寧波市第七中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

寧波市第七中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果把個位數(shù)是，且恰有個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“偽豹子數(shù)”那么在由，，，，五個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“偽豹子數(shù)”共有（）個A． B． C． D．2．某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：——結(jié)伴步行，——自行乘車，——家人接送，——其他方式，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，求得本次抽查的學(xué)生中類人數(shù)是（）A．30 B．40 C．42 D．483．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A．8 B．10 C．7 D．94．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示．則有（）A．B．C．D．6．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．7．?dāng)?shù)學(xué)40名數(shù)學(xué)教師，按年齡從小到大編號為1,2，…40?，F(xiàn)從中任意選取6人分成兩組分配到A,B兩所學(xué)校從事支教工作，其中三名編號較小的教師在一組，三名編號較大的教師在另一組，那么編號為8,12,28的數(shù)學(xué)教師同時入選并被分配到同一所學(xué)校的方法種數(shù)是A．220 B．440 C．255 D．5108．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（）A． B． C． D．9．某大學(xué)中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年級的學(xué)生比為5:4:3:1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本，則應(yīng)抽二年級的學(xué)生A．100人 B．60人 C．80人 D．20人10．如果根據(jù)是否愛吃零食與性別的列聯(lián)表得到，所以判斷是否愛吃零食與性別有關(guān)，那么這種判斷犯錯的可能性不超過（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%11．設(shè)，則二項式展開式的常數(shù)項是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-112012．在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)．點(diǎn)在該正方體的表面上運(yùn)動，則總能使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡的周長等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)（），若對任意，總存在滿足，則正數(shù)a的最小值是_______.14．如圖，在正三棱柱中，已知它的底面邊長為10，高為20，若P、Q分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．15．已知向量與的夾角為120°，且，，則__________．16．在如圖的數(shù)表中，僅列出了前6行，照此排列規(guī)律還可以繼續(xù)排列下去，則數(shù)表中第（）行左起第3個數(shù)為_______。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二（1）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，如圖所示：試根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）求全班的學(xué)生人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù)；（2）為快速了解學(xué)生的答題情況，老師按分層抽樣的方法從位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段的試卷中抽取8份進(jìn)行分析，再從中任選3人進(jìn)行交流，求交流的學(xué)生中，成績位于[70,80)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.19．（12分）已知i為虛數(shù)單位，m為實數(shù)，復(fù)數(shù).（1）m為何值時，z是純虛數(shù)？（2）若，求的取值范圍.20．（12分）的展開式中若有常數(shù)項，求最小值及常數(shù)項．21．（12分）已知函數(shù)，且函數(shù)在和處都取得極值．（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

分相同數(shù)字為1，與不為1，再由分類計數(shù)原理求出答案?！绢}目詳解】相同數(shù)不為1時，四位數(shù)的個位數(shù)是1，其他3個相同的數(shù)可能是2,3,4,5共4種相同數(shù)為1時，四位數(shù)的個位數(shù)是1，在2,3,4,5中選一個數(shù)放在十位或百位或千位上，共有種則共有種故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合，分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。2、A【解題分析】

根據(jù)所給的圖形，計算出總?cè)藬?shù)，即可得到A的人數(shù)．【題目詳解】解：根據(jù)選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總?cè)藬?shù)為120人，故選擇A方式的人數(shù)為120﹣42﹣30﹣18＝30人．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力．3、D【解題分析】

根據(jù)約束條件，作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為，結(jié)合圖像可得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時取得最大值，由解得.此時.選D?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，通常需要作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖像求解，屬于?？碱}型.4、C【解題分析】

由純虛數(shù)的定義和三角恒等式可求得，根據(jù)二倍角公式求得；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果.【題目詳解】為純虛數(shù)，，即，，，，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的問題的求解，涉及到同角三角函數(shù)值的求解、二倍角公式的應(yīng)用、復(fù)數(shù)的幾何意義等知識.5、A【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于對稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭，選A．6、B【解題分析】

分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【題目詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因為函數(shù)存在最大值，所以解.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，分析可得“編號為8,12,28的數(shù)學(xué)教師同時入選并被分配到同一所學(xué)?！?，則除8,12,28之外的另外三人的編號必須都大于28或都小于8，則先分另外三人的編號必須“都大于28”或“都小于8”這兩種情況討論選出其他三人的情況，再將選出2組進(jìn)行全排列，最后由分步計數(shù)原理計算可得答案.詳解：根據(jù)題意，要確保“編號為8,12,28的數(shù)學(xué)教師同時入選并被分配到同一所學(xué)?！?，則除8,12,28之外的另外三人的編號必須都大于28或都小于8，則分2種情況討論選出的情況：①如果另外三人的編號都大于28，則需要在29—40的12人中，任取3人，有種情況；②如果另外三人的編號都小于8，則需要在1—7的7人中，任取3人，有種情況.即選出剩下3人有種情況，再將選出的2組進(jìn)行全排列，有種情況，則編號為8,12,28的數(shù)學(xué)教師同時入選并被分配到同一所學(xué)校的方法種數(shù)是種.故選：D.點(diǎn)睛：本題考查排列組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析如何確保“編號為8,12,28的數(shù)學(xué)教師同時入選并被分配到同一所學(xué)?！?，進(jìn)而確定分步，分類討論的依據(jù).8、C【解題分析】

讀懂流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，當(dāng)時，得到的值.【題目詳解】根據(jù)流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，輸入，因為2019除以4余3，經(jīng)過多次循環(huán)后，再經(jīng)過一次循環(huán)后滿足的條件，輸出【題目點(diǎn)撥】流程圖的簡單問題，找到循環(huán)規(guī)律，得到的值，得到輸出值.屬于簡單題.9、C【解題分析】

要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本,

則應(yīng)抽二年級的學(xué)生人數(shù)為:

(人).

故答案為80.10、A【解題分析】

根據(jù)得到，得到答案.【題目詳解】，故，故判斷“是否愛吃零食與性別有關(guān)”出錯的可能性不超過2.5%.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗問題，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.11、A【解題分析】

分析：利用微積分基本定理求得，先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式的常數(shù)項.詳解：由題意，二項式為，設(shè)展開式中第項為，，令，解得，代入得展開式中可得常數(shù)項為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.12、B【解題分析】分析：根據(jù)題意先畫出圖形，找出滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡，然后再根據(jù)長度計算周長詳解：如圖：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則平面設(shè)在平面中的射影為，過與平面平行的平面為能使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長與矩形的周長相等正方體的棱長為矩形的周長為故選點(diǎn)睛：本題主要考查了立體幾何中的軌跡問題?？疾榱藢W(xué)生的分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)來確定使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡，繼而求出結(jié)果。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

對任意，總存在滿足，只需函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.【題目詳解】函數(shù)（）是對勾函數(shù)，對任意，在時，即取得最小值，值域為當(dāng)時，若，即時在上是單減函數(shù)，在上是單增函數(shù)，此時值域為由題得，函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.顯然成立當(dāng)時，若，即時是單增函數(shù)，此時值域為由題得，函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.，解得綜上正數(shù)a的最小值是故答案為：【題目點(diǎn)撥】利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的問題，有關(guān)不等式的問題等.解決上述問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.14、；【解題分析】

作出兩異面直線所成的角，然后在三角形求解．【題目詳解】取中點(diǎn)，連接，∵是中點(diǎn)，∴，∴異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角．在正三棱柱中，，則，，∴，，，∴，∴異面直線與所成的角的余弦為，角的大小為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形得出結(jié)論．方法是根據(jù)定義，平移其中一條直線使之與另一條相交，則異面直線所成的角可確定．平行線常常通過中位線、或者線面平行的性質(zhì)定理等得出．15、7【解題分析】由題意得，則716、【解題分析】

根據(jù)題意先確定每行最后一個數(shù)，再求結(jié)果【題目詳解】依排列規(guī)律得，數(shù)表中第行最后一個數(shù)為第行左起第3個數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）50，20；（2）158【解題分析】解：(1)由莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在[50,60)上的頻數(shù)為4，頻率為0.008×10＝0.08，故全班的學(xué)生人數(shù)為40.08分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù)等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.(2)按分層抽樣原理，三個分?jǐn)?shù)段抽樣數(shù)之比等于相應(yīng)人數(shù)之比．又[70,80)，[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段人數(shù)之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的樣本中分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的有5人，分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的有2人，分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的有1人．從中任取3人，共有C83＝56種不同的結(jié)果．被抽中的成績位于[70,80)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)X的所有取值為0,1,2,3.它們的概率分別是：P(X＝0)＝C3356P(X＝1)＝C51CP(X＝2)＝C52C31P(X＝3)＝C5356＝10∴X的分布列為X

0

1

2

3

P

15615561528528∴X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝18、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當(dāng)時，，整理得，當(dāng)n=1時，有.數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項公式．（II）由（I）有，則,用裂項相消法可求其前n項和.試題解析：（I）當(dāng)時，有，解得.當(dāng)時，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項公式為：．（II）由（I）有，則故得證.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解m的值；（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案【題目詳解】（1）．當(dāng)時，即時，z是純虛數(shù)；（1）可設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，則由，得，即點(diǎn)在直線上，又，點(diǎn)的軌跡為直線與圓相交的弦，則表示線段上的點(diǎn)到的距離，由圖象可知，當(dāng)時，距離最小，即點(diǎn)到直線的距離，則由得或，，的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．20、的最小值為；常數(shù)項為.【解題分析】

求出二項式展開式的通項