2024屆郴州市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆郴州市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3個點的小圓周長為，那么這個球的半徑為（）A． B． C． D．2．等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，則a2的取值范圍為（）A． B． C． D．3．的展開式中的系數(shù)為（）A．100 B．80 C．60 D．404．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．5．若直線是曲線的切線，則（）A． B．1 C．2 D．6．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．187．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8048．小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小明的父母都不與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為（）A．12 B．36 C．84 D．969．若函數(shù)則（）A．-1 B．0 C．1 D．210．在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，且，若，則邊的最小值為（）A． B． C． D．11．已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．12．甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，分別以，，表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結(jié)論中不正確的是（）A．事件與事件不相互獨立 B．、、是兩兩互斥的事件C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，，若，則實數(shù)的值為_______．14．在的展開式中，含項的系數(shù)是_______________.15．已知(1-2x)2018=a16．已知拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，若C經(jīng)過點，則其焦點到準線的距離為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點陣表示，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派將其稱為正方形數(shù)，記第個數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開式的二項式系數(shù)，，…，，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.（1）求和的通項公式；（2）當時，比較與的大小，并加以證明.18．（12分）隨著生活水平的提高，越來越多的人參與了潛水這項活動.某潛水中心調(diào)查了100名男性與100女性下潛至距離水面5米時是否耳鳴，下圖為其等高條形圖：①繪出列聯(lián)表；②根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82819．（12分）已知矩陣，.(1)求；(2)在平面直角坐標系中,求直線在對應(yīng)的變換作用下所得直線的方程.20．（12分）已知的展開式中第三項與第四項二項式系數(shù)之比為．（1）求；（2）請答出展開式中第幾項是有理項，并寫出推演步驟（有理項就是的指數(shù)為整數(shù)的項）．21．（12分）已知命題實數(shù)滿足（其中），命題方程表示雙曲線.（I）若，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

解:2、B【解題分析】

首先設(shè)公差為，由題中的條件可得和，利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得.【題目詳解】設(shè)公差為，由，得，即；同理由可得.故可設(shè)，所以有，所以有，解得，即，因為，.所以，即.故選：B.【題目點撥】本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運算，利用不等式求解范圍時注意放縮的尺度，運算次數(shù)越少，范圍越準確.3、D【解題分析】

由二項式項的公式，直接得出x2的系數(shù)等于多少的表達式，由組合數(shù)公式計算出結(jié)果選出正確選項．【題目詳解】因為的展開式中含的項為,故的系數(shù)為40.故選：D【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)項的公式正確寫出x2的系數(shù)是解題的關(guān)鍵，對于基本公式一定要記憶熟練．4、A【解題分析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【題目詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【題目點撥】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

設(shè)切點坐標，求導(dǎo)數(shù)，寫出切線斜率，由切線過點，求出切點坐標，得切線斜率．【題目詳解】直線過定點，設(shè)，切點為，，，∴切線方程為，又切點過點，∴，解得．∴．故選：C.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在未知切點時，一般先設(shè)切點坐標，由導(dǎo)數(shù)得出切線方程，再結(jié)合已知條件求出切點坐標，得切線方程．6、C【解題分析】試題分析：由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有21人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為1．24，1．16，所以第一組有12人，第二組8人，第三組的頻率為1．36，所以第三組的人數(shù)：18人，第三組中沒有療效的有6人，第三組中有療效的有12人．考點：頻率分布直方圖7、C【解題分析】試題分析：由題意可知發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故選C．考點：二項分布的期望與方差．8、B【解題分析】

記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，利用捆綁法計算出事件A、事件B、事件A∩B的排法種數(shù)nA、nB、nA∩B【題目詳解】記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，對于事件A，將小明與其父親捆綁，形成一個元素，與其他四個元素進行排序，則nA=A對于事件A∩B，將小明父母與小明三人進行捆綁，其中小明居于中間，形成一個元素，與其他兩個元素進行排序，則nA∩B=A2【題目點撥】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法以及容斥原理的應(yīng)用，解題時要合理利用分類討論思想與總體淘汰法，考查邏輯推理能力，屬于中等題。9、B【解題分析】

利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可．【題目詳解】函數(shù)∴，故選B.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

根據(jù)由正弦定理可得，由余弦定理可得，利用基本不等式求出，求出邊的最小值．【題目詳解】根據(jù)由正弦定理可得．

由余弦定理可得．．即．，

故邊的最小值為，

故選D．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，解三角形，屬于中檔題．11、C【解題分析】

根據(jù)已知條件先求得拋物線的焦點和準線方程，過點作，垂足為點，求得圓的圓心和半徑，運用圓外一點到圓上的點的距離的最值和拋物線的定義，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.【題目詳解】如圖：拋物線的準線方程為，焦點，過點作，垂足為點，由拋物線的定義可得,圓的圓心為，半徑，可得的最大值為，由，可令，則，即，可得：，當且僅當時等號成立，即，所以的最小值為故選：C【題目點撥】本題考查了拋物線定義以及基本不等式求最小值，考查了計算能力，屬于較難題.12、D【解題分析】分析：由題意，，是兩兩互斥事件，條件概率公式求出，，對照選項即可求出答案.詳解：由題意，，是兩兩互斥事件，,,,,而.所以D不正確.故選：D.點睛：本題考查相互獨立事件，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較復(fù)雜，正確理解事件的內(nèi)蘊是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由題得，解方程即得的值.【題目詳解】由題得，解之得=1.當=1時兩直線平行.故答案為：114、84【解題分析】

通過求出各項二項展開式中項的系數(shù)，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出系數(shù)和即可得結(jié)果.【題目詳解】的展開式中，含項的系數(shù)為：，故答案是：84.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)二項式對應(yīng)項的系數(shù)和的問題，涉及到的知識點有指定項的二項式系數(shù)，組合數(shù)公式，屬于簡單題目.15、3【解題分析】

根據(jù)題意，由二項式定理可得(1-2x)2018的展開式的通項，分析可知a1、a3、……a2017為負值，在【題目詳解】根據(jù)題意，(1-2x)2018中，其展開式的通項為又由(1-2x)則a1、a3、則在(1-2x)2018中，令x=-1可得：又由a1、a3、則|a故答案為：32018【題目點撥】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，賦值法求項的系數(shù)和，屬于中檔題．16、【解題分析】

根據(jù)拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，且過點,可以設(shè)出拋物線的標準方程,代入后可計算得,再根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得答案.【題目詳解】因為拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，且過點,所以可設(shè)拋物線的標準方程為:,將代入可得,解得,所以拋物線的焦點到準線的距離為.故答案為:.【題目點撥】本題考查了求拋物線的標準方程,考查了拋物線的焦準距,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），（Ⅱ），證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知，由二項式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個數(shù)的和，由此能求出和的通項公式；（Ⅱ）由時，，時，，證明：時，時，可以逐個驗證；證明時，時，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．【題目詳解】（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點可知；由二項式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個數(shù)的和為，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：當時，；當時，.證明如下：證法1：當時，已證.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，.①當時，已證：②假設(shè)時，猜想成立，即，所以；那么，，所以，當時，猜想也成立．根據(jù)①②，可知當時，.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求法，以及數(shù)學(xué)歸納法不等式的證明，其中解答中要認真審題，注意二項式定理和數(shù)學(xué)歸納法的合理運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．18、①答案見解析；②能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系.【解題分析】分析：①.由題意結(jié)合等高條形圖求得相應(yīng)的人數(shù)，然后繪制列聯(lián)表即可；②.結(jié)合①中的列聯(lián)表計算的觀測值：，則能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系.詳解：①由男女生各100人及等高條形圖可知耳鳴的男生有人，耳鳴的女生有人，∴無耳鳴的男生有100-30=70人，無耳鳴的女生有100-50=50人，所以列聯(lián)表如下：有耳鳴無耳鳴總計男3070100女5050100總計80120200②公式計算的觀測值：，能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系.點睛：獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋．19、（1）；（2）.【解題分析】

分析：(1)直接根據(jù)逆矩陣公式計算即可(2)由，即解得，即.詳解：(1)由題知，所以，根據(jù)逆矩陣公式,得.(2)設(shè)由上的任意一點在作用下得到上對應(yīng)點.由，即解得，因為,所以，即.即直線的方程為.點睛：(1)逆矩陣計算公式是解第一問關(guān)鍵，要會掌握其運算公式(2)一直線在對應(yīng)的變換作用下所得直線的方程計算不難，不要算錯一般都可以解決.20、（1）（2）有理項是展開式的第1，3，5，7項，詳見解析【解題分析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式中的二項式系數(shù)求出，再由通項求出有理項.【題目詳解】解：（1）由題設(shè)知，解得.（2）∵，∴展開式通項，∵且，∴只有時，為有理項，∴有理項是展開式的第1，3，5，7項.【題目點撥】本題考查二項式的展開式的特定項系數(shù)和特定項，屬于中檔題.2