中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)36相似三角形含解析

2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)36相似三角形

一.選擇題（共28小題）

1.（2018?重慶）制作一塊3mX2m長(zhǎng)方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相

同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，那么擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的成本是

（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

【分析】根據(jù)題意求出長(zhǎng)方形廣告牌每平方米的成本，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出擴(kuò)大后長(zhǎng)

方形廣告牌的面積，計(jì)算即可.

【解答】解：3mX2m=6m',

...長(zhǎng)方形廣告牌的成本是120+6=20元Ai?,

將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，

則面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，

擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的面積=9X6=54nK

.?.擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的成本是54X20=1080m2,

故選：C.

2.（2018?玉林）兩三角形的相似比是2：3,則其面積之比是（）

A.y/sB.2：3C.4：9D.8：27

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可.

【解答】解：???兩三角形的相似比是2：3,

其面積之比是4：9,

故選：C.

3.（2018?重慶）要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm,

6cm和9cm,另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為2.5cm,則它的最長(zhǎng)邊為（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解可得.

【解答】解：設(shè)另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為xcm,

根據(jù)題意，得：=-,

2.5x

解得:x=4.5,

即另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4.5cm,

故選：C.

4.（2018?內(nèi)江）已知△ABC與△ABG相似,且相似比為1：3,則AABC與△ABG的面積

比為（）

A.1：1B.1：3C.1：6D.1：9

【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方，求出即可.

【解答】解:已知AABC與△ABG相似，且相似比為1：3,

則△ABC與△AiBC的面積比為1：9,

故選：D.

5.（2018?銅仁市）已知△ABCSADEF,相似比為2,且aABC的面積為16,則aDEF的面

積為（）

A.32B.8C.4D.16

【分析】由△ABCs^DEF,相似比為2,根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即

可得AABC與aDEF的面積比為4,又由AABC的面積為16,即可求得4DEF的面積.

【解答】解：：△ABCS^DEF,相似比為2,

.二△ABC與aDEF的面積比為4,

,.?△ABC的面積為16,

.二△DEF的面積為：16X

故選：C.

6.（2017?重慶）已知△ABCs^DEF,且相似比為1：2,則AABC與4DEF的面積比為（）

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可.

【解答】解：???△ABCS/XDEF,且相似比為1：2,

.,.△ABC與4DEF的面積比為1：4,

故選：A.

7.（2018?臨安區(qū)）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與4

ABC相似的是（）

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出NACB,根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可.

【解答】解：由正方形的性質(zhì)可知，ZACB=180°-45°=135°,

A、C、D圖形中的鈍角都不等于135°,

由勾股定理得，BC=&,AC=2,

對(duì)應(yīng)的圖形B中的邊長(zhǎng)分別為1和血,

...圖B中的三角形（陰影部分）與aABC相似,

故選:B.

8.（2018?廣東）在AABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則AADE與AABC的面積

之比為（）

A.---B.C.---D.

2346

【分析】由點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，可得出DE為△ABC的中位線，進(jìn)而可得出DE

〃BC及△ADES^ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出aADE與aABC的面積之比.

【解答】解：：點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，

ADE為AABC的中位線，

，DE〃BC,

.".△ADE^AABC,

.S2kADE_.DE）2_1

^AABCBC4

故選：c.

9.（2018?自貢）如圖，在aABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若4ADE的面積為4,

則4ABC的面積為（）

【分析】直接利用三角形中位線定理得出DE〃BC,DE=aBC,再利用相似三角形的判定與性

質(zhì)得出答案.

【解答】解：???在4ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

ADEZ/BC,DE=",

2

.'.△ADE^AABC,

.SAADE_1

??-f

^AABC4

「△ADE的面積為4,

.,.△ABC的面積為：16,

故選：D.

10.（2018?崇明縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC=3：1,連

接AE交BD于點(diǎn)F,則ADEF的面積與aBAF的面積之比為（）

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

【分析】可證明△DFEs^BFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案.

【解答】解：:四邊形ABQ）為平行四邊形，

.,.DC//AB,

/.△DFE^ABFA,

VDE：EC=3：1,

/.DE：DC=3：4,

/.DE：AB=3：4,

??S△訴E：SABFA_9：16.

故選：B.

11.（2018?隨州）如圖，平行于BC的直線DE把a(bǔ)ABC分成面積相等的兩部分，則典■的值

AD

為（）

【分析】由DE〃BC可得出△ADEs^ABC,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合SAMS*彩百，可得

出粵返，結(jié)合BD=AB-AD即可求出空的值，此題得解?

AB2AD

【解答】解：；DE〃BC,

，/ADE=NB,ZAED=ZC,

AADE^AABC,

,**SAADE=S四邊形BCEI），

.AD_V2

??~-------;

AB2

故選：C.

12.（2018?哈爾濱）如圖，在AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD,點(diǎn)G在線段AD上，GE

〃BD,且交AB于點(diǎn)E,GF〃AC,且交CD于點(diǎn)F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

E卜_k?

BDFC

AAB_AGBDF_DGcFG=EGDAE=CF

；'AE-AD■CF-AD'AC-BD'BE-DF

【分析】由GE〃BD、GF〃AC可得出△AEGS^ABD、ADFG^ADCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可找出典-絆要，此題得解.

BEDGDF

【解答】解:VGE//BD,GF〃AC,

.".△AEG^AABD,ADFG^ADCA,

.AE_AGDG=DF

"AB^AD，DA-DC）

.AEAGCF

"BEDGDF'

故選：D.

13.（2018?遵義）如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,連接AC、

BD,以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E.若DE=3,則AD的長(zhǎng)為（）

A.5B.4C.3遙D.2A/5

【分析】先求出AC,進(jìn)而判斷出△ADFs^CAB,即可設(shè)DF=x,AD=J^x,利用勾股定理求出

BD,再判斷出△DEFs^DBA,得出比例式建立方程即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，在RtZXABC中，AB=5,BC=10,

；.AC=5代

過(guò)點(diǎn)D作DF±AC于F,

；./AFD=NCBA,

VAD/7BC,

NDAF=NACB,

.".△ADF^ACAB,

.DFAD

,,瓶w

.DF_AD

?,丁根擊，

設(shè)DF=x,貝ijAD=J^x,

在RtaABD中，BD=^AB2+AD2=^5X2+25,

VZDEF=ZDBA,ZDFE=ZDAB=90°,

.,?△DEF^ADBA,

?DEDF

??—■>

BDAD

3_x

’6x2+25而'

.'.x=2,

AD=J^x=2

故選：D.

14.（2018?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰RtaABC和等腰Rt^ADE,

CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P,M.對(duì)于下列結(jié)論：

①△BAEs/\CAD；②MP?MD=MA?ME：③2cB2=CP?CM.其中正確的是（）

【分析】(1)由等腰RtZ\ABC和等腰RtZXADE三邊份數(shù)關(guān)系可證;

(2)通過(guò)等積式倒推可知，證明△PAMS/\EMD即可；

(3)2CBz轉(zhuǎn)化為AC2,證明△ACPs/\MCA,問(wèn)題可證.

【解答】解：由已知I：AC=J》B,AD二&AE

.AC_AD

**AB^AE

?.,ZBAC=ZEAD

AZBAE=ZCAD

/.△BAE^ACAD

所以①正確

VABAE^ACAD

，ZBEA=ZCDA

:ZPME=ZAMD

/.△PME^AAMD

.MP二ME

，MP?MD=MA,ME

所以②正確

■:ZBEA=ZCDA

NPME=/AMD

???P、E、D、A四點(diǎn)共圓

AZAPD=ZEAD=90°

ZCAE=180°-ZBAC-ZEAD=90°

AACAP^ACMA

/.AC2=CP*CM

〈AC二&AB

r.2CB2=CP?CM

所以③正確

故選：A.

15.(2018?貴港)如圖，在AABC中，EF〃BC,AB=3AE,若S西.BCFE=16,則S△皿=()

A.16B.18C.20D.24

【分析】由EF〃BC,可證明△AEFsaABC,禾傭相似三角形的性質(zhì)即可求出則S△械的值.

【解答】解：；EF〃BC,

AAEF^AABC,

VAB=3AE,

；.AE：AB=1：3,

??SAAEF：SAABC=1:9,

設(shè)SAAEI;=X,

S四邊)BBCFE=16,

，X_1

..16+xT

解得：x=2,

?'?SAABC=IS,

故選:B.

16.（2018?孝感）如圖，AABC是等邊三角形，AABD是等腰直角三角形，ZBAD=90°,AE

LBD于點(diǎn)E,連CD分別交AE,AB于點(diǎn)F,G,過(guò)點(diǎn)A作AHJ_CD交BD于點(diǎn)H.則下列結(jié)論：

①NADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；?AAFG^ACBG；⑤AF=（百-1）EF.其中正確結(jié)論

的個(gè)數(shù)為（)

D.

A.5B.4C.3D.2

【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知4CAD是等腰三角形且頂角NCAD=150。，據(jù)

此可判斷；②求出/AFP和/FAG度數(shù)，從而得出NAGF度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證△ADFgA

BAH即可判斷；④由即AFG=NCBG=60°、ZAGF=ZCGB即可得證；⑤設(shè)PF=x,則AF=2x、

AP=VAF^PF2=V5<.設(shè)EF=a,由4ADF絲ABAH知BH=AF=2x,根據(jù)aABE是等腰直角三角

形之BE=AE=a+2x,據(jù)此得出EH=a,證△PAFs/\EAH得,從而得出a與x的關(guān)系即

EHAE

可判斷.

【解答】解：:△ABC為等邊三角形，AABD為等腰直角三角形，

ZBAC=60"、ZBAD=90°、AC=AB=AD,/ADB=NABD=45°,

...△CAD是等腰三角形，且頂角/CAD=150°,

.\ZADC=15°,故①正確；

VAE1BD,即NAED=90°,

；./DAE=45°,

/.ZAFG=ZADC+ZDAE=60°,ZFAG=45°,

AZAGF=75°,

由ZAFG^ZAGF知AFWAG,故②錯(cuò)誤;

記AH與CD的交點(diǎn)為P,

D.

由AH_LCD且/AFG=60°知NFAP=30°,

則NBAH=NADC=15°,

在4ADF和aBAH中，

，ZADF=ZBAH

DA=AB，

NDAF=NABH=45°

AADF^ABAH(ASA),

；.DF=AH,故③正確；

VZAFG=ZCBG=60°,ZAGF=ZCGB,

AAAFG^ACBG,故④正確；

在RSAPF中，設(shè)PF=x,則AF=2x、AP=^/Ap2_pF2=^；,

設(shè)EF=a,

AADF^ABAH,

；.BH=AF=2x,

△ABE中，,/ZAEB=90°、ZABE=45°,

/.BE=AE=AF+EF=a+2x,

AEH=BE-BH=a+2x-2x=a,

VZAPF=ZAEH=90°,ZFAP=ZHAE,

/.△PAF^AEAH,

.PF_AP即x_?x

EHAE'aa+2x

整理，得：2x2=(5/3-1)ax,

由xWO得2x=(?-1)a,即AF=(?-1)EF,故⑤正確;

故選：B.

17.（2018?瀘州）如圖，正方形ABCD中,E,F分別在邊AD,CD±,AF,BE相交于點(diǎn)G,

若AE=3ED,DF=CF,則學(xué)■的值是（）

【分析】如圖作，F(xiàn)N〃AD,交AB于N,交BE于M.設(shè)DE=a,則AE=3a,利用平行線分線段

成比例定理解決問(wèn)題即可；

【解答】解：如圖作，F(xiàn)N〃AD,交AB于N,交BE于M.

???四邊形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,VFN/7AD,

四邊形ANFD是平行四邊形，

?."=90°,

四邊形ANFD是解析式，

VAE=3DE,設(shè)DE=a,則AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,

VAN=BN,MN〃AE,

,FM多，

VAE/7FM,

.AG_AE--16

??--------5—

GFFMya5

故選：C.

18.（2018?臨安區(qū)）如圖,在ZiABC中,DE〃BC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,

DB=2,則DE：BC的值為（）

【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似,

再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解則可.

【解答】解：：DE〃BC,

.'△ADES/XABC,

.DE^AD_AD_4_2

"BC=ABAD+DBTT

故選：A.

19.（2018?恩施州）如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長(zhǎng)交BC

邊的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，對(duì)角線BD交AG于F點(diǎn).已知FG=2,則線段AE的長(zhǎng)度為（）

A.6B.8C.10D.12

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB〃CD,進(jìn)而可得出△ABFsaCDF,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)可得出絆等2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長(zhǎng)度，由CG〃AB、AB=2CG可得出CG為

△EAB的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長(zhǎng)度，此題得解.

【解答】解：,??四邊形ABCD為正方形，

.\AB=CD,AB〃CD,

???NABF=NGDF,NBAF=NDGF,

AAABF^AGDF,

.AFAB9

GFGD

；.AF=2GF=4,

/.AG=6.

VCG/7AB,AB=2CG,

，CG為aEAB的中位線，

AAE=2AG=12.

故選：D.

20.(2018?杭州)如圖，在AABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE〃BC,與邊AC交于點(diǎn)E,連結(jié)

BE.記△ADE,ABCE的面積分別為S”S2()

A.若2AD>AB,則3sA2S?B.若2AD>AB,則3SV2s2

C.若2ADVAB,則3sA2s2D.若2AD<AB,則3SV2s2

【分析】根據(jù)題意判定△ADES/XABC,由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答.

【解答】解：：如圖，在△ABC中,DE〃BC,

AAADE^AABC,

Si

s1+s2+sABDE

...若2AD>AB,即黑時(shí)，-~----->二，

AB2S]+S2+^ABDE4

此時(shí)3sAs2+SA眥,而SZ+SABX2s2.但是不能確定3sl與2s2的大小,

故選項(xiàng)A不符合題意，選項(xiàng)B不符合題意.

若2ADVAB,BP—<^,---------------------<—,

AB2S1+S2+SABDE4

此時(shí)3SiVSz+SziBOEV2s2，

故選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意.

21.（2018?永州）如圖，在ZXABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn),ZADC=ZACB,AD=2,BD=6,

A.2B.4C.6D.8

【分析】只要證明△ADCS/XACB,可得告絲，即AC?=AD?AB,由此即可解決問(wèn)題;

ABAC

【解答】解:VZA=ZA,ZADC=ZACB,

.,.△ADC^AACB,

.AC_AD

?,記而，

.\AC2=AD?AB=2X8=16,

VAOO,

AACM,

故選:B.

22.（2018?香坊區(qū)）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，若DE〃BC,

EF〃AB,則下列比例式一定成立的是（）

AD_DEBF_EFAE_BF0EF_DE

BC.------u

DB-BC'BC'ADECFCAB-BC

【分析】用平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：；DE〃BC,

.ADAE

.,DE/7BC,

,.△ADE^AABC,

,AD_AE_DE

?正1C=BC'

；EF〃AB,

.AE_BF

-CE=CF'

；EF〃AB,

,.△CEF^ACAB,

.CE_CF_EF

?而=CB=AB'

；DE〃BC,EF〃AB,

?.四邊形BDEF是平行四邊形，

\DE=BF,EF=BD,

.AD_AEAE_DEAD_AE_BFCE_CF_BD

'EF^CE'CE^CF'AB^AC^BC，AE=CB=AB'

屋具正確，

故選：C.

23.（2018?荊門）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接

AF、BE交于點(diǎn)G,貝IJSAFG：S.BG:()

A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方即可解決問(wèn)題;

【解答】解：,??四邊形ABCD是平行四邊形，

.二CD=AB,CD/7AB,

VDE=EF=FC,

AEF：AB=1：3,

AAEFG^ABAG,

S

.AEFG_zEF.2_1

2ABAG處9

故選：C.

24.（2018?達(dá)州）如圖,E,F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn),AE=CF=L\C.連接DE,

4

s

DF并延長(zhǎng)，分別交AB,BC于點(diǎn)G,H,連接GH,則譽(yù)虹。的值為（）

SABGH

D.1

(分析］首先證明AG：AB=CH：BC=1：3,推出G【I〃AC,推出ZXBGHsABAC,可得:△AD￡-：ABAC

SABGH°ABGH

（黑）、A24，魯電斗由此即可解決問(wèn)題.

BG24SAADC3

【解答】解：：四邊形ABCD是平行四邊形

.\AD=BC,DC=AB,

VAC=CA,

.'.△ADC^ACBA,

SZUDLS/SABC，

VAE=CF=^C,AG〃CD,CH〃AD,

4

AAG：DC=AE：CE=1：3,CH：AD=CF：AF=1：3,

AAG：AB=C1I：BC=1：3,

.?.GH/7AC,

.,.△BGH^>ABAC,

.“ADC="BAC=（BA）2=（3）2=_9

2ABGH^ABGHBG24

..SAADG1

2AADC3

S

.AADG_9x13

2ABGH434

故選：C.

25.（2018?南充）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,P為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)B作BE

?LAP于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CHJLBE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,連接HF.下列

C.cosZCEP=^-D.HF?=EF?CF

5

【分析】首先證明BH二A1L推出EG二BG,推出CE二CB,再證明△CEHgZkCBILRtAIlFE^RtA

HFA,利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷.

【解答】解:連接EH.

???四邊形ABCD是正方形，

???CD=AB-BC=AD=2,CD〃AB,

VBE±AP,CH1BE,

???CH〃PA,

J四邊形CPAH是平行四邊形，

ACP=AH,

VCP=PD=1,

AAH=PC=1,

AAH=BH,

在RtZ\ABE中，VAH=HB,

AEH=HB,VHC1BE,

ABG=EG,

ACB=CE=2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

VCH=CH,CB=CE,HB=HE,

/.△ABC^ACEH,

AZCBH=ZCEH=90°,

VHF=HF,HE=HA,

.?.RtAHFE^RtAHFA,

AAF=EF,設(shè)EF=AF=x,

在RtaCDF中，有2?+(2-x)2=(2+x)2

AEF=y,故B錯(cuò)誤，

VPA//CH,

AZCEP=ZECH=ZBCH,

cosZCEP^cosZBCH=-,故C錯(cuò)誤.

CH5

?.?如=恒EF=—,FC=—

222

.??HF-EF嚇C,故D正確，

故選：D.

26.（2018?臨沂）如圖.利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2m,測(cè)得

AB=1.6m.BC=12.4m.則建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

【分析】先證明...△ABES/XACI）,則利用相似三角形的性質(zhì)得，），然后利用

1.6+12.4CD

比例性質(zhì)求出CD即可.

【解答】解：：EB〃CD,

AABE^AACD,

.AB_BE即1.6_1.2

"AC'CD，1.6+12.4CD'

.\CD=10.5（米）.

故選：B.

27.（2018?長(zhǎng)春）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其

中有首歌謠：今有竿不知其長(zhǎng)，量得影長(zhǎng)一丈五尺，立一標(biāo)桿，長(zhǎng)一尺五寸，影長(zhǎng)五寸，問(wèn)

竿長(zhǎng)兒何？意即：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺，同時(shí)立一

根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長(zhǎng)五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長(zhǎng)為（）

竹

標(biāo)

桿\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)竹竿的長(zhǎng)度為x尺,

???竹竿的影長(zhǎng)=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長(zhǎng)=一尺五寸=1.5尺，影長(zhǎng)五寸=0.5尺,

各具金，解得x=45（尺）.

150.5

故選：B.

28.（2018?紹興）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，

已知AB_LBD,CDXBD,垂足分別為B,D,A0=4m,AB=1.6m,C0=lm,則欄桿C端應(yīng)下降的垂

直距離CD為（）

A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m

【分析】由NAB0=/CD0=90°、ZA0B=ZC0D知△ABOs^CDO,據(jù)此得■一鄴,將已知數(shù)

COCD

據(jù)代入即可得.

【解答】M：VAB±BD,CD±BD,

.\ZAB0=ZCD0=90°,

又「/AOBuNCOD,

.,,△ABO^ACDO,

則到超，

COCD

VAO=4m,AB=1.6m,CO=lm,

?.?-4._.1..6

1CD

解得：CD=O.4,

故選：c.

二.填空題（共7小題）

29.（2018?邵陽(yáng)）如圖所示，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE,交

CD于點(diǎn)F,連接BF.寫出圖中任意一對(duì)相似三角形：△ADFs/jECF.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃CE,則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷AADFs

△ECF.

【解答】解：：四邊形ABCD為平行四邊形,

；.AD〃CE,

.,.△ADF^AECF.

故答案為△ADFS/XECF.

30.（2018?北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F,

若AB=4,AD=3,則CF的長(zhǎng)為空

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AB〃CD,進(jìn)而可得出/FAE=/FCD,結(jié)合/AFE=/CFD（對(duì)

頂角相等）可得出△AFEs/\CFD,利用相似三角形的性質(zhì)可得出叁!2,利用勾股定理

AFAE

可求出AC的長(zhǎng)度，再結(jié)合CF=BH-AC,即可求出CF的長(zhǎng).

CF+AF

【解答】解：,??四邊形ABCD為矩形,

AAB=CD,AD=BC,AB//CD,

/.ZFAE=ZFCD,

XVZAFE=ZCFD,

AAAFE^ACFD,

.CFCD?

AFAE

，

-*AC=>/AB2+BC2=5,

31.（2018?包頭）如圖，在口ABCD中，AC是一條對(duì)角線，EF〃BC,且EF與AB相交于點(diǎn)E,

與AC相交于點(diǎn)F,3AE=2EB,連接DF.若壇旭=1,則的值為

2

【分析】由3AE=2EB可設(shè)AE=2a、BE=3a,根據(jù)EF〃BC得，＞羋匚=（M）=_^,結(jié)合SAAEF=1

SAABC前25

知SAMC=SAABC=3E，再由/一坐L?知c△妞F=3,繼而根據(jù)SAADkySAAK可得答案.

4FCBE3SACDF35

【解答】解：；3AE=2EB,

可設(shè)AE=2a、BE=3a,

VEF/7BC,

.?.△AEFs/xABC,

.江研口(AE>2=(2a)2_4

,△ABCAB2a+3a25

22

,*,SAAEF1f

丁四邊形ABCD是平行四邊形,

SAADC=SAABC=~~

4

VEF/7BC,

.AF_AE_2a_2

'"FCBE3^T

.SAADFAF2

^ACDFCF3

?C_J9C_2J7255

??OAADF--ITOAADC一"二"K

55

故答案為：

32.（2018?資陽(yáng)）已知:如圖,△ABC的面積為12,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則

四邊形BCED的面積為9.

【分析】設(shè)四邊形BCED的面積為x,則%眥=12-x,由題意知DE〃BC且DE="|BC,從而得

含巴（罌）:據(jù)此建立關(guān)于x的方程，解之可得.

^△ABCBC

【解答】解：設(shè)四邊形BCED的面積為x,則S*DE=12-X,

?.?點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，

；.DE是AABC的中位線，

.".DE//BC,且DE寺C,

，△ADES/XABC,

解得:x=9,

即四邊形BCED的面積為9,

故答案為：9.

33.（2018?泰安）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一

個(gè)問(wèn)題：”今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問(wèn)：出南門幾步面見木？”

用今天的話說(shuō)，大意是：如圖，DEFG是一座邊長(zhǎng)為200步（“步”是古代的長(zhǎng)度單位）的

正方形小城，東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木,

求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）？請(qǐng)你計(jì)算KC的長(zhǎng)為

2000步

【分析】證明△CDKS/SDAII,利用相似三角形的性質(zhì)得巴一吧，然后利用比例性質(zhì)可求

10015

出CK的長(zhǎng).

【解答】解：DH=100,DK=100,AH=15,

VAH/7DK,

.,.ZCDK=ZA,

而NCKD=NAHD,

.".△CDK^ADAH,

.CKDKnnCK100

DHAH10015

.”-2000

??L/i\—?

3

答：KC的長(zhǎng)為空上步.

34.（2018?岳陽(yáng)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題：“今有勾五步，

股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”其意思為：”今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為5步,

股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為12步，問(wèn)該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步？”該問(wèn)題

的答案是黑步.

【分析】如圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE〃BC,則△ADEsZ\ACB,列比例式可得結(jié)論；如

圖2,同理可得正方形的邊長(zhǎng)，比較可得最大值.

【解答】解：如圖1,：四邊形CDEF是正方形，

ACD=ED,DE/7CF,

設(shè)ED=x,則CD=x,AD=12-x,

VDE/7CF,

AZADE=ZC,ZAED=ZB,

/.△ADE^AACB,

.DEAD

BCAC

?,?一x,■”=_—1.2.-.x-”,

512

x=歿,

17

如圖2,四邊形DGFE是正方形，

過(guò)C作CP_LAB于P,交DG于Q,

設(shè)ED=x,

SAABC=^\C?BC=^AB?CP,

22

12X5=13CP,

CP=—,

13

同理得：△CDGs/XCAB,

.DGCQ

??—，

ABCP

60

?x71T3-x

■年毀'

IT

X-_728209</6l07，

該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是患（步）,

故答案為：

CFB

圖1

35.（2018?吉林）如圖是測(cè)量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D,ZB=ZC=90°,測(cè)得

BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB=100m.

【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BADs/^CED,利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB.

【解答】解：VZADB=ZEDC,ZABC=ZECD=90°,

.,.△ABD^AECD,

.ABBDcBDXEC

ECCDCD

解得：AB」2。,50=]go（米）.

60

故答案為：100.

三.解答題（共15小題）

36.（2018?張家界）如圖，點(diǎn)P是。0的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AB=4,點(diǎn)M為眾上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），射線PM與。0交于點(diǎn)N（不與M重合）

（1）當(dāng)M在什么位置時(shí)，AMAB的面積最大，并求出這個(gè)最大值；

（2）求證:APAN^APMB.

【分析】（1）當(dāng)M在弧AB中點(diǎn)時(shí)，三角形MAB面積最大，此時(shí)OM與AB垂直，求出此時(shí)三

角形面積最大值即可；

（2）由同弧所對(duì)的圓周角相等及公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證.

【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在窟的中點(diǎn)處時(shí)，^MAB面積最大，此時(shí)OMLAB,

V0M=^B=yX4=2,

S&?=LB.0M=LX4X2=4；

22

（2）VZPMB=ZPAN,NP=NP,

.,.△PAN^APMB.

37.（2018?株洲）如圖，在RtaABM和RtaADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中

AM=AN.

（1）求證：RtAABM^RtAAND；

（2）線段MN與線段AD相交于T,若AT=5AD，求tanNABM的值.

4

【分析】(1)利用HL證明即可;

(2)想辦法證明△DNTs/xAMT,可得需必由AT=/AD，推出等在R3BM中,

tan/ABM9@二

BMDN3

【解答】解：(1)VAD=AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90"

.".RtAABM^RtAAND(HL).

(2)由RtZ\ABM咨RtZXAND易得：ZDAN=ZBAM,DN=BM

VZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

ZDAM=ZAND

；.ND〃AM

.,.△DNT^AAMT

.AWJT

-，DN^Af

"?'AT=-^-AD>

.AM1

"DN^?

VRtAABM

AM_AM_1

tanZABM=-Bf^DN^3

38.(2018?大慶)如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與0,B重合)，作

EC10B,交。0于點(diǎn)C,作直徑CD,過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作AFJ_PC于點(diǎn)F,

連接CB.

(1)求證：AC平分NFAB；

(2)求證：BC2=CE?CP；

（3）當(dāng)AB=4j狙冷小寸，求劣弧面的長(zhǎng)度.

Si

【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）只要證明△CBEs^CPB,可得棄”■解決問(wèn)題；

CPCB

（3）作BM_LPF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性

質(zhì)求出BM,求出tan/BCM的值即可解決問(wèn)題；

【解答】（1）證明：TAB是直徑，

AZACB=90°,

AZBCP+ZACF=90°,ZACE+ZBCE=90°,

VZBCP=ZBCE,

???NACF=NACE,即AC平分NFAB.

(2)證明：VOC=OB,

.\ZOCB=ZOBC,

〈PF是。。的切線，CE±AB,

/.Z0CP=ZCEB=90°,

???NPCB+NOCB=90°,ZBCE+Z0BC=90°,

AZBCE=ZBCP,

〈CD是直徑，

.\ZCBD=ZCBP=90°,

/.△CBE^ACPB,

.CB_CE

,,CTCB,

.\BC2=CE*CP；

(3)解：作BMJ_PF于M.則CE=CM二CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,

VZMCB+ZP=90°,NP+NPBM=90°，

：.ZMCB=ZPBM,

〈CD是直徑，BM±PC,

AZCMB=ZBMP=90°，

.BM.CM

??前麗，

ABM2=CM*PM=3a2,

***

?+/DPHBMV3

..tanNBCM=----=--,

CM3

/.ZBCM=30°,

AZ0CB=Z0BC=ZB0C=60°,ZB0D=120°

內(nèi)工120,兀?2娟473

..BD的長(zhǎng)二---------上之」2±n

DU1803

39.（2018?江西）如圖，在AABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD〃AB,BD是/ABC的平分線,

BD交AC于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng).

【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出ND二NCBD,求出BOCD=4,證△AEBs^CED,

得出比例式，求出AE=2CE,即可得出答案.

【解答】解：YBD為NABC的平分線，

???NABD二NCBD,

VAB//CD,

???ND=NABD,

AZD=ZCBD,

???BOCD,

VBC=4,

ACD=4,

???AB〃CD,

/.△ABE^ACDE,

.AB_AE

,"CETCE,

.8_AE

??------，

4CE

.\AE=2CE,

VAC=6=AE+CE,

；.AE=4.

40.（2018?上海）己知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BE1AP,DF1AP,垂

足分別是點(diǎn)E、F.

(1)求證:EF=AE-BE；

(2)聯(lián)結(jié)BF,如課乩12.求證：EF=EP.

BFAD

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得AB=AD,ZBAD=90°,根據(jù)等角的余角相等得到N1=N3,

則可判斷AABE絲Z\DAF,則BE=AF,然后利用等線段代換可得到結(jié)論：

（2）利用研-DF和AF=BE得到里此，則可判定RtABEF^RtADFA,所以N4=/3,再

BFADDFAD

證明N4=/5,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP.

【解答】證明：（1）???四邊形ABCD為正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°,

VBE±AP,DF±AP,

ZBEA=ZAFD=90°,

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

.-.Z1=Z3,

在△ABE和ADAF中

，ZBEA=ZAFD

-Z1=Z2>

,AB=DA

.-.△ABE^ADAF,

；.BE=AF,

.\EF=AE-AF=AE-BE；

⑵如圖，嘴&F為DF

而AF=BE,

.BE_DF

*'BFAD'

.BE_BF

*'DFAD'

.,.RtABEF^RtADFA,

N4=N3,

而N1=N3,

AZ4=Z1,

VZ5=Z1,

:.Z4=Z5,

即BE平分NFBP,

而BE±EP,

/.EF=EP.

41.（2018?東營(yíng)）如圖，CD是00的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上?

(1)求證：ZCAD=ZBDC；

【分析】(1)連接0D,由OB=OD可得出NOBD=/ODB,根據(jù)切線的性質(zhì)及直徑所對(duì)的圓周

角等于180°,利用等角的余角相等,即可證出NCAD=NBDC；

(2)由/C=/C、/CAD=NCDB可得出△CDBs^CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BD=1AD、

AC=3,即可求出CD的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接OD,如圖所示.

VOB=OD,

ZOBD-ZODB.

：CD是。。的切線，OD是。。的半徑，

AZ0DB+ZBDC=90°.

：AB是00的直徑，

AZADB=90°,

Z0BD+ZCAD=90°,

ZCAD=ZBDC.

(2)解：；/C=NC,ZCAD-ZCDB,

.,.△CDB^ACAI),

.BD_CD

"AD^AC-

.BD_2

??，

AD3

?.C?D_2，

AC3

又,^=3,

ACD=2.

42.(2018?南京)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.過(guò)點(diǎn)A作AFLDE,

垂足為F,。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D、F,與AD相交于點(diǎn)G.

(1)求證：AAFG^ADFC；

(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,AE=1,求。。的半徑.

【分析】（1）欲證明△AFGS/XDFC,只要證明NFAG=NFDC,NAGF=NFCD；

（2）首先證明CG是直徑，求出CG即可解決問(wèn)題；

【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，ZADC=90°,

/.ZCDF+ZADF=90°,

VAF1DE,

AZAFD=90°,

AZDAF+ZADF=90°,

.\ZDAF=ZCDF,

???四邊形GFCD是。0的內(nèi)接四邊形，

AZFCD+ZDGF=180Q,

VZFGA+ZDGF=180°,

???ZFGA=ZFCD,

AAAFG^ADFC.

(2)解：如圖,連接CG.

TNEAD=NAFD=90°,ZEDA=ZADF,

AAEDA^AADF,

.EA_DA即EAAF

"AF-DF，DTDF'

VAAFG^ADFC,

,AG_AF

''DC^W

,AG_EA

??記笳

在正方形ABCD中，DA=DC,

；.AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3,

?*-CG=VDG2+DC2=5,

VZCDG=90°,

；.CG是。。的直徑,

43.(2018?濱州)如圖,AB為。0的直徑，點(diǎn)C在00上，AD_LCD于點(diǎn)D,且AC平分/DAB,

求證：

(1)直線DC是。。的切線；

(2)AC2=2AD?AO.

【分析】(1)連接OC,由OA=OC、AC平分/DAB知NOAC=NOCA=NDAC,據(jù)此知0C〃AD,

根據(jù)AD1DC即可得證；

(2)連接BC,證△DACs^CAB即可得.

【解答】解：（1）如圖，連接0C,

VOA=OC,

JZOAC=ZOCA,

?.,AC平分NDAB,

???ZOAC=ZDAC,

???ZDAC=ZOCA,

A0C/7AD,

又TAD_LCD,

.\OC±DC,

???DC是。0的切線;

(2)連接BC,

〈AB為。。的直徑，

/.AB=2A0,ZACB=90°,

VAD1DC,

AZADC=ZACB=90°,

又?:ZDAC=ZCAB,

AADAC^ACAB,

???￡世，B|JAC2=AB*AD,

ABAC

VAB=2A0,

AAC2=2AD*AO.

44.（2018?十堰）如圖，^ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)D作FGLAC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：FG是。。的切線；

(2)若tanC=2,求善■的值.

GA

【分析】（1）欲證明FG是。0的切線，只要證明ODLFG；

（2）由△GDBS/^GAD,設(shè)BG=a.可得現(xiàn)兇二弧工，推出DG=2a,AG=4a,由此即可解決

ADGDGA2

問(wèn)題；

【解答】（1）證明：連接AD、0D.

；AB是直徑,

AZADB=90°,BPADXBC,

VAC=AB,

.\CD=BD,

VOA=OB,

；.OD〃AC,

VDF±AC,

；.ODJ_DF,

；.FG是。。的切線.

(2)解：VtanC=-^2,BD=CD,

CD

???BD：AD=1：2,

VZGDB+ZODB=90°,ZAD0+Z0DB=90°,

VOA=OD,

AZOAD=ZODA,

???NGDB=NGAD,

VZG=ZG,

/.△GDB^AGAD,設(shè)BG=a.

,BD_BG_DG_1

**ADGDGA7,

/.DG=2a,AG=4a,

ABG：GA=1：4.

45.（2018?杭州）如圖，