直線地傾斜角和斜率教案設計

宜線的傾斜角和斜率(3.L1)

數(shù)學目標：

知識與技能

(1)正確理解直錢的假斜角和斜率的概念.

(2)理解立線的傾斜角的唯一性.

(3)理解Jt線的斜率的存在性.

(4)斜率公式的推導過程，掌握過兩點的Jt線的斜率公式.

情感態(tài)度與價值觀

(1)通過JI線的像斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭

示，埼養(yǎng)學生觀察、探索能力，運用數(shù)學語言表達熊力，數(shù)學交流

與評價能力.

(2)通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數(shù)形

結合思想，培養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學生形成嚴IM的科

學態(tài)度和求簡的數(shù)學精神.

重點與難點：Jt線的傾斜角、斜率的概念和公式.

教學用具：計算機

數(shù)學方法：啟發(fā)、引導、討論.

數(shù)學過程：

(一)Jt線的傾斜角的概念

我們知埴，經(jīng)過兩點有且只有(確定)一條Jt線.那么，經(jīng)過一點P的立

線1的位置能確定嗎？如圖，過一點P可以作無數(shù)多條Jt線a,b,c,…易見，

答案是否定的.這些宜餞有什么聯(lián)系呢？

(1)它們都經(jīng)過點P.(2)電們的‘快斜程度’不同.怎樣描述逸種'偵斜程

度'的不同？

別人比線的微斜角的概念：

當宜線1與x軸相交附，地x軸作為基準，x軸正向與直線1向上方向

之間所成的角a叫做Jt線1的傾斜角.驗別地，當Jt線1與x軸平行或置合時,

規(guī)定a=0°.

問：傾斜角a的取值范圍是什么？0°<a<180°.

當直線.1與x軸垂it時，a=90°.

因為平面it角坐標系內(nèi)的每一條it線都有確定的快斜程度，引入直線的偵

斜角之后，我們就可以用做斜角a來表示平面Jt角坐標系內(nèi)的每一條3t線

的憤斜程度.

如圖，Jt線a//b//c,那么它們

的像斜角a相容嗎？答案是先定的.所以一個傾斜角a不能確定一條Jt線.

確定平面Jt角坐標系內(nèi)的一條直線位Jt的幾何戛景：一個點P和一個愉斜

角a.

(二)*線的斜率：

一條Jt線的愉斜商a(a#=90°)的正切值叫做這條Jt線的斜率，斜率常用小

寫字母k表示，也就Jt

k=tana

⑴當Jt線1與x軸平行或重合時，a=0°,k=tan0°=0;

⑵當Jt線1與x軸垂直時，a=90°,k不存在.

由此可知，一條立戲1的傾斜角a一定苻在，但是斜率k不一定存在.

例如，a=45°時，k=tan45°=1;

a=135°時，k=tanl35°=tan(180°-45°)=-tan45°=-1.

學習了料率之后，我們又可以用斜率來表示Jt線的攸斜程度.

(三)Jt線的斜率公式：

給定西點Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xl=/=x2,如何用兩點的坐標來表示直線

P1P2的斜率？

可用計算機作動面漬示：直線P1P2的四種情況，井引導學生如何作輔助

共同完成斜率公式的推導.

X「X]

斜率公式：

對于上面的斜率公式要注意下面四點：

(1)當xl=x2時，公式右邊無愈義，Jt戲的斜率不存在，像斜角a=90°,M

線與x軸垂Jt;

(2)k與Pl,P2的順序無關，即yl,y2和xl,x2在公式中的前后次序可以同

時交換，但分子與分母不能交換；

(3)斜率k可以不通過假斜角而it接由Jt線上兩點的坐標求價;

(4)當yl=y2時，斜率k=0,Jt線的但斜角a=0°,Jt線與x軸平行成

■合.

(5)求比錢的傾斜角可以由Jt餞上兩點的坐標先求斜率而僵到.

(E9)例延：

例1巳知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求it或AB,BC,CA的斜率，并

判斷?它們的傾斜角Jt鈍角還是銳角.(用計算機作立線，圖略)

分析：已知兩點坐標，而且xl#=x2,由斜率公式代入即可求俗k的值；

而當k=tana<0時，假斜角a是鈍角；

而當k=tana>0時，微斜角a是銳角；

而當k=tana=0時，攸斜角a是0°.

略解：直線AB的斜率kl=l/7>0,所以它的假斜角a是銳角；

立線BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的傾斜角a是鈍角;

直線CA的斜率k3=l>0,所以它的微斜角a是銳角.

例2在平面立角坐標系中，畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1,-1,2,及-3的

直餞a,b,c,1.

分析：要畫出經(jīng)過原點的Jt線a,只要再找出a上的另外一點M.市M的坐標

可以根據(jù)Jt線a的斜率確定；或者k=tana=1是檸殊值，所以也可以以原點

為角的頂點，x軸的正半軸為角的一邊，在x軸的上方作45°的角，再把

所作的這一邊區(qū)向延長成Jt線即可.

咯解：設Jt線a上的另外一點M的坐標為(x,y),根據(jù)斜率公式有

l=(y-0)/(x-0)

所以x=y

可令x=1,則y=1,于是點M的坐標為(1,1).此時過原點和點

M(l,1),可作立線a.

同理，可作Jt線b,c,1.(用計算機作動畫演示畫Jt線過程)

(五)練習：P911.2.3.4.

（六）小結：

（1）Jt線的傾斜角和斜率的概念.

（2）it或的斜率公式.

（七）課后作業(yè)：P94習題3.11.3.

（八）板書設計：

§3.1.1.......

1.直線傾斜角的概念3.例1.......練習1練習3

2.直線的斜率

4.例2.......練習2練習4

兩條彩線的平行與垂宜（3.1.2）

數(shù)學目標

（一）知識數(shù)學

理解并掌握兩條立線平行與整立的條件，會運用條件判定兩Jt線是否平行或基立.

（二）能力訓練

通過探究兩*線平行或垂直的條件，培養(yǎng)學生運用巳有知識解決新問題的能力，以及數(shù)形

結合施力.

（三）學科滲透

通過對兩比線平行與垂立的位直關系的研究，培養(yǎng)學生的成功意識，合作交流的學習方式，

激發(fā)學生的學習興趣.

重點：兩條直線平行和垂克的條件是重點，耍求學生能熬練掌握，并靈活運用.

難點：啟發(fā)學生，把研究兩條直線的平行或垂Jt問題，轉化為研究兩條*線的斜率的關

寐問題.

注意：對于兩條Jt線中有一條立線斜率不存在的情況，在課強上老師應提醒學生注意解

決好這個問題.

放學過程

（一）先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂立

上一節(jié)謀，我們巳經(jīng)學習了★戲的愉斜角和斜率的概念，而且知道，可以用垓斜角和斜率

來表示立線相對于X軸的根斜程度，并推導出了斜率的坐標計算公式.現(xiàn)在，我們來研究

艇否通過兩條Jt線的斜率來判斷兩條Jt線的平行或善Jt.

討論：兩條Jt線中有一條Jt線沒有斜率，（1）當另一條Jt線的斜率也不存在時，兩比線的假

斜角都為90°,它1H互相平行；（2）當另一條Jt線的斜率為0時，一條Jt線的fK斜角為90°,

另一條Jt線的微斜角為0°,兩直線互相垂立.

（二）兩條it線的斜率都存在時，兩立線的平行與垂立

設立線L1和L2的斜率分別為kl和k2.我們知埴，兩條it線的平行或垂宜是由兩條it線

的方向決定的，而兩條直線的方向又是由立線的頸斜角或斜率決定的.所以我們下面要研

究的問題是：兩條互相平行或垂直的it戲，它們的斜率有什么關系？

黃先研究兩條立線互相平行（不。合）的情形.如果Ll//L2（081-29）,那么它們的傾斜角相

等：al=a2.（借助計算機，讓學生通過度登，感知al,a2的關系）

；.tgal=tga2.

即kl=k2.

反過來，如果兩條Jt線的斜率相等：即kl=k2,那么tgal=tga2.

由于0°Val<180°,0°<a<180°,

a1—a2.

又,:兩條?線不?》合，

AL1IIL2.

結論：兩條立線都有斜率而且不直合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；及之，如果

它們的斜率相等，那么它們平行，即11，'"20k1=卜2

注意：上面的等價是在兩條直線不■■:合且斜率存在的前提下才成立的，岐少這個前提，結

論并不成立.即如果kl=k2,那么一定有L1//L2;反之則不一定.

下面我們研究兩條直線垂直的情形.

如果L1±L2,這時al=#a2,否則兩it線平行.

設a2va1（圖1-30）,甲圖的幡征是L1與L2的交點在x植上方；乙圖的將征是L1與L2

的交點在x軸下方；丙圖的特征是L1與L2的交點在x軸上，無論哪種情況下都有

a1=90°+a2.

因為LI、L2的斜率分別是kl、k2,即al豐90°,所以a2=#0°.

即期=-/或k止2=-1.二tga1=tg（90°+a2）=-T7i—?

%tgai

反過來，如果的=-1，即k/k2=-l.不失一般性.設如<0,

-0,那么，tga-合=tg（90。+”

可以推出：a1=90°+a2.L1±L2.

結論：兩條Jt線都有斜率，如果它們互相垂Jt,那么它們的斜率互為負倒數(shù)；區(qū)之，如果

.1

%=--<=>k.jk.2=-1

它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即k2

注意：結論成立的條件.即如果kl,k2=T,那么一定方L1J_L2;反之則不一定.

(倍勒計算機，讓學生通過度量,感知kl,k2的關系，并使L1(或L2)轉動起來，但仍保持

L1±L2,觀察kl,k2的關寐，得㈣猜慈，再加以驗證.被動時，可使al為銳角，鈍角警).

例題，

例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-l,2),試判斷?:<線BA與PQ的位Jt關系，并

證明你的結論.

分析：偕財計算機作圖，通過觀察猜想：BA//PQ,再逋過計算加以驗證.(圖略)

解：立線BA的斜率kl=(3-0)/(2-(-4))=0.5,

直線PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

因為kl=k2=0.5,所以立線BA//PQ.

例2已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),試判斷四

邊形ABCD的形狀，并給出證明.(??■助計算機作圖，通過觀察猜慈：四邊形ABCD是平行四

邊形，再通過計算加以驗證)

解同上.

例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),試判斷Jt線AB與PQ的位Jt關系.

解：直線AB的斜率kl=(6-0)/(3-(-6))=2/3,

Jt段PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,

因為kl?k2=-1所以ABJ_PQ.

例4已知A(5,T),B(l,1),C(2,3),試判斷三角形ABC的形狀.

分析：借助計算機作圖，通過觀察班慈：三角形ABC是Jt角三角形，其中ABJ_BC,再

通過計算加以畸證.(圖咯)

課強練習

P94練習1.2.

課后小結

(1)兩條it線平行成垂Jt的真實等價條件；(2)應用條件，判定兩條it線平行成整Jt.

(3)應用班線平行的條件，判定三點共線.

布Jt作業(yè)

P94習場3.15.8.

板書設計

§1.9兩條直線的平行與垂直

兩直線平行兩直線垂直例1例3

例2例4

3.2.1立線的點斜式方程

一、教學目標

1、知識與技能

(1)理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍；

(2)能正確利用直線的點斜式、斜截式公式求直線方程。

(3)體會立線的斜截式方程與一次函數(shù)的關系.

2、過程與方法

在已知直角坐標系內(nèi)確定一條直線的幾何要素——宜線上的一點和直線的傾斜角的基

礎上，通過師生探討，得出直線的點斜式方程；學生通過對比理解“戳距”與“距離”的區(qū)

別。

3、情態(tài)與價值觀

通過讓學生體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關系，進一步培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思

想，滲透數(shù)學中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉化等觀點，使學生能用聯(lián)系的觀點看問題。

二、教學重點、難點：

(1)重點：直線的點斜式方程和斜截式方程。

(2)難點：直線的點斜式方程和斜截式方程的應用。

三、教學設想

問題設計意圖師生活動

1、在宜線坐標系內(nèi)確定一條宜使學生在已有學生回顧，并回答。然后教師指

線，應知道哪些條件？知識和經(jīng)驗的基出，直線的方程，就是直線上任怠

礎上，探索新知。

一點的坐標(x,y)滿足的關系

式。

培養(yǎng)學生自主學生根據(jù)斜率公式，可以得到，

2、宜線/經(jīng)過點片(毛，％),且

探索的能力，并體

y—y

會直線的方程，M當XW%0時，k=-———,即

斜率為ko設點P(x,y)是再線/

是苴線上任急一%_10

上的任意一點，請建文.％,與

y點的坐標(x,y)y-y()=k(x-xQ)(1)

滿足的關系式，從教師對基礎薄弱的學生給予關

攵,％0,乂之間的關系。

而掌握根據(jù)條件注、引導，使每個學生都能推導出

求直線方程的方這個方程。

法O

使學生了解方學生驗證，教師引導。

3、（1）過點《（%（,,%）,斜率是

程為直線方程義

左的直線/上的點，其坐?標都滿足須滿兩個條件。

方程（1）嗎？

問題設計意圖師生活動

（2）坐標滿足方程（1）的點都在使學生了解方學生驗證，教師引導。然后教師

程為直線方程必指出方程（1）由直線上一定點及

經(jīng)過E（%,乂），斜率為k的巨線

須滿兩個條件。其斜率確定，所以叫做宜線的點斜

1上嗎？式方程，簡稱點斜式（pointslope

form）.

4、直線的點斜式方程能否表示坐使學生理解直線學生分組互相討論，然后說明理

標平面上的所有宜線呢？的點斜式方程的由。

適用范圍。

5、（1）X鋪所在宜線的方程是什進一步使學生教師學生引導通過畫圖分析，求

理解直線的點斜得問題的解決。

么？y軸所在直線的方程是什么？

式方程的適用范

國，掌握特殊直線

（2）經(jīng)過點［（九0,%）且平行于

方程的表示形式。

%軸（即垂直于），軸）的直線方程

是什么？

（3）經(jīng)過點（七,九）且平行于

＞軸（即垂直于X軸）的直線方程

是什么？

17

6,例1的教學。學會運用點斜式教師弓1導學生分析要用點斜式

方程解決問題，清求宜線方程應已知那些條件？題目

楚用點斜式公式那些條件已經(jīng)直接給予，那些條件

求直線方程必須還有待已去求。在坐標平面內(nèi)，要

具備的兩個條件：畫一條直線可以怎樣去畫。

（1）一個定點；

（2）有斜率。同

時掌握已知直線

方程畫宜線的方

法。

學生獨立求出直線’的方程：

7、已知直線/的斜率為k,且與31人斜截式方

程，讓學生懂得斜

y軸的交點為（0,6）,求直線/的y=kx+b（2）

截式方程源于點

方程。斜式方程，是點斜再此基礎上，數(shù)師給出截距的

式方程的一種特概念，弓1導學生分析方程（2）由哪

殊情形。兩個條件確定，讓學生理解斜截式

方程概念的內(nèi)涵。

深入理解和學生討論，教師及時給予評價。

8、觀察方程丁=&+〃，它的

掌握斜截式方程

形式具有什么特點？的特點？

問題設計意圖師生活動

使學生理解學生思考回答，教師評價。

9、直線歹=&+Z?在X軸上的

“截距”與“距離”

截距是什么？兩個概念的區(qū)別。

10、你如何從直線方程的角度認體會直線的斜學生思考、討論，教師評價、歸納

截式方程與一次概括。

識一次函數(shù)y=Lr+Z??一次函

函數(shù)的關系.

數(shù)中k和b的幾何怠義是什么？你

能說出一次函數(shù)

y=2x—l,y=3x,y=—x+3

圖象的特點嗎？

11,例2的教學。掌握從直線方教師弓1導學生分析：用斜率判斷

程的角度判斷兩兩條直線平行、垂克結論。思考

條直線相互平行，

（1）/J/）時,尢,左2屹也有

或相互垂直；進一

步理解斜截式方

何關系？（2）（_L（時，

程中k,b的幾何

《，左2；么，么有何關系？在此由學

意義。

生得出結論：

=內(nèi),且々Wb2；

l{///2ok1

Z,_L/2okI%=-1

12、課堂練習第100頁練習第1,鞏固本節(jié)課所學學生獨立完成，教師檢香反饋。

2,3,4題。過的知識。

13、小結使學生對本節(jié)課教師引導學生概括：（1）本節(jié)課我

所學的知識有一們學過那些知識點；（2）直線方程

個整體性的認識，的點斜式、斜截式的形式特點和適

了解知識的來龍用范圍是什么？（3）求一條直線

去豚。的方程，要知道多少個條件？

14、布置作業(yè)：第106頁第1題鞏固深化學生課后獨立完成。

的(1),(2),(3)和第3、5題

3.2.2立線的兩點式方程

一、數(shù)學目標

1,知識與技能

(1)掌握直線方程的兩點的形式特點及適用范圍；

(2)了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍。

2、過程與方法

讓學生在應用舊知識的探究過程中獲得到新的結論，弁通過新舊知識的比較、分析、應

用獲得新知識的特點。

3,情態(tài)與價值觀

(1)認識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉化；

(2)培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題。

二、數(shù)學重點、難點：

1、重點：直線方程兩點式。

2、難點：兩點式推導過程的理解。

三、教學設想

問題設計急圖師生活動

1,利用點斜式解答如下問遵循由淺及教師引導學生：根據(jù)已有的知識，要求

題：深，由特殊直線方程，應知道什么條件？能不能把問

(1)已知宜線/經(jīng)過兩點到一般的認題轉化為已經(jīng)解決的問題呢？在此基礎

知規(guī)律。使上，學生根據(jù)已知兩點的坐標，先判斷是

《(1,2),8(3,5),求直線/的

學生在已有否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而

方程.的知識基礎可求出直線方程：

(2)已知兩點上獲得新結

3

論，達到溫(1)y—2=—(x—V)

1(%1，%2)，8(王，%)其中

故知新的目

的。

(玉w%2，Xw%)，求通過這(2)yM=%X(%苞)

兩點的宜線方程。

教師指出：當yW%時，方程可以寫成

■二a關％2，乂才%)

>2-乂％2-%

由于這個直線方程由兩點確定，所以我們

把它叫直線的兩點式方程，簡稱兩點式

(two-pointform).

使學生懂得教師引導學生通過畫圖、觀察和分析，

2、