2024屆福建省廈門市廈門第一中學數學高二下期末檢測試題含解析

2024屆福建省廈門市廈門第一中學數學高二下期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上單調遞減，則a的取值范圍為()A．a≥3B．a>3C．a≤3D．a<32．下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間上單調遞減的函數是（）A． B． C． D．3．已知函數，若，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．函數的最小正周期為（）A． B． C． D．5．下列點不在直線(t為參數)上的是()A．(－1，2) B．(2，－1)C．(3，－2) D．(－3，2)6．已知，，，若>恒成立，則實數m的取值范圍是A．或 B．或C． D．7．若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如.如圖程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于()A．4 B．8 C．16 D．328．若函數沒有極值，則實數a的取值范圍是()A． B． C． D．9．數學40名數學教師，按年齡從小到大編號為1,2，…40?，F從中任意選取6人分成兩組分配到A,B兩所學校從事支教工作，其中三名編號較小的教師在一組，三名編號較大的教師在另一組，那么編號為8,12,28的數學教師同時入選并被分配到同一所學校的方法種數是A．220 B．440 C．255 D．51010．已知復數滿足，則其共軛復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知，，的實部與虛部相等，則（）A．2 B． C．2 D．12．已知集合，，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=______.14．若函數在和時取極小值，則實數a的取值范圍是________．15．現有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張．從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張．不同取法的種數為．16．中，，則邊上中線的長為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若對于一切，均有成立，求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數的最大值為4.（1）求實數的值；（2）若，求的最小值.19．（12分）已知函數的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數，，滿足，求：的最小值.20．（12分）設是等差數列，，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）記的前項和為，求的最小值.21．（12分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中語文、數學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據想考取的高校及專業(yè)的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應對新高考，某學校從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，根據性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學生進行調查.（1）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如下表是根據調查結果得到的列聯(lián)表.請求出和，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；選擇“物理”選擇“歷史”總計男生10女生25總計（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機抽取4人，設這4人中選擇“歷史”的人數為，求的分布列及數學期望.參考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）甲盒有標號分別為1、2、3的3個紅球;乙盒有標號分別為1、2、3、4的4個黑球,從甲、乙兩盒中各抽取一個小球.(1)求抽到紅球和黑球的標號都是偶數的概率;(2)現從甲乙兩盒各隨機抽取1個小球,記其標號的差的絕對值為,求的分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】∵f(x)=x3?ax?1，∴f′(x)=3x2?a，要使f(x)在(?1,1)上單調遞減，則f′(x)?0在x∈(?1,1)上恒成立，則3x2?a?0，即a?3x2，在x∈(?1,1)上恒成立，在x∈(?1,1)上，3x2<3，即a?3，本題選擇A選項.2、B【解題分析】

根據函數單調性和奇偶性的性質分別對選項進行判斷即可【題目詳解】對于A，為奇函數，在區(qū)間為單調增函數，不滿足題意；對于B,為偶函數，在區(qū)間上為單調遞減的函數，故B滿足題意；對于C,為偶函數，在區(qū)間上為周期函數，故C不滿足題意；對于D,為偶函數，在區(qū)間為單調增函數，故D不滿足題意；故答案選B【題目點撥】本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，要求熟練掌握常見函數的奇偶性和單調性的性質.3、D【解題分析】

根據題意將問題轉化為，記，從而在上單調遞增，從而在上恒成立，利用分離參數法可得，結合題意可得即可.【題目詳解】設，因為，所以.記，則在上單調遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因為，所以函數在上單調遞增，故有.因為，所以，即.故選：D【題目點撥】本題考查了導數在不等式恒成立中的應用、函數單調性的應用，屬于中檔題.4、B【解題分析】

先利用二倍角的余弦公式化簡函數解析式，然后利用周期公式可求答案．【題目詳解】函數的最小正周期為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，屬基礎題．5、D【解題分析】

先求出直線l的普通方程，再把點的坐標代入檢驗，滿足則在直線l上，否則不在.【題目詳解】直線l的普通方程為x＋y－1＝0，因此點(－3，2)的坐標不適合方程x＋y－1＝0.故答案為D【題目點撥】(1)本題主要考查參數方程和普通方程的互化，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)參數方程消參常用的方法有三種:加減消參、代入消參、恒等式消參法.6、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結構的最值，用“1”的替換是均值不等式的應用，構造出的模型，再驗證條件。7、C【解題分析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不滿足模3余2.i=4,n=17,滿足模3余2,不滿足模5余1.i=8,n=25,不滿足模3余2,i=16,n=41,滿足模3余2,滿足模5余1.輸出i=16.選C．8、A【解題分析】

由已知函數解析式可得導函數解析式，根據導函數不變號，函數不存在極值點，對討論，可得答案．【題目詳解】∵，∴，①當時，則，在上為增函數，滿足條件；②當時，則，即當時，恒成立，在上為增函數，滿足條件綜上，函數不存在極值點的充要條件是：．故選：A．【題目點撥】本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，本題是一道基礎題．9、D【解題分析】分析：根據題意，分析可得“編號為8,12,28的數學教師同時入選并被分配到同一所學?！保瑒t除8,12,28之外的另外三人的編號必須都大于28或都小于8，則先分另外三人的編號必須“都大于28”或“都小于8”這兩種情況討論選出其他三人的情況，再將選出2組進行全排列，最后由分步計數原理計算可得答案.詳解：根據題意，要確?！熬幪枮?,12,28的數學教師同時入選并被分配到同一所學校”，則除8,12,28之外的另外三人的編號必須都大于28或都小于8，則分2種情況討論選出的情況：①如果另外三人的編號都大于28，則需要在29—40的12人中，任取3人，有種情況；②如果另外三人的編號都小于8，則需要在1—7的7人中，任取3人，有種情況.即選出剩下3人有種情況，再將選出的2組進行全排列，有種情況，則編號為8,12,28的數學教師同時入選并被分配到同一所學校的方法種數是種.故選：D.點睛：本題考查排列組合的應用，解題的關鍵是分析如何確?！熬幪枮?,12,28的數學教師同時入選并被分配到同一所學?！?，進而確定分步，分類討論的依據.10、B【解題分析】分析：先求出z，然后根據共軛復數定義結合復數坐標寫法即可.詳解：由題可知：，所以所對應的坐標為（-1,1），故在第二象限，選B.點睛：考查復數的除法運算，復數的坐標表示，屬于基礎題.11、C【解題分析】

利用待定系數法設復數z，再運用復數的相等求得b.【題目詳解】設（），則即.故選C.【題目點撥】本題考查用待定系數法，借助復數相等建立等量關系，是基礎題.12、C【解題分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【題目詳解】則故選：C【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、函數性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

∵平面向量與的夾角為，∴.∴故答案為.點睛：(1)求向量的夾角主要是應用向量的數量積公式．(2)常用來求向量的模．14、.【解題分析】分析：根據題意在和時取極小值即0,1為導函數等于零的根，故可分解因式導函數，然后根據在0,1處要取得極小值從而確定a的取值范圍.詳解：由題可得：，令故原函數有三個極值點為0,1，a，即導函數有三個解，由在0,1處要取得極小值所以0和1的左邊導函數的值要為負值，右邊要為正值，故a值只能放在0和1的中間，所以a的取值范圍是.點睛：考查函數的極值點的定義和判斷，對定義的理解是解題關鍵，屬于中檔題.15、【解題分析】

利用間接法，計算取3張卡片的總數，然后分別計算取3張同色，2張紅色的方法數，最后做差，可得結果.【題目詳解】由題可知：16張取3張卡片的所有結果為取到3張都是同色的結果數為取到2張都是紅色的結果數為.故答案為：【題目點撥】本題考查組合的應用，巧用間接法，審清題意，細心計算，屬基礎題.16、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達式，代入上式可以直接求出的長．【題目詳解】由余弦定理可知：,設，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【題目點撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應用中點三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；（2）將不等式轉化為恒成立問題，分離參數，借助基本不等式得到的取值范圍.詳解：（1）∵，∴，∴，∴的解集為；（2）∵，∴當時，恒成立，∴，∴對一切均有成立，又，當且僅當時，等號成立.∴實數的取值范圍為.點睛：本題考查了一元二次不等式的解法，以及將不等式轉化為恒成立問題，分離參數，基本不等式的應用.18、（1）；（2）.【解題分析】【試題分析】(1)利用絕對值不等式,消去,可求得實數的值.(2)由(1)得.利用配湊法,結合基本不等式可求得最小值.【試題解析】（1）由，當且僅當且當時取等號，此時取最大值，即；（2）由（1）及可知，∴，則，（當且僅當，即時，取“=”）∴的最小值為4.19、（1）（2）3.【解題分析】

將絕對值函數寫成分段函數形式，分別求出各段的最小值，最小的即為函數的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均數算數平均數，即可解出最小值?！绢}目詳解】（1）如圖所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴當且僅當，是值最小∴的最小值為3.【題目點撥】本題考查絕對值函數及平方平均數與算數平均數的大小關系，屬于基礎題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用等差數列通項公式和等比數列的性質，列出方程求出，由此能求出的通項公式．（2）由，，求出的表達式，然后轉化求解的最小值．【題目詳解】解：（1）是等差數列，，且，，成等比數列．，，解得，．（2）由，，得：，或時，取最小值．【題目點撥】本題考查數列的通項公式、前項和的最小值的求法，考查等差數列、等比數列的性質等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．21、（1），，有的把握認為選擇科目與性別有關.詳見解析（2）見解析【解題分析】

（1）完善列聯(lián)表，計算，再與臨界值表進行比較得到答案.（2）這4名女生中選擇歷史的人數可為0，1，2，3，4.分別計算對應概率，得到分布列，再計算數學期望.【題目詳解】（1）由題意，男生人數為，女生人數為，所以列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“歷史”總計男生451055女生252045總計7030100，.假設：選擇科目與性別無關，所以的觀測值，查表可得：，所以有的把握認為選擇科目與性別有關.（2）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理，4人選擇歷史，9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇歷史的人數可為0，1，2，3，4.設事件發(fā)生概率為，則，，，，.所以的分布列為：01234所以的數學期望.【