分析力學(xué)五一

第五章剛體的運動剛體：特殊的質(zhì)點組——任何兩個質(zhì)點之間的距離保持不變剛體的形狀和大小都不變化(自由度降低)引入兩套坐標(biāo)系，確定剛體在空間的位置，即靜止坐標(biāo)系固連在剛體中的坐標(biāo)系(參與剛體的全部運動)，它的原點在靜止坐標(biāo)系中的位矢為。

注：下圖中oxyz為從靜止坐標(biāo)系過渡動坐標(biāo)系的坐標(biāo)系12剛體相對于靜止坐標(biāo)系的位置完全由運動坐標(biāo)系的位置來確定(由于剛體中任意兩點的距離保持不變，確定了動坐標(biāo)系，則剛體上各點的位置就完全確定)。確定運動坐標(biāo)系的原點o：

R0——3個自由度(平動)確定運動坐標(biāo)系的三個軸：ox1、ox2

、ox3由3個獨立的角度確定——3個自由度(轉(zhuǎn)動)剛體有6個自由度3重點：歐勒角如圖2：過o作oxyz和Ox0y0z0平行。分三步將oxyz轉(zhuǎn)到ox1x2x3的位置。1.將oxyz繞z軸轉(zhuǎn)角，使ox轉(zhuǎn)到垂直于zx3平面的位置oN；2.繞oN軸轉(zhuǎn)角，使z軸轉(zhuǎn)到ox3位置；3.再繞ox3軸轉(zhuǎn)角，使oN軸轉(zhuǎn)到ox1位置。

(ox1與ox3確定，則ox2確定)定義為歐勒角(：確定自轉(zhuǎn)軸位置，：確定繞自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角度)4567剛體的基本運動形式：平動、轉(zhuǎn)動平動規(guī)律：質(zhì)量集中在質(zhì)心上的單質(zhì)點運動規(guī)律重點：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動的特點：繞不同軸的轉(zhuǎn)動之間有相互關(guān)聯(lián)§1.5.1剛體的角速度、角動量與轉(zhuǎn)動能量一、不同轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動之間的關(guān)聯(lián)角速度矢量線位移：沿不同方向彼此獨立

A+B=B+A——平行四邊形法則891011但：對轉(zhuǎn)動，繞不同軸的轉(zhuǎn)動，彼此之間互相關(guān)聯(lián)。例子：書的大角度轉(zhuǎn)動。顯然：繞不同軸轉(zhuǎn)動有限角度，與先后次序有關(guān)，并不獨立。結(jié)論：兩個有限轉(zhuǎn)動的合成不服從平行四邊形法則，不能看成矢量。注意：矢量——有大小、方向，且滿足平行四邊形法則的量。然而可證明：無限小角位移是矢量。

12設(shè)：剛體繞通過o點的軸線轉(zhuǎn)動了一個微小角度。沿軸線方向作一有向線段：，。這一轉(zhuǎn)動引起矢徑r的變化則：(轉(zhuǎn)動后)

轉(zhuǎn)動：空間變換轉(zhuǎn)動變換的數(shù)學(xué)表示：設(shè)：——繞兩個不同軸的轉(zhuǎn)動1.先轉(zhuǎn)，后轉(zhuǎn)時，r變?yōu)?/p>

132.先轉(zhuǎn)，后轉(zhuǎn)，r變?yōu)?/p>

兩者之差：對于無限小轉(zhuǎn)動：14略去二階小量體現(xiàn)關(guān)聯(lián)：順序不一樣，結(jié)果不一樣)則即——兩個無窮小轉(zhuǎn)動與次序無關(guān)：兩個無窮小角位移相加服從平行四邊形法則

(r：任意)15結(jié)論：無窮小角位移是矢量。二、角速度矢量定義：——瞬時角速度(矢量)現(xiàn)證明：角速度與轉(zhuǎn)動中心(轉(zhuǎn)軸)的選擇無關(guān)。指的是：轉(zhuǎn)動是一樣的，坐標(biāo)系是任意的。設(shè)：Oxyz——固定坐標(biāo)系；ox1x2x3——運動坐標(biāo)系

1617o點對Oxyz的矢徑：R0剛體上點P的矢徑：R——對Oxyz；rop——對ox1x2x3：繞o點轉(zhuǎn)動的角位移。矢徑rop在轉(zhuǎn)動后所發(fā)生的位移為，則固定坐標(biāo)系：P點速度；o點速度(ω是以o點為中心的角速度)(平動+轉(zhuǎn)動)18對另一點o'，且oo'=a，同理有現(xiàn)設(shè)：o'為轉(zhuǎn)動中心，以o'為原點的坐標(biāo)系中，P點的矢徑為r'op

則rop=r'op+a另一方面，o'代替o時，有19

(是以點為中心的角速度)于是

——角速度不因轉(zhuǎn)動中心(坐標(biāo)系)的選擇而變通常，以剛體的質(zhì)心作為運動坐標(biāo)系的原點，此時，V0——質(zhì)心的速度。20三、角動量矢量與轉(zhuǎn)動慣量張量1.剛體平動：單個質(zhì)點的運動P=MV2.定軸轉(zhuǎn)動：L=I

ω

3.剛體繞o點的轉(zhuǎn)動：剛體——質(zhì)點組，對o點的總角動量又21

—并矢同理，有比較：——定軸轉(zhuǎn)動，即，L和共線

22定點轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動慣量不再是常數(shù)，而是一個并矢

——轉(zhuǎn)動慣量張量

2324同理，有上式為的矩陣形式

并矢有九個分量

25

的矩陣形式令定義：為剛體對三個坐標(biāo)軸x,y,z的轉(zhuǎn)動慣量；為慣量積。

26質(zhì)量連續(xù)分布：四、慣量主軸定義了轉(zhuǎn)動慣量、慣量積后，得到27上式表明：角動量并不和角速度成正比。此時，剛體繞某一軸轉(zhuǎn)動時，會在另一軸的方向上產(chǎn)生角動量(繞不同軸的轉(zhuǎn)動相互關(guān)聯(lián))。繞任意軸轉(zhuǎn)動，角動量一般不和角速度共線。但：繞某些特殊軸轉(zhuǎn)動，L可能與共線。此時，。目的：找到這些軸。28因為所以(本征值方程)即——關(guān)于的線性齊次方程組

29非零解條件

I有三個正實根：Ia(a=1、2、3)由Ia的三組解三組解的方向決定了角動量與角速度共線的三個方向。這三個方向稱為剛體的慣量主軸。Ia：沿主軸方向的轉(zhuǎn)動慣量。

30實際上，就是前面講的本征值方程，即由上式可解出相互垂直的本征方向，即角動量與角速度共線的方向或慣量主軸。在三個相互垂直的慣量主軸上，以三個本征值Ia為半軸作出的橢球，稱為剛體的慣量橢球。它就是轉(zhuǎn)動慣量矩陣的本征橢球。3132

若選相互垂直的三個慣量主軸作坐標(biāo)軸，則：所有的慣量積都為零(為什么？)。此時，轉(zhuǎn)動慣量張量具有對角形式

在這一坐標(biāo)系中，成為33對以上結(jié)論的證明：設(shè)為的本征矢，本征值為，于是有又設(shè)為方向上的單位矢量，即，則由于滿足正交歸一條件，所以也可以選其作為一個坐標(biāo)系的基矢。轉(zhuǎn)動慣量張量在這一坐標(biāo)系下的分量為34上式的矩陣形式為上面討論了轉(zhuǎn)動慣量張量在不同坐標(biāo)系下的形式，現(xiàn)在來討論在基矢中的表示形式與在基矢中表示形式之間的變換關(guān)系。因為—轉(zhuǎn)動慣量張量的對角形式其中為坐標(biāo)變換矩陣，是其逆矩陣。由于與35均為正交歸一矢量組，所以它們之間的變換矩陣A是正交矩陣，即滿足條件因此，有即36一般情況：求慣量主軸要求解本征值方程。但：對于具有對稱性的剛體，容易找到慣量主軸。例：剛體是一個邊長為a、b、c的質(zhì)量均勻分布的長方體，則通過長方體中心的慣量主軸方向就是a、b、

c的方向。例：慣量積的