陜西省2022屆高三第一次模擬聯(lián)考 文科數(shù)學(xué)試題 附解析

陜西省2019屆高三第一次模擬聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合人=卜|-1在*<2},B={x|0WxW3},則ADB=（）

A.{x|-l<x<3}B,{x|0<x<2}C.{x|O<x<3}D.{x|2<%<3]

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合的交集的定義，直接運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合A={x|-lWxV2},B={x0WxW3）,...A（~lB={x|0Wx<2}.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集定義和準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著

重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.復(fù)數(shù)i（l+2i）的模是（）

A.立B.立C.百D.y[5

35

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得i（l+2i）=-2+i,所以復(fù)數(shù)i（l+2i）的模為J（_2）2+12=6,故選

D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以

及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,則準(zhǔn)線方程為（）

A.x--2B.x=lC.x=—1D.x—2

【答案】A

【解析】

【分析】拋物線y?=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,求得P的值，即可求解其準(zhǔn)線方程.

【詳解】由題意，拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,：.2=2,解得p=4,

2

則準(zhǔn)線方程為：x=-2.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，其中解答中熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及其簡(jiǎn)單的幾

何性質(zhì)，合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

B.32+16指C.80D.32+120

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，判斷幾何體的形狀以及對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，代入公式計(jì)算即可.

【詳解】幾何體的直觀圖是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面長(zhǎng)為4,高為4的三角形，棱柱的

高為4,

所求表面積：S=2x-!-x4x4+2V42+22x4+4x4=32+16^.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了兒何體的三視圖，以及幾何體的體積計(jì)算，其中解答中判斷幾何體的形狀與對(duì)應(yīng)

數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的

面積，并創(chuàng)立了割圓術(shù).利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14,這就是著名的

徽率.如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的”的值為

（參考數(shù)據(jù)：6*1.732，sin15°?0.2588,sin7.5°?0.1305）

A.12B.24C.48D.96

【答案】B

【解析】

【分析】

列出循環(huán)過(guò)程中S與n的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán).

【詳解】解：模擬執(zhí)行程序，可得：

n=6,5=3sin60=>

不滿足條件S23.10,〃=12,S=6xsin30°=3,

不滿足條件S23.10,〃=24,S=12xsin15°=12x0.2588=3.1056,

滿足條件SN3.10,退出循環(huán)，輸出"的值為24.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，注意判斷框的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

x+2y<\

6.若x、y滿足約束條件<2x+y>-1,則z=3x-2y的最小值為（）

x-y<0

11L

A.—B.—C.—5D.5

33

【答案】C

【解析】

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求

出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【詳解】由題意，畫出約束條件，所表示的平面區(qū)域，如圖所示,

3z

化目標(biāo)函數(shù)z=3x—2y為y==x—,

22

3z

由圖可知，當(dāng)直線>=彳％-5過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大,

x+2y=\

聯(lián)立《解得A(-1,1),

2x+y=-1

可得目標(biāo)的最小值為z=3x(—1)-2x1=—5,故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行

域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推

理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

JI

7.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=bcosC且c=6,A=一，則AABC的面積()

6

A.2GB.3百C.4GD.65/3

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理求出B,然后求解C,再利用正弦定理求得a,然后由三角形的面積公式求解即可.

【詳解】由題意，在A43C中，角A8,C的對(duì)邊分別為a,Ac

*.*a=bcosC由余弦定理可得Q=/?cosC=bx----------—,即a2+c2=b2,

2ab

7T71

二AA3c為直角三角形，B為直角，又；A=一,c=6,可得C=一，

a_c

由正弦定理匚J即.乃=.兀，解得a=2百.

sinAsinCsin-sin-

o5

SMBC=gac=gx6x2^3=6-73.

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式的應(yīng)用，注意正弦定理以及三角形邊角關(guān)系

的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了運(yùn)算與求解能力.

log3(4-x)(x<3)

8.已知函數(shù)f(x)='3"2(xN3),則/(Iog336)+Al)=()

A.6B.5C.4D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得了(1。8336)=3陶36-2=費(fèi)=4,/(l)=log3(4-l)=l,由此即可求解,

得到答案.

【詳解】由題意，函數(shù)/(力=［詈:"―

-3*2,x>3

可得/(log,36)=3峭37=費(fèi)=4,/(1)=log3(4-l)=1,

所以/(log336)+/(l)=4+l=5

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)值的求解，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性

質(zhì)，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.如圖，在DOACB中，E,F分別為AC和BC的中點(diǎn)，若反初麻+n礪,其中m,neR,則m+n的值為

()

g/€

04

34

A.1B.—C.一D.2

23

【答案】C

【解析】

_________2___2___.

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到0弓=。4+。月=—。無(wú)+―。尸，即可求解加，〃的值，得到答

33

案.

【詳解】由題意，因?yàn)榈Z=6?豆+麗=。與+'函，礪=函+,2=函+,。月，

22

—4—■2—?—.4—-2—?

所以。A=-OE——OFQB=-OF——OE,

3333

—.—.—.4—2—4—?2—2—2—?

又由OC=0A+03=—OE——OF+-OF一一OE=-OE+-OF,

333333

24

所以m=〃=一,所以加+〃=一,

33

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向

量的基本定理，合理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

86

10.已知函數(shù)/(切=1+3》，則不等式^—-7+-一；>x3+3x的解集為()

A.(-oo,-2)U(-l,l)B.[-2,-1)U[l,+oo)

C.(-00,-2]51，+8)D.(-2,1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于X的不等式，利用分式不等式的解法，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=d+3x,則/(X)=3工2+3>0,所以“X)在R遞增，

863

則不等式百十小>x+3%

即]>/（x），故二一>x,即（”+2）（xl）<0,解得x<—2或T<X<1,

\+xx+1

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，把不是轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的分

式不等式，利用分式不等式的解法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

22

11.已知直線y=—gx+f與曲線C：=一[=1(a>0,b>0)右支交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限，若

ah~

點(diǎn)Q滿足。麻+而=0，且NMNQ=30°(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±gxB.y-±42xC.y=±2xD.y=±x

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)M,N的中點(diǎn)為月，由題意可得P,H坐標(biāo)，結(jié)合幾何條件可得OH=至,PO，代入坐標(biāo)可得a=b,

即得漸近線方程.

【詳解】設(shè)M,N的中點(diǎn)為“，MN與x軸交于點(diǎn)P,

由直線/:y=—"v+f,可得產(chǎn)(50),

由/:y=-Jir+r,代入雙曲線的方程，可得一3。2)/一26儲(chǔ)工一。2/一/一=。，

設(shè)Ma，y),N(W，%)，可得玉+々=一建g，

b-3a

可得頡的中點(diǎn)“(一\一l3ta71'—b2t、

若麗+麗=0,則。為“Q的中點(diǎn)，

由O”為40NQ的中位線，可得NMNQ=M”O(jiān)=30°,

由NMPO=180°-120°=60°,

AHPO為等腰三角形，且PO=PH,OH=&0,

即有卜占=35，整理得a*

所以雙曲線的漸近線的方程為y=±x,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的求法，考查方程思想和直線的斜率公

式，運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題.

12.已知函數(shù)/(x)=《+依lnx—x),若x=l是函數(shù)f(x)唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4取值范圍是()

x

A.(-a?,e]B.(一8,e)C.(-e,+oo)D.[-e,+?)

【答案】A

【解析】

【分析】由題意知/'(X)有唯一的變號(hào)零點(diǎn)，等價(jià)于r(x)=0有唯一實(shí)數(shù)根x=l,對(duì)/'(X)因式分解可得

/'(x)=--------k,轉(zhuǎn)化為幺-左=0無(wú)實(shí)根，也即y=左與g(x)=J兩個(gè)函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，利用

X\xJX\/X

導(dǎo)數(shù)研究g(x)=￡，即可求出實(shí)數(shù)人的取值范.

【詳解】fXx)=^^+k(--1]=^(x-1)+-(\-x)=^--k],

X\X)XXXX)

因?yàn)椋?1是函數(shù).八")唯一極值點(diǎn)，所以/”(幻=0有唯一實(shí)數(shù)根x=l,

所以e—Z=()無(wú)實(shí)根，也即y=左與g(x)=《兩個(gè)函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，

XX

g'(x)=2；e：=注二1),所以g(x)=《在單調(diào)遞減，在(I,”)單調(diào)遞增，

XXX

所以g(x)2g⑴=；=e,所以kWe，

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)極值點(diǎn)就是導(dǎo)數(shù)等于0的根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了函數(shù)與方

程，屬于中檔題.

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.從裝有質(zhì)地均勻大小相同3個(gè)白球、2個(gè)紅球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球是同色球的概

率是.

2

【答案】y

【解析】

【分析】基本事件總數(shù)〃=C；=10,取出的小球是同色球包含的基本事件的個(gè)數(shù)機(jī)=C；+C；=4,再求出

取出的小球是同色球的概率.

【詳解】解：從裝有質(zhì)地均勻大小相同的3個(gè)白球、2個(gè)紅球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)小球，

基本事件總數(shù)"=C；=10,

取出的小球是同色球包含的基本事件的個(gè)數(shù)機(jī)=C；+C；=4,

jri42

...取出的小球是同色球的概率是尸=一=一=—.

n105

故答案為|.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

14.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為

【解析】

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算而與麗所成的角后可得異面直線AP,6。所成的角.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則Ag,(),0),3(a,a,0),D(0,0,0),P(0,(),a),

故A.P=(―a,0,a),BD=(—a,—a,0),所以

cosAP,BD-由Q,曲目0,可，故而，麗=6()。，所以異面直線AP,8。所成的角

為60°,填60°.

【點(diǎn)睛】空間中有異面直線所成的角(線線角)、直線與平面所成的角(線面角)以及二面角的平面角(面

面角)，線線角可以轉(zhuǎn)化為兩條直線的方向向量的夾角，兩者的關(guān)系是互補(bǔ)或相等(線線角的范圍為(0,5),

線面角可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角，兩者差的絕對(duì)值為T幺T(線面角的范圍為

2

TC

0,-),面面角可以轉(zhuǎn)化為平面的法向量的夾角，兩者的關(guān)系是相等或互補(bǔ).

15.“南昌之星”摩天輪于2006年竣工，總高度160m,直徑153m,勻速旋轉(zhuǎn)一周需時(shí)間30min,以摩天輪

的中心為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，如圖示意圖，以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，求出經(jīng)過(guò)t分鐘后你與地面

的距離為

JT

【答案】/(Z)=83.5-76.5COS-^A?e[0,+oo)

【解析】

【分析】由題意可設(shè)f(t)=b-acos3t,求出b、a和3的值，即可得到答案.

【詳解】由題意設(shè)f(t)=b-acos?t,

_,112%2%)

其中b=160--xl53=835,a=-x153=76.5,3=—=—=—：

22T3015

以登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)t分鐘后與地面的距離為：

兀

f(t)=83.5-76.5cos—t,t[0,+QO).

15

故答案為f(t)=83.5-76.5cos—t,te[0,+oo).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中正確理解題意，設(shè)出函數(shù)解析式，分別求

解4卬的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0且當(dāng)xe(0,1]時(shí)f(x)=x,則下列四個(gè)

命題正確的序號(hào)是

①f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=0；

②方程f(x)=logs|x|有5個(gè)根；

..x—4左,(4k—1WxW4Z+l)

3-[—x+4左+2,(4%+IWX<4k+3)；

④函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】由奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合條件可得/(x)的周期為4,求得/。),/(2),/(3),/(4)可判斷①;

由f(x+2)=-f(x)=f(-x),可判斷④；由f(x)的圖象和y=log51x|的圖象的交點(diǎn),可判斷②;由f(x)

的周期和一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)解析式，即可判斷③.

【詳解】定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0,

可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),

即有函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故④正確；

又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得f(x)的最小正周期為4,

由xe(0,1]時(shí)f(x)=x,可得f(1)=1,

又f(0)=0,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-l,f(4)=0,

則f(1)+f(2)+f(3)+-+f(2019)=504X(1+0-1+0)+1+0-1=0,故①正確；

由xW[-l,0),-xG(0,1],f(-x)=-x=-f(x),可得f(x)=x(TWx<0),

即有f(x)=x(TWxWl),由f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱可得f(x)=2-x(1WXW3),

作出y=f(x)的圖象和y=logs|x|的圖象，可得它們有五個(gè)交點(diǎn)，

由f(x)的周期為4,且TWxWl時(shí)，f(x)=x；1WXW3時(shí)，f(x)=2-x,

可得當(dāng)T+4kWxW4k+l時(shí),f(x)=x-4k；l+4kWxW4k+3時(shí),f(x)=2-x+4k,k《Z,

故③正確.

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查周期性和對(duì)稱性、圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)和函數(shù)解析式的求

法，其中解答中熟記函數(shù)的基本性質(zhì)，合理應(yīng)用函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于

中檔題.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知等差數(shù)列｛aj中，4=5,前5項(xiàng)和S5=45.

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式.

(2)若》，=(—?a,,求數(shù)列也,｝前2〃項(xiàng)和

【答案】(1)an=4n-3；(2)4n

【解析】

【分析】⑴等差數(shù)列｛4,｝的公差設(shè)為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，

即可得到所求通項(xiàng)公式；

(2)求得以=(-1)%“=(-1)"(4〃-3),運(yùn)用并項(xiàng)求和,即可得到所求和.

【詳解】(1)等差數(shù)列｛4｝的公差設(shè)為4,見(jiàn)=5,前5項(xiàng)和§5=45,

可得4+d—5,5al+1Od=45,解得q=1,d=4,

所以=1+(〃-1)x4=4〃-3；

(2)由(1)得勿=(一1)%“=(一1)"(4〃-3),

所以前2n項(xiàng)和為4“=(-1+5)+(-9+13)+-+[-4(2n-l)+3+8n-3]=4+4+…+4=4n.

本題考查

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的并項(xiàng)求和，以及方程思想和

運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.如圖，在三棱錐P-ABC中，D,E分別為AB,PB的中點(diǎn)，EB=EA,且PAJ_AC,PCXBC.

(1)求證:BC_L平面PAC；

(2)若PA=2BC且AB=EA,三棱錐P-ABC體積為1,求點(diǎn)B到平面DCE的距離.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)也

2

【解析】

【分析】(I)先證PAJ_平面ABC可得PA_LBC,再結(jié)合BC_LAC可得BCJ_平面PAC.

(II)設(shè)AB=EA=a,則PB=2a,PA=2BC=&a,AC=|-,由三棱錐P-ABC體積為1,求出a=2,以C為原點(diǎn)，

CB,CA,過(guò)C點(diǎn)與平面ABC垂直的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出

點(diǎn)B到平面DCE的距離.

【詳解】證明：(1)VEB=EA,所以在等腰4AEB中,D是AB的中點(diǎn)，；.ED_LAB,

是PB的中點(diǎn),D是AB的中點(diǎn),...ED〃PA,APA±AB,

又PA_LAC,ABnAC=A,，PA_L平面ABC,

：BCu平面ABC,.,.PAIBC,

又PC_LBC,PAnPC=P,平面PAC.

(2)設(shè)AB=EA=a,則PB=2a,PA=2BC=6a,AC='標(biāo)_(,々)2=],

?.?三棱錐P-ABC體積為1,

???VP-ABC=^S^BCxPA=^xACxBCxPA=^x^x^-xy/3a^，解得a=2,

以C為原點(diǎn)，CB,CA,過(guò)C點(diǎn)與平面ABC垂直的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B(6,

0,0),A(0,1,0),D(旦1,。)，

22

C(0,0,0),P(0,1,26)，E(三，-,G),

CB~(-73，。，CD=(->。)，CE=(—>>/3))

2222

設(shè)平面DCE的法向量萬(wàn)=(x,y,z),

n-CD=-^-x+—y=0

22'

\CB-n\手

...點(diǎn)B到平面DCE的距離

同2

p

【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏

輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密

推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量

的夾角公式求解.

19.按照國(guó)家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在［100,120）內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.某

企業(yè)有甲乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品，為了檢測(cè)這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)

品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本對(duì)規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行檢測(cè).表1是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表，圖1

是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖.

X率/短距

0.054

0.042

0.036

0.022

0.010

95100105110HS120125腹量依標(biāo)收

乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖

質(zhì)量指標(biāo)值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]

頻數(shù)14192051

表1:甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表

(1)將頻率視為概率，若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則其中合格品約有多少件？

(2)填寫下面2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲乙兩套設(shè)

備的選擇有關(guān):

甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

n(ad-bc)2

(3)根據(jù)表和圖，對(duì)甲、乙兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較.參考公式及數(shù)據(jù):

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(X，)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【答案】(1)800；(2)見(jiàn)解析：(3)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)結(jié)合頻數(shù)分布表，求出滿足條件的頻率和頻數(shù)；

(2)求出2X2列聯(lián)表，計(jì)算I?的值，判斷即可；

(3)根據(jù)題意，利用滿足條件的頻率與方差的含有，判斷即可.

【詳解】(1)由圖知，乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品率約為(0.01+0.022)X5=0.16；

，乙套設(shè)備生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中不合格品約為5000X0.16=800(件)；

(2)由表1和圖得到列聯(lián)表：

甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)

合格品484290

不合格品2810

合計(jì)5050100

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得作l0°x（48x8—42x2）-=4>3.841；

50x50x90x10

...有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；

48

（3）由表1和圖知，甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為否=0.96,

乙套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為1-0.16=0.84,

且甲套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值主要集中在［105,115）之間，

乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散；

因此，可以認(rèn)為甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率更高，且質(zhì)量指標(biāo)值更穩(wěn)定，

所以甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中熟記頻率分布直方圖的相

關(guān)知識(shí)，以及準(zhǔn)確利用公式計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

22

20.在直角坐標(biāo)系中，橢圓C：3+二=1經(jīng)過(guò)A（百，0）,B（0,2）兩點(diǎn).

a~b~

（1）求橢圓C的方程；

（2點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，求AABP面積的最大值，并求出4ABP面積最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

22

【答案】（1）匕+二=1；（2）見(jiàn)解析

43

【解析】

【分析】（I）由題意可得〃=4,戶=3,解得即可得到橢圓的方程；

（II）可得直線AB的方程+-26=0,設(shè)P（2s>。），利用點(diǎn)P到AB的距離公式和三

角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得4ABP面積的最大值及點(diǎn)P坐標(biāo).

【詳解】（1）由題意可得/=4,〃=3,

22

故橢圓的方程為匕+土=1.

43

X

（2）可得直線AB的方程為：耳+y=l,即2x+島-26=0,

設(shè)P(y/3cos0,2sin0)，

則點(diǎn)P到AB的距離為d二踵空警已處忸業(yè)企2鬲2G

幣幣"幣

，AABP面積的最大值Smax=lx幣x2瓜=#+G，

2V7

此時(shí)。=區(qū)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(-巫，-72).

42

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，及三角形的面積的

最大值計(jì)算轉(zhuǎn)化為距離最大值計(jì)算，其中解答熟練應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)

鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

21.已知函數(shù)/(x)=(x—l)e、一or2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)判斷函數(shù)/(力極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

⑵若VxeR,/(xHe,id+x,求。的取值范圍.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(-8,e-2］.

【解析】

［分析］⑴求導(dǎo)可得尸(x)=x(ev-2a).分類討論可得：當(dāng)時(shí)，/(x)有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)。>0且awg

時(shí)，/(力有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a=g時(shí)，“X)沒(méi)有極值點(diǎn).

(2)分x〉0、x=0、x<0三種情況，分別求出。的范圍：當(dāng)x〉0時(shí)，利用分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求

最值，求出〃的范圍；當(dāng)x=0時(shí)，直接驗(yàn)證，求出。的范圍；當(dāng)x〉0時(shí)，利用二次求導(dǎo)法，利用導(dǎo)數(shù)判

斷單調(diào)性，求最值，求出。的范圍；最后取交集即可

【詳解】⑴r(x)=xe*-2cix=x(e*-2a).

當(dāng)a?0時(shí)，“X)在(0,0)上單調(diào)遞減，在(0,+a)上單調(diào)遞增，

"(X)有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)0<a<g時(shí)，/(x)在(yo,ln2a)上單調(diào)遞增，在(in2a,0)上單調(diào)遞減，在(0,+向上單調(diào)遞增，.?./(x)

有2個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)a=(時(shí)，"X)在R上單調(diào)遞增，???/(x)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)a>；時(shí)，“X)在(—8,0)上單調(diào)遞增，在(O,ln2a)上單調(diào)遞減，在(ln2a,+x>)上單調(diào)遞增，.?./(x)

有2個(gè)極值點(diǎn);

,當(dāng)時(shí)，/(X)有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0且awg時(shí)，/(x)有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)■時(shí)，/(x)沒(méi)有

極值點(diǎn).

(2)由/(x)+e'>x3+xf#xev-x3-ox2-x>0.

x2

p_r_]

當(dāng)尤>0時(shí)，ev-x2-ox-l>0?即----:----對(duì)Vx>0恒成立.

x

a\e'-――1(x—l)(ev—x—1)

設(shè)g(x)=——;----則g'(x)=^—\-------L

XX

設(shè)〃(x)=e*-x-1,則〃'(x)=e*-l.

二〃'(》)>0,,〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

A

.,./?(%)>A(0)=0,Bpe'>x+l-

；.g(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

.-.g(x)>g(l)=e-2..-.a<e-2.

當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，aeR.

當(dāng)x<0時(shí)，ev-x2-ax-1<0.

設(shè)〃(x)=e*-x2一czx-l,則〃'(x)=e*—2x—a,則〃"(x)=e*—2<()

所以〃(尤)=y-2%—a在(Y>,0)上單調(diào)遞減,所以〃'(x)>/?'(())=l-a.

若aWl,則〃(x)>0,所以A(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，所以〃(可<〃(0)=0；

若a>l,因?yàn)椤?0)=1-a<0,所以切<0,使得％6(%,0)時(shí)，〃'(x)<0,即/z(x)在優(yōu),0)上單調(diào)

遞減，所以〃(x)>〃(0)=0,舍去；

所以aWl.

綜上所述：a的取值范圍是2].

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值(最值)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍.

元=2+2cosa

22.在直角坐標(biāo)系X。，中，曲線G的參數(shù)方程為《c.（a為參數(shù)）.以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),

y=2sina

以X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=2sinS.

（I）寫出曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;