù)橢圓的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．詳解：若方程表示的曲線為橢圓，則，且，反之，“”不能得到方程所表示的曲線是橢圓”，如故“”是“方程所表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件.選B.點睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬基礎(chǔ)題.．7、B【解題分析】解：根據(jù)橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，將設(shè)|PF1|=2|PF2|代入得|PF2|=根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，|PF2|≥a-c，故≥a-c，即a≤3ce≥，又e＜1，故該橢圓離心率的取值范圍故選B．8、D【解題分析】

直接根據(jù)乘法原理得到答案.【題目詳解】根據(jù)乘法原理，一共有種選法.故選：.【題目點撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.9、B【解題分析】

①先進(jìn)行化簡，再利用求周期的公式即可判斷出是否正確；②對k分奇數(shù)、偶數(shù)討論即可；③令h（x）=x﹣sinx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；④利用三角函數(shù)的平移變換化簡求解即可．【題目詳解】①函數(shù)y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T=2π2=π，∴函數(shù)y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①②當(dāng)k=2n（n為偶數(shù)）時，a=2nπ2=nπ，表示的是終邊在x軸上的角，故②③令h（x）=x﹣sinx，則h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數(shù)h（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，故函數(shù)y=sinx與y=x最多只能一個交點，因此③不正確；④把函數(shù)y=3sin（2x+π3）的圖象向右平移π6得到y(tǒng)=3sin（2x﹣π3綜上可知：只有①④正確．故選B．【題目點撥】本題綜合考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、三角函數(shù)取值及終邊相同的角，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡和利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．10、A【解題分析】

根據(jù)的定積分的計算法則計算即可．【題目詳解】0πsinxdx＝（-cos故選：A．【題目點撥】本題考查了定積分的計算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】試題分析：如圖所示，設(shè)，其中，則，故選B.考點：拋物線.12、C【解題分析】分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求z的取值范圍.詳解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)，得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最小，此時z最小，為，當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時時z最大，為，即.故選：C.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、68.【解題分析】分析：先求出樣本中心，根據(jù)回歸直線方程過樣本中心求得，然后再進(jìn)行估計．詳解：由題意得，∴樣本中心為．∵回歸直線方程過樣本中心，∴，∴．∴回歸直線方程為．當(dāng)時，，即預(yù)測當(dāng)氣溫為℃時,用電量的千瓦時數(shù)約為．點睛：在回歸分析中，線性回歸方程過樣本中心是一個重要的結(jié)論，利用此結(jié)論可求回歸方程中的參數(shù)，也可求樣本點中的參數(shù)．另外，利用回歸方程可進(jìn)行估計、作出預(yù)測．14、2【解題分析】

設(shè)點在第一象限，根據(jù)題意可得直線的傾斜角為，過點作軸，垂足為，由拋物線的定義可得,，通過解直角三角形可得答案.【題目詳解】設(shè)點在第一象限，過點作軸，垂足為,由為正三角形，可得直線的傾斜角為.由拋物線的定義可得,又,所以在中有：.即，解得：.故答案為：2【題目點撥】本題考查拋物線中過焦點的弦的性質(zhì)，屬于難題.15、【解題分析】試題分析：至少有一次正面向上的概率為，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為，那么滿足題意的概率為．考點：古典概型與排列組合．16、3【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離加上半徑，再由點到直線的距離公式可得結(jié)果.【題目詳解】依題意可知，圓x2+y2＝1上的動點P到直線3x+4y﹣10＝0的距離的最大值等于圓心到直線的距離加上半徑，因為圓心到直線為，圓的半徑為1，所以的最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

解：（Ⅰ），

①當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0即，解得或，

由f′（x）＜0得，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為和（，＋∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是．

（Ⅱ）因為f（x）在x＝?1處取得極大值，

所以，∴a＝1．

所以，

由f′（x）＝0解得．

由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x＝?1處取得極大值f（?1）＝1，

在x＝1處取得極小值f（1）＝?2．

因為直線y＝m與函數(shù)y＝f（x）的圖象有三個不同的交點，

結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，m的取值范圍是（?2，1）；18、；.【解題分析】

化簡得到，再利用夾角公式得到答案.，根據(jù)向量關(guān)系化簡得到，再平方得到得到答案.【題目詳解】，.又，，，..又，.，，，，.【題目點撥】本題考查了向量的計算，將表示出來是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對于向量公式的靈活運用和計算能力.19、（1）（2）（3）存在等差數(shù)列滿足題意，【解題分析】

(1)根據(jù)常數(shù)列代入其值得解；(2)根據(jù)等比數(shù)列和用賦值法解決二項式展開式的相關(guān)問題求解；(3)對于開放性的問題先假設(shè)存在等差數(shù)列，再推出是否有恒成立的結(jié)論存在，從而得結(jié)論.【題目詳解】解：（1）∵為常數(shù)列，∴.∴（2）∵為公比為2的等比數(shù)列，.∴∴故.（3）假設(shè)存在等差數(shù)列，使得對一切都成立，設(shè)公差為，則相加得∴.∴恒成立，即恒成立，∴故能為等差數(shù)列，使得對一切都成立，它的通項公式為【題目點撥】本題關(guān)鍵在于觀察所求式子的特征運用二項式展開式中的賦值法的思想，屬于難度題.20、（1）56；（2）840種，計算過程見解析【解題分析】

（1）利用隔板法求結(jié)果；（2）將問題分4種情況分別得出其方案數(shù)，可求得結(jié)果，注意需考慮從同一個安檢口的旅客的通過順序.【題目詳解】（1）若定義，其中，則是從方程的非負(fù)整數(shù)解集到方程的正整數(shù)解集的映射，利用隔板法得，方程正整數(shù)解得個數(shù)是從而方程的非負(fù)整數(shù)解得個數(shù)也是56；（2）這4名旅客通過安檢口有4種情況：從1個安檢口通過，從2個安檢口通過，從3個安檢口通過，從4個安檢口通過。從1個安檢口通過共有：種方案；從2個安檢口通過，可能有1個安檢口通過1人，另一個安檢口通過3人有：種方案；從2個安檢口通過，可能每一個安檢口都通過2人有：種方案；從3個安檢口通過，可能有2個安檢口各通過1人，有1個安檢口通過2人有：種方案；從4個安檢口通過共有：種方案，所以這4個旅客進(jìn)站的不同方案有：種.【題目點撥】本題考查利用隔板法解決不定方程非負(fù)整數(shù)解問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、(1)見解析；(2)的最大值為1.【解題分析】

（1）根據(jù)的不同范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到的單調(diào)性；（2）方法一：構(gòu)造新函數(shù)，通過討論的范圍，判斷單調(diào)性，從而確定結(jié)果；方法二：利用分離變量法，把問題變?yōu)椋蠼夂瘮?shù)最小值得到結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，令，解得：在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞減（2）由題意得：即對于恒成立方法一、令，則當(dāng)時，在上遞增，且，符合題意；當(dāng)時，時，單調(diào)遞增則存在，使得，且在上遞減，在上遞增由得：又整數(shù)的最大值為另一方面，時，，，時成立方法二、原不等式等價于：恒成立令令，則在上遞增，又，存在，使得且在上遞減，在上遞增又，又，整數(shù)的最大值為【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)當(dāng)中的恒成立問題.處理恒成立問題一方面可以構(gòu)造新函數(shù)，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性，求解出范圍；另一方面也可以采用分離變量的方式，得到參數(shù)與新函數(shù)的大小關(guān)系，最終確定結(jié)果.22、（1）．（