6.4 探索三角形相似的條件 蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊導(dǎo)學(xué)課件

6.4探索三角形相似的條件第6章圖形的相似逐點學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點1學(xué)習(xí)流程2平行線分線段成比例利用角的關(guān)系判定兩個三角形相似利用邊角關(guān)系判定兩個三角形相似利用三邊關(guān)系判定兩個三角形相似三角形的重心知識點平行線分線段成比例11.平行線分線段成比例的基本事實兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.符號語言如圖6.4-1所示，∵l3∥l4∥l5，要點解讀：①一組平行線(如圖6.4-1l3，l4，l5)兩兩平行，被截直線(如圖6.4-1l1，l2)不一定平行；②所有的成比例線段是指被截直線上的線段,與這組平行線上的線段無關(guān)；③利用平行線分線段成比例的基本事實寫比例式時，一定要注意對應(yīng)線段寫在對應(yīng)的位置上.2.平行線法判定兩個三角形相似：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.符號語言如圖6.4-2所示，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.例1如圖6.4-3，已知一組平行線a∥b∥c，被直線m，n

所截，交點分別為A，B，C

和D，E，F(xiàn)，且AB

＝3，BC

＝4，EF

＝4.8，則DE的長為__________．3.6解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實解決問題即可．解法提醒:在題目中，如遇到與直線平行相關(guān)的問題時，可從兩個方面獲取信息：一是角之間的關(guān)系（同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補）；二是線段之間的關(guān)系，即平行線分線段成比例.解：∵a∥b∥c，∴(兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例)．∵AB

＝3，BC

＝4，EF

＝4.8，∴．解得DE

＝3.6．知識點利用角的關(guān)系判定兩個三角形相似21.相似三角形的判定定理兩角分別相等的兩個三角形相似.2.符號語言如圖6.4-4所示，在△ABC

和△DEF

中，∵∠A=∠D，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.3.常見的相似三角形的類型(1)平行線型：如圖6.4-5①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.(2)相交線型：如圖6.4-5②，若∠AED=∠B，則△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如圖6.4-5③，若∠ACD=∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖6.4-5④，若∠A=∠D=∠BCE=90°，則△ACB∽△DEC，整體像一個橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.特別提醒：由兩組角分別相等判定兩個三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)角.一般地，相等的角是對應(yīng)角．如：公共角、對頂角、同角(等角)的余角(補角)、同弧所對的圓周角等都是相等的角，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件.如圖6.4-6，在矩形ABCD

中，E

為AD

上一點，EF⊥EC

交AB

于F，連接FC．求證：△AEF∽△DCE．例2解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩個三角形相似”，由于一對直角相等，因此只需利用圖形的性質(zhì)說明∠DEC＝∠AFE(或∠DCE

＝∠AEF)即可證明．思路點撥：當(dāng)兩個三角形已具備一角對應(yīng)相等的條件時，往往先找是否有另一角對應(yīng)相等，當(dāng)此思路不通時，再找夾等角的兩邊對應(yīng)成比例.找角相等時,應(yīng)注意挖掘公共角、對頂角、同角(等角)的余角(補角)等隱含條件.證明：∵EF⊥EC，∴∠FEC

＝90°．∴∠AEF+∠DEC

＝180°－90°＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠

A＝∠D

＝90°．∴∠AFE+∠AEF＝90°．∴∠DEC＝∠AFE．在△AEF

和△DCE

中，∵∠A

＝∠D，∠DEC

＝∠AFE．∴△AEF∽△DCE(兩角分別相等的兩個三角形相似)．知識點利用邊角關(guān)系判定兩個三角形相似31.相似三角形的判定定理兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.2.符號語言如圖6.4-7所示，在△ABC和△DEF

中，∵，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.特別提醒：運用該定理判定兩三角形相似時，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.如圖6.4-8，在正方形ABCD

中，P

是BC

上的一點，且BP=3PC，Q

是CD的中點.求證：△ADQ∽△QCP.例3解題秘方：緊扣“利用邊角關(guān)系判定兩個三角形相似的定理”證明即可.技巧點撥:利用兩邊成比例且夾角相等證兩三角形相似的方法：先找出兩個三角形中相等的那個角；再分別找出兩個三角形中夾這個角的兩條邊，并按大小排列找出對應(yīng)邊；最后看這兩組對應(yīng)邊是否成比例，若成比例,則兩個三角形相似，否則不相似.證明：設(shè)正方形ABCD

的邊長為4a，則AD=CD=BC=4a.∵Q

是CD的中點，BP=3PC，∴

DQ=CQ=2a，PC=a.∴=2在△ADQ和△QCP中，，∠D=∠C=90°，∴△ADQ∽△QCP.(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似).知識點利用三邊關(guān)系判定兩個三角形相似41.相似三角形的判定定理三邊成比例的兩個三角形相似.2.符號語言如圖6.4-9所示，在△ABC和△DEF

中，，∴△ABC∽△DEF.特別提醒:應(yīng)用時要注意比的順序性，即分子為同一個三角形的三邊，分母為另一個三角形的三邊，同時要注意邊的對應(yīng)情況，用大邊對大邊，小邊對小邊的思路找對應(yīng)邊.圖6.4-10、圖6.4-11中小正方形的邊長均為1，則圖6.4-11中的哪一個三角形(陰影部分)與圖6.4-10中的△ABC相似？例4解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形各邊的長，緊扣“三邊成比例的兩個三角形相似”，用計算比較法判斷.解：易知AC=，BC=2，AB=.圖6.4-11①中，三角形的三邊長分別為1，，2；圖6.4-11②中，三角形的三邊長分別為1，，；圖6.4-11③中，三角形的三邊長分別為，，3；圖6.4-11④中，三角形的三邊長分別為2，，.∵，∴圖6.4-11②中的三角形與△ABC相似.解法提醒:利用三邊成比例判定兩三角形相似的方法：先把兩個三角形的邊分別按照從小到大的順序排列，找出兩個三角形的對應(yīng)邊；再分別計算小、中、大三組對應(yīng)邊的比;最后看三組比是否相等，若相等，則兩個三角形相似，否則不相似.知識點利用三邊關(guān)系判定兩個三角形相似51.定義三角形的三條中線的交點叫做三角形的重心；2.符號語言如圖6.4-12，在△ABC中，AD，BE，CF分別是△ABC

的三條中線，且它們相交于點G，則點G

是△ABC的重心．反之，也成立．3.特別解讀(1)根據(jù)三角形相似的性質(zhì)能得出：三角形的重心將三角形的每條中線都分成1：2兩部分，其中重心到三角形某一頂點的距離是到該頂點對邊中點距離的2倍.(2)重心是一個物理學(xué)概念，在重力場中，物體處于任何方位時所有各組成支點的重力的合力都通過的那一點.形狀規(guī)則而密度均勻物體的重心就是它的幾何中心.不規(guī)則物體的重心，可以用懸掛法來確定.物體的重心，不一定在物體上.特別提醒：一般情況下，如果題目告訴我們兩條中線的交點，則應(yīng)認(rèn)識到可以運用重心的性質(zhì)解決問題，同時要注意是哪兩條線段的比等于1：2.填空、選擇題直接運用，解答題可以通過相似得到.如圖6.4-13，已知點M

是△ABC

的重心，AB＝18，MN∥AB，則MN＝___________．例56解題秘方：緊扣三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的知識列式計算求解．解：∵點M

是△ABC

的重心，∴AD

＝DB

＝

AB

＝9，