第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（單元知識清單）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

選擇性必修三第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析知識點(diǎn)清單一、本章思維導(dǎo)圖§8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系;相關(guān)關(guān)系是相對于函數(shù)關(guān)系而言的.像這樣，兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)關(guān)系項(xiàng)目函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)都是兩個變量間的關(guān)系不同點(diǎn)是一種確定關(guān)系是一種非確定關(guān)系是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系2.散點(diǎn)圖：成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖.我們我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖。3.相關(guān)關(guān)系分類：正相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關(guān)；負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減小的趨勢，就稱這兩個變量負(fù)相關(guān).4.線性相關(guān)：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，就稱這兩個變量線性相關(guān).5.樣本相關(guān)系數(shù)：（1）（2）樣本相關(guān)系數(shù)的數(shù)字特征：當(dāng)時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值小，只是說明線性相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)．利用相關(guān)系數(shù)r來檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時，通常與0.75作比較，若|r|>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著．§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用1.一元線性回歸模型：稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量，為截距參數(shù)，為斜率參數(shù)，是與之間的隨機(jī)誤差.2.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：(1)相關(guān)概念：經(jīng)驗(yàn)回歸直線：經(jīng)驗(yàn)回歸方程也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.最小二乘估計(jì)：求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估計(jì).殘差：對于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.（2）（3）決定系數(shù)：越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差；3.方法技巧經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法及應(yīng)用

在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，利用公式求出,可寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，利用經(jīng)驗(yàn)回歸模型進(jìn)行研究，可近似地利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來預(yù)測。4.方法技巧一元線性回歸模型擬合問題的求解策略

在一元線性回歸模型中,R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫模型擬合數(shù)據(jù)的效果.|r|越大,R2就越大,用模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好.

§8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1.分類變量：現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題，為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量.2.列聯(lián)表：合計(jì)合計(jì)3.獨(dú)立性檢驗(yàn)：（1）零假設(shè)（原假設(shè)）：，即分類變量和獨(dú)立.（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)：①②臨界值：對于小概率值，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)，使下面關(guān)系成立：，我們稱為的臨界值.常用小概率值和相應(yīng)的臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828③基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)時，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過.當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立.這種利用的取值推斷分類變量和是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).4.方法技巧獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表;

(2)根據(jù)公式計(jì)算χ2;

(3)比較χ2與臨界值xα的大小關(guān)系,得到推斷結(jié)論.

成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系考點(diǎn)分析考法一相關(guān)關(guān)系1.對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)，得散點(diǎn)圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，3，…，10)，得散點(diǎn)圖2，由這兩個散點(diǎn)圖可以斷定（）A．x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)【答案】C【解析】由圖1可知，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢，故x與y負(fù)相關(guān)；由圖2可知，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢，故u與v正相關(guān)．故選：C．考法一相關(guān)關(guān)系2.下列兩變量具有相關(guān)關(guān)系的是（）A．正方體的體積與邊長 B．人的身高與體重C．勻速行駛車輛的行駛距離與時間 D．球的半徑與體積【答案】B【解析】對選項(xiàng)A，設(shè)正方體的體積，邊長，則，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故A不正確；對選項(xiàng)B，人的身高會影響體重，但不是唯一因素，故B正確．對選項(xiàng)C，勻速行駛車輛的行駛距離與時間的關(guān)系為，其中為勻速速度，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故C不正確；對選項(xiàng)D，設(shè)球的半徑為，則球的體積為，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故D不正確；故選：B．考點(diǎn)二樣本的相關(guān)系數(shù)3.兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，，…，下列說法錯誤的是（）A．相關(guān)系數(shù)越接近1，變量相關(guān)性越強(qiáng)B．落在回歸直線方程上的樣本點(diǎn)越多，回歸直線方程擬合效果越好C．相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差D．若表示女大學(xué)生的身高，表示體重則表示女大學(xué)生的身高解釋了的體重變化【答案】B【解析】對于A.根據(jù)相關(guān)系數(shù)越接近1，變量相關(guān)性越強(qiáng)，故正確；對于B.回歸直線方程擬合效果的強(qiáng)弱是由相關(guān)指數(shù)或相關(guān)系數(shù)判定，故不正確；對于C.相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，效果越差，故正確；對于D.根據(jù)的實(shí)際意義可得，表示女大學(xué)生的身高解釋了的體重變化，故正確；故選：B考點(diǎn)二樣本的相關(guān)系數(shù)4.在線性回歸模型中，分別選擇了甲，乙，丙，丁四個不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)分別為0.46，0.85，0.72，0.93，其中回歸效果最好的模型是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】因?yàn)閮蓚€變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)越接近于1，這個模型的擬合效果越好，而丁的相關(guān)指數(shù)0.93最大，所以回歸效果最好的模型是丁，故選：D一元線性回歸模型及其應(yīng)用考點(diǎn)一樣本中心解小題5.某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價（元）與每天的銷售量（個）統(tǒng)計(jì)如下表：16171819503431據(jù)上表可得回歸直線方程為，則上表中的的值為（）A．38 B．39 C．40 D．41【答案】D【解析】由題意，，所以，解得．故選：D．考點(diǎn)一樣本中心解小題6.蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某地觀測人員根據(jù)下表的觀測數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程.（次數(shù)/分鐘）則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫次時，該地當(dāng)時的氣溫預(yù)報(bào)值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回歸直線過樣本中心點(diǎn)，可得，解得.所以，回歸直線方程為.在回歸直線方程中，令，可得.故選：D.考點(diǎn)二一元線性方程7.配速是馬拉松運(yùn)動中常使用的一個概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時間，相比配速，把心率控制在一個合理水平是安全理性跑馬拉松的一個重要策略.圖1是一個馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求與的線性回歸方程；（2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時間，并估計(jì)他能獲得的名次.參考公式：線性回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）210分鐘，192名．【解析】（1）由散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，，，，所以與的線性回歸方程為.（2）將代入回歸方程得，所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時間為分鐘.從馬拉松比賽的頻率分布直方圖可知成績好于210分鐘的累積頻率為，有的跑者成績超過該跑者，則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是名.考點(diǎn)二一元線性方程8.隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物交易額也快速提升，特別是每年的“雙十一”，天貓的交易額數(shù)目驚人.2020年天貓公司的工作人員為了迎接天貓“雙十一”年度購物狂歡節(jié)，加班加點(diǎn)做了大量準(zhǔn)備活動，截止2020年11月11日24時，2020年的天貓“雙十一”交易額定格在3700多億元，天貓總公司所有員工對于新的戰(zhàn)績皆大歡喜，同時又對2021年充滿了憧憬，因此公司工作人員反思從2014年至2020年每年“雙十一”總交易額(取近似值)，進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代碼()1234567總交易額(單位：百億)5.79.112.116.821.326.837（1）通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.1)，預(yù)測2021年天貓“雙十一”的總交易額.參考數(shù)據(jù)：，，；參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.【答案】（1）答案見解析；（2）回歸方程為，預(yù)測2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.【解析】（1），，，所以因?yàn)榭偨灰最~y與年份代碼t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明總交易額y與年份代碼t的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系.（2）因?yàn)?，，所以，，所以y關(guān)于t的回歸方程為又將2021年對應(yīng)的代入回歸方程得：.所以預(yù)測2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.考點(diǎn)三非一元線性方程9.在一次抽樣調(diào)查中測得個樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）（3）在（2）的條件下，設(shè)且，試求的最小值．參考公式：回歸方程中，，.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題中散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為關(guān)于的回歸方程；（2）令，則，原數(shù)據(jù)變?yōu)橛杀砜芍c近似具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得，，，所以，，則．所以關(guān)于的回歸方程是．（3）由（2）得，，任取、，且，即，可得，因?yàn)?，則，，所以，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則.考點(diǎn)三非一元線性方程10.某種新產(chǎn)品投放市場一段時間后，經(jīng)過調(diào)研獲得了時間x（天數(shù)）與銷售單價y（元）的一組數(shù)據(jù)，且做了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），并作出了散點(diǎn)圖（如圖）.表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個更適合作價格y關(guān)于時間x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.（3）若該產(chǎn)品的日銷售量（件）與時間x的函數(shù)關(guān)系為，求該產(chǎn)品投放市場第幾天的銷售額最高？最高為多少元？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.【答案】（1）更適合作價格y關(guān)于時間x的回歸方程；（2）；（3）第10天，最高銷售額為2420元；【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖知更適合作價格y關(guān)于時間x的回歸方程類型；（2）令，則，而，，即有；（3）由題意結(jié)合（2）知：日銷售額為，∴，若，令，∴時，，即天，元,所以該產(chǎn)品投放市場第10天的銷售額最高，最高銷售額為2420元.分類變量與列聯(lián)表考法一列聯(lián)表11.疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過程中，一般都會進(jìn)行動物保護(hù)測試，為了考察某種疫苗預(yù)防效果，在進(jìn)行動物試驗(yàn)時，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗20注射疫苗30總計(jì)5050100附表及公式：，．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828現(xiàn)從試驗(yàn)動物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為，則下列判斷錯誤的是（）A．注射疫苗發(fā)病的動物數(shù)為10B．從該試驗(yàn)未注射疫苗的動物中任取一只，發(fā)病的概率為C．能在犯錯概率不超過0．001的前提下，認(rèn)為疫苗有效D．該疫苗的有效率為75%【答案】（1）D（2）D【解析】（1）由題意得，，，，，，所以，，，，，則.故選：D．（2）由題知：注射疫苗動物共40只，未注射為60只，補(bǔ)充列聯(lián)表，未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗204060注射疫苗301040總計(jì)5050100由此可得A、B正確．計(jì)算得：，故能在犯錯概率不超過0．001的前提下認(rèn)為疫苗有效．C正確，D錯誤．故選：D．考法一列聯(lián)表12.現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時面臨著選科的問題，學(xué)校抽取了部分男?女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的（）A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛兩理一文D．樣本中的女生偏愛兩文一理【答案】D【解析】由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故A正確；有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故B正確；男生偏愛兩理一文，故C正確；女生中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故D錯誤.故選：D.考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)13.為了解使用是否對學(xué)生的學(xué)習(xí)有影響，某校隨機(jī)抽取名學(xué)生，對學(xué)習(xí)成績和使用情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示（不完整）：使用不使用總計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀學(xué)習(xí)成績一般總計(jì)（1）補(bǔ)充完整所給表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用有關(guān)；（2）現(xiàn)從上表不使用的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績是否優(yōu)秀分層抽樣選出人，再從這人中隨機(jī)抽取人，記這人中“學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀”的人數(shù)為，試求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用有關(guān)；（2）分布列見解析，.【解析】（1）列聯(lián)表如下表所示：使用不使用總計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀學(xué)習(xí)成績一般總計(jì)假設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用無關(guān)，，所以，沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用有關(guān)；（2）人中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的人有人，學(xué)習(xí)成績一般的有人，可能的取值有、、、，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為.考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)14.隨著新冠疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，人們的生產(chǎn)生活逐步步入正軌.為拉動消費(fèi)，某市發(fā)行億元消費(fèi)券.為了解該消費(fèi)券使用人群的年齡結(jié)構(gòu)情況，該市隨機(jī)抽取了人，對是否使用過消費(fèi)券的情況進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示，其中年齡低于歲的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.年齡（單位：歲）調(diào)查人數(shù)使用消費(fèi)券人數(shù)（1）求、值；（2）若以“年齡歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為是否使用消費(fèi)券與人的年齡有關(guān).年齡低于歲的人數(shù)年齡不低于歲的人數(shù)合計(jì)使用消費(fèi)券人數(shù)未使用消費(fèi)券人數(shù)合計(jì)參考數(shù)據(jù)：，其中.【答案】（1），；（2）列聯(lián)表答案見解析，有的把握認(rèn)為是否使用消費(fèi)券與人的年齡有關(guān).【解析】（1）由題意得，解得，；（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，如下年齡低于歲的人數(shù)年齡不低于歲的人數(shù)合計(jì)使用消費(fèi)券人數(shù)未使用消費(fèi)券人數(shù)合計(jì)根據(jù)公式計(jì)算，所以有的把握認(rèn)為是否使用消費(fèi)券與人的年齡有關(guān).易混易錯練易錯點(diǎn)1選錯回歸模型致錯1.在一次抽樣調(diào)查中測得5組成對數(shù)據(jù),其數(shù)值及散點(diǎn)圖如下:x0.250.5124y1612521(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx與y=c+k·x1哪一個更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型;(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),試建立y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(計(jì)算結(jié)果保留整數(shù))(3)在(2)的條件下,設(shè)z=y+x且x∈[4,+∞),試求z的最小值.參考公式:經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+b^=∑i1.解析(1)由題中散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+k·x1更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.(2)令t=x1,則y=c+kt,構(gòu)造新的成對數(shù)據(jù),如下表:t4210.50.25y1612521易知y與t存在線性相關(guān)關(guān)系.計(jì)算得t=1.55,y=7.2,k^≈4,c^=yk^t所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=4(3)由(2)得z=y+x=4x+x+1,易得z=4易錯點(diǎn)2求χ2用錯公式致錯2.為了解人們對延遲退休年齡政策的態(tài)度,某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人,并得到如圖所示的頻率分布直方圖,在這100人中不支持延遲退休年齡政策的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.年齡不支持延遲退休年齡政策的人數(shù)[15,25)15[25,35)5[35,45)15[45,55)23[55,65]17(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這100人年齡的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對延遲退休年齡政策的態(tài)度是否存在差異.單位:人45歲以下45歲及以上合計(jì)不支持支持合計(jì)附表及公式:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n(2.解析(1)估計(jì)這100人年齡的平均數(shù)為20×0.2+30×0.1+40×0.2+50×0.3+60×0.2=42(歲).(2)由題中頻率分布直方圖可知,45歲以下的有50人,45歲及以上的有50人.可得2×2列聯(lián)表如下:單位:人45歲以下45歲及以上合計(jì)不支持354075支持151025合計(jì)5050100零假設(shè)為H0:不同人群與態(tài)度相互獨(dú)立,即以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對延遲退休年齡政策的態(tài)度不存在差異.計(jì)算可得χ2=100×(35×10?40×15)275×25×50×50≈1.333<3.841=x0.05,依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分證據(jù)推斷H03.今年1月至2月由新型冠狀病毒引起的肺炎病例陡然增多,為了嚴(yán)控疫情擴(kuò)散,做好重點(diǎn)人群的預(yù)防工作,某地區(qū)共統(tǒng)計(jì)返鄉(xiāng)人員100人,其中50歲及以上的共有40人.這100人中確診的有10人,其中50歲以下的人占310(1)試估計(jì)50歲及以上的返鄉(xiāng)人員因感染新型冠狀病毒而引起肺炎的概率;(2)請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析確診患新冠肺炎與年齡是否有關(guān).單位:人確診患新冠肺炎未確診患新冠肺炎合計(jì)50歲及以上4050歲以下合計(jì)10100附表及公式:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n(3.解析(1)因?yàn)?00人中確診的有10人,50歲以下的人占310所以50歲以下的確診人數(shù)為3,50歲及以上的確診人數(shù)為7,因?yàn)?0歲及以上的共有40人,所以50歲及以上的返鄉(xiāng)人員因感染新型冠狀病毒而引起肺炎的概率約為740(2)補(bǔ)充列聯(lián)表如下:單位:人確診患新冠肺炎未確診患新冠肺炎合計(jì)50歲及以上7334050歲以下35760合計(jì)1090100零假設(shè)為H0:確診患新冠肺炎與年齡無關(guān).計(jì)算可得χ2=100×(7×57-33×3)240×60×10×90=25依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為確診患新冠肺炎與年齡有關(guān).4.某地區(qū)在“精準(zhǔn)扶貧”工作中切實(shí)貫徹習(xí)近平總書記提出的“因地制宜”的指導(dǎo)思想,扶貧工作小組經(jīng)過多方調(diào)研,綜合該地區(qū)的氣候、地質(zhì)、地理位置等特點(diǎn),決定向當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶推行某類景觀樹苗種植.工作小組根據(jù)市場前景重點(diǎn)考察了A,B兩種景觀樹苗,為對比兩種樹苗的成活率,工作小組進(jìn)行了引種試驗(yàn),分別引種樹苗A,B各50株,試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有80%的樹苗成活,未成活的樹苗A,B株數(shù)之比為1∶3.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析樹苗A,B的成活率是否有差異;樹苗A樹苗B合計(jì)成活株數(shù)未成活株數(shù)合計(jì)5050100(2)已知樹苗A引種成活后再經(jīng)過1年的生長即可作為景觀樹A在市場上出售,但每株售價y(單位:百元)受其樹干的直徑x(單位:cm)影響,扶貧工作小組對一批已出售的景觀樹A的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到結(jié)果如下表:直徑x1015202530單株售價y48101627根據(jù)上述數(shù)據(jù),判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,并用樣本相關(guān)系數(shù)r加以說明.(一般認(rèn)為|r|>0.75為高度線性相關(guān))參考公式及數(shù)據(jù):樣本相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n∑iχ2=n(附表:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8284.解析試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有80%的樹苗成活,故未成活的樹苗有20株,未成活的樹苗A,B株數(shù)之比為1∶3,所以樹苗A未成活5株,成活45株,樹苗B未成活15株,成活35株.(1)補(bǔ)充列聯(lián)表如下:樹苗A樹苗B合計(jì)成活株數(shù)453580未成活株數(shù)51520合計(jì)5050100零假設(shè)為H0:樹苗A,B的成活率無差異.計(jì)算可得χ2=100×(45×15-35×5)280×20×50×50依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為樹苗A,B的成活率無差異.(2)可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.由題表中數(shù)據(jù)易得x=20,y=13,所以r=(-10)×(-9)+(-5)×(-5)+0×(-3)+5×3+10×14≈0.95>0.75.故可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.一、數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用1.下圖是某地區(qū)2010年至2019年污染天數(shù)y與年份x的折線圖,根據(jù)2010年至2014年的數(shù)據(jù),2015年至2019年的數(shù)據(jù),2010年至2019年的數(shù)據(jù)分別建立一元線性回歸模型y^=b1x+a1,y^=b2x+a2,y^=b3A.b1<b2<b3,a1<a2<a3B.b1<b3<b2,a1<a3<a2C.b2<b3<b1,a1<a3<a2D.b2<b3<b1,a3<a2<a11.C經(jīng)驗(yàn)回歸直線應(yīng)分布在散點(diǎn)圖的附近,由題中統(tǒng)計(jì)圖可知2010年至2014年,y隨著x的增加而減少,2015年至2019年,y隨著x的增加而減少的更多,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+a^中a^,b^的幾何意義可知,a2>a1,b2<b1<0,由點(diǎn)的分布可知,a3∈(a1,a2),b3∈(b2,b1),所以b2<b3<b1,a12.某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到下表數(shù)據(jù):x681012y2356(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+參考公式:b^=∑i=1nxi2.解析(1)散點(diǎn)圖如圖所示.(2)易得x=6+8+10+124=9,y=2+3+5+6∑i=14xi∑i=14xi2=62+8所以b^=158?4×9×4344?4×9a^=yb^x故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.7x3.某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢查尿汞時,得尿汞含量(毫克/升)與消光系數(shù)如下表:尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)估計(jì)尿汞含量為9毫克/升時的消光系數(shù)(結(jié)果保留整數(shù)).參考公式:b^=∑i=1a^=yb參考數(shù)據(jù):22+42+62+82+102=220,2×64+4×138+6×205+8×285+10×360=7790.3.解析(1)散點(diǎn)圖如圖所示.(2)設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=b^x+易得x=6,y=210.4,b^=7790?5×6×210.4220?5×6∴a^=210.436.95×6=∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=36.95x(3)當(dāng)x=9時,y^=36.95×9故估計(jì)尿汞含量為9毫克/升時消光系數(shù)為321.4.根據(jù)統(tǒng)計(jì),某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.(1)依據(jù)散點(diǎn)圖判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,并用樣本相關(guān)系數(shù)r加以說明(若r>0.75,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量.附:樣本相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(x4.解析(1)可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.易得x=2+4+5+6+85=5,y=3+4+5+6+7∑i=15(xix)(yiy)=(3)×(∑i=15(xi-x)2=(3)2∑i=15(yi-y)2=(2)2∴r=∑i=15(x∴可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(2)設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=b^x+a^,b^=∑i=15(xi-當(dāng)x=12時,y^∴預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量為9.9百千克.二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用5.某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用,需了解年宣傳費(fèi)x(單位:萬元)對年銷售量y(單位:噸)和年利潤(單位:萬元)的影響.對2014年至2019年的宣傳費(fèi)xi和