湖南省瀏陽市六校聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖南省瀏陽市六校聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓，則以點為中點的弦所在直線方程為（）A． B．C． D．2．已知向量，且，則等于（）A．1 B．3 C．4 D．53．已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)=x2A．f(x)=x2C．f(x)=x24．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A．8 B．6 C．4 D．25．已知圓(x+1)2+y2=12的圓心為C，點P是直線l:mx-y-5m+4=0上的點，若圓C上存在點Q使∠CPQ=A．1-306C．0,1256．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時的過程中，由到時，不等式的左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項C．增加了兩項，又減少了一項D．增加了一項，又減少了一項7．已知函數(shù)是偶函數(shù)（且）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使不等式成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．8．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．在平面幾何里有射影定理：設(shè)三角形的兩邊，是點在上的射影，則.拓展到空間，在四面體中，面，點是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)與（且）的圖象關(guān)于直線對稱，則“是增函數(shù)”的一個充分不必要條件是()A． B． C． D．11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．12．設(shè)，若，則實數(shù)是（）A．1 B．-1 C． D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的前項和為.若，則______．14．設(shè)隨機變量的分布列為為常數(shù)，則______15．已知向量，其中，若與共線，則的最小值為__________．16．已知拋物線的焦點為，點在上，以為圓心的圓與軸相切，且交于點，若，則圓截線段的垂直平分線所得弦長為，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求過點P(3,4)且在兩個坐標(biāo)軸上截距相等的直線l1（2）求過點A(3,2)，且與直線2x-y+1=0垂直的直線l218．（12分）如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點．（Ⅰ）求r的取值范圍（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標(biāo)．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．20．（12分）的展開式中若有常數(shù)項，求最小值及常數(shù)項．21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.22．（10分）（1）證明不等式：，；（2）已知，；；p是q的必要不充分條件，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用點差法求出直線的斜率，再利用點斜式即可求出直線方程．【題目詳解】解：設(shè)以點為中點的弦與橢圓交于點，，，，則，，分別把點，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，兩式相減得：，，直線的斜率，以點為中點的弦所在直線方程為：，即，故選：．【題目點撥】本題主要考查了點差法解決中點弦問題，屬于中檔題．2、D【解題分析】

先根據(jù)已知求出x,y的值，再求出的坐標(biāo)和的值.【題目詳解】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以，故答案為D【題目點撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算和向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.3、A【解題分析】

先對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，然后將x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，可求出f'(1)=-2，從而得到f(x)【題目詳解】由題意，f'(x)=2x+2f'(1)，則f故答案為A.【題目點撥】本題考查了函數(shù)解析式的求法，考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】試題分析：如圖，設(shè)拋物線方程為，交軸于點，則，即點縱坐標(biāo)為，則點橫坐標(biāo)為，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦點到準(zhǔn)線的距離為4，故選B.考點：拋物線的性質(zhì).5、C【解題分析】

問題轉(zhuǎn)化為C到直線l的距離d?4.【題目詳解】如圖所示：過P作圓C的切線PR，切點為R，則∠CPQ?∠CPR，∴sin60°?sin∴CPmin?4，則C到直線l∴|-m-0-5m+4|m2故選：C．【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．6、C【解題分析】解：n=k時，左邊="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k時，左邊="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故選C7、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，在是增函數(shù)，再根據(jù)為偶函數(shù)，根據(jù)，解得的解集．【題目詳解】解：令，，時，，時，，在上是減函數(shù)，是偶函數(shù)（2），當(dāng)，（2），即，當(dāng)時，（2），即，是偶函數(shù)，當(dāng)，，故不等式的解集是，故選：．【題目點撥】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想．解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過構(gòu)造函數(shù)解決，屬于中檔題．8、D【解題分析】

化簡復(fù)數(shù)為的形式，求得復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，由此判斷所在的象限.【題目詳解】，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第四象限.故選D.【題目點撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)的運算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)所在象限.9、A【解題分析】

由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【題目詳解】由已知在平面幾何中，若中，是垂足，則，類比這一性質(zhì)，推理出：若三棱錐中，面面，為垂足，則．故選A．【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，其中類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想），著重考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】分析：先求出，再利用充分不必要條件的定義得到充分不必要條件.詳解：因為函數(shù)與（且）的圖象關(guān)于直線對稱，所以.選項A,是“是增函數(shù)”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項B,是“是增函數(shù)”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項C,是“是增函數(shù)”的充分非必要條件，所以是正確的.選項D,是“是增函數(shù)”的充分必要條件，所以是錯誤的.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查充分條件必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)已知命題是條件，命題是結(jié)論,充分條件：若，則是充分條件.必要條件：若，則是必要條件.11、D【解題分析】

函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點等價于當(dāng)x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，即可即m=f（x）有3個不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范圍．【題目詳解】函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點，則當(dāng)x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①當(dāng)0<x＜2時，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，當(dāng)x=時有最大值，即為f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域為（﹣2，]，②當(dāng)x≥2時，f（x）=＜0，且當(dāng)x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，當(dāng)2≤x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x≥3時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域為[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴當(dāng)﹣＜m＜0時，當(dāng)x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，故當(dāng)﹣＜m＜0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點，當(dāng)x=0時,函數(shù)有5個零點．故選D.【題目點撥】(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函數(shù)的零點問題常用的有方程法、圖像法和方程+圖像法.本題利用的就是方程+圖像法.12、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計算即可得到答案.【題目詳解】解得a=-1,故選B【題目點撥】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計算，解決策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式;(2)求f(f(f(a)))的值時，一般要遵循由里向外逐層計算的原則.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、65【解題分析】

由可得，再由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得結(jié)果.【題目詳解】在等差數(shù)列中，由，可得，即，即，，故答案為65.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.解答等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項和的關(guān)系.14、【解題分析】

由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．【題目詳解】隨機變量ξ的分布列為P（ξ=k）=，k=1，2，3，∴=1，即，解得c=，∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）===．故答案為．【題目點撥】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分布列的合理運用．15、【解題分析】

根據(jù)兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到結(jié)果.【題目詳解】∵，，其中，且與共線∴，即∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號∴的最小值為.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)向量共線的條件，涉及到的知識點有向量共線坐標(biāo)所滿足的條件，利用基本不等式求最值，屬于簡單題目.16、【解題分析】

根據(jù)條件以A為圓心的圓與y軸相切，且交AF于點B，，求出半徑，然后根據(jù)垂徑定理建立方程求解【題目詳解】設(shè)，以為圓心的圓與軸相切，則半徑，由拋物線的定義可知，，又，∴，解得，則，圓A截線段AF的垂直平分線所得弦長為，即，解得．故答案為1．【題目點撥】本題主要考查了拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用拋物線的定義，合理利用圓的弦長是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4x-3y=0或x+y-7=0（2）x+2y-7=0【解題分析】

（1）需分直線過原點，和不過原點兩種情況，過原點設(shè)直線l1:y=kx，不過原點時，設(shè)直線l2:xa+y【題目詳解】解：（1）當(dāng)直線過原點時，直線方程為：4x-3y=0；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為x+y=a，把點P3,4代入直線方程，解得a=7所以直線方程為x+y-7=0．（2）設(shè)與直線l：2x-y+1=0垂直的直線l1的方程為：x+2y+m=0，把點A3,2代入可得，3+2×2=m，解得m=-7．∴過點A3,2，且與直線l垂直的直線l【題目點撥】本題考查了直線方程的求法，屬于簡單題型.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（）【解題分析】（Ⅰ）聯(lián)立方程組與，可得，所以方程由兩個不等式正根由此得到解得，所以r的范圍為（Ⅱ）不妨設(shè)E與M的四個交點坐標(biāo)分別為設(shè)直線AC,BD的方程分別為，解得點p的坐標(biāo)為設(shè)t=，由t=及（1）可知由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積將代入上式，并令，得求導(dǎo)數(shù)，令，解得當(dāng)時，，當(dāng)，；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，由最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標(biāo)為（）19、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對求導(dǎo)，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點存在定理可得a的取值范圍.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，等價于，即；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，而，故，即．（2），設(shè)函數(shù)，則；（i）當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個零點，且當(dāng)時，，時，，由于，所以是的唯一極值點；（ii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無極值點；（iii）當(dāng)時，若時，；若時，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，①若時，由于，故只有一個零點，所以時，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；②若時，由于，即，所以，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；③若時，，即．又，且，而由（1）知，所以，取c滿足，則故在有唯一一個零點，在有唯一一個零點；且當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，即在上有兩個極值點．綜上，只有一個極值點時，的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，及函數(shù)的零點存在定理，注意分類討論思想的運用.20、的最小值為；常數(shù)項為.【解題分析】

求出二項式展開式的通項，由可求出的最小值，并求出對應(yīng)的值，代入通項即可得出所求的常數(shù)項.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，得，所以，的最小值為，此時.此時，展開式中的常數(shù)項為.【題目點撥】本題考查利用二項式定