新教材2023版高中數(shù)學(xué)第六章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.2排列數(shù)學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

6.2.2排列數(shù)課標(biāo)解讀1.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式．2．掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點要點一排列數(shù)的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的____，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號________表示．要點二排列數(shù)公式Anm＝________________＝________(m≤n要點三全排列與階乘把n個不同的元素____取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列．這時，排列數(shù)公式中m＝n，即有Ann＝正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用____表示．于是，n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成Ann＝____．另外，我們規(guī)定，0助學(xué)批注批注“排列數(shù)”與“排列”的區(qū)別：“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個正整數(shù)；“排列”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列”，它是指具體的排法．夯實雙基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)由于排列數(shù)的階乘式是一個分式，所以其化簡的結(jié)果不一定是整數(shù)．()2A52表示從5個不同元素中取出(5－2)個元素的所有不同的排列的個數(shù)．(3)若Anm＝10×9×8×7×6，則n＝10，m＝6.((4)n?。?×2×3×…×(n－1)×n.()2．[2022·山東棗莊高二期末]7×8×9×…×15可表示為()A.A153．已知An2＝20，則n的值為(A．4B．5C．6D．74．3位同學(xué)被推薦擔(dān)任進博會3個指定展館服務(wù)志愿者，每人負責(zé)1個展館，每個展館只需1位同學(xué)，則共有________種不同的安排方法．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1排列數(shù)公式的應(yīng)用例115A53A．107B．323C．320D．348(2)已知An+12-An2(3)求證：Anm方法歸納排列數(shù)公式的選擇策略鞏固訓(xùn)練1(1)若Am3＝2Am+12，則mA．3B．4C．5D．6(2)[2022·江蘇徐州·高二期中]計算A99-題型2利用排列數(shù)解決簡單的實際問題角度1特殊元素或特殊位置問題例2三個女生和五個男生排成一排．(1)如果女生不站兩端，有多少種不同排法？(2)如果甲、乙兩人必須站兩端，有多少種不同排法？(3)如果甲不站最左端，乙不站最右端，有多少種不同排法？方法歸納特殊元素或特殊位置的排列問題的解題策略鞏固訓(xùn)練2(1)[2022·北京海淀高二期末]某班周一上午共有四節(jié)課，計劃安排語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有()A．24種B．18種C．12種D．6種(2)[2022·江蘇連云港高二期末]從0，1，2，3這4個數(shù)字中選出3個不同數(shù)字能組成________個三位數(shù)．角度2相鄰問題例3已知A，B，C，D，E共5名同學(xué)，按下列要求排列，分別求出滿足條件的排列方法數(shù)．(1)把這5名同學(xué)安排到5個空位上，且A，B必須相鄰；(2)把這5名同學(xué)安排到5個空位上，且A，B必須相鄰，C，D，E也必須相鄰．方法歸納用“捆綁法”解決相鄰問題的一般步驟將n個不同的元素排成一列，其中k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)鞏固訓(xùn)練3(1)現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為()AC(2)[2022·江蘇淮安高二期中]某學(xué)校派出4名學(xué)生和2名老師參加一個活動，活動結(jié)束后他們準(zhǔn)備站成一排拍照留念，則2名老師相鄰的不同排法有________種．(用數(shù)字作答)角度3不相鄰問題例4已知A，B，C，D，E五名同學(xué)，按下列要求進行排列，求所有滿足條件的排列方法數(shù)．(1)把5名同學(xué)排成一排且A，B不相鄰；(2)把5名同學(xué)排成一排且A，B都不與C相鄰．方法歸納解決“不相鄰”問題的方法解決“不相鄰”問題的方法是“插空法”，也就是先將其余元素排好，再將要求不相鄰的元素插入空中進行排列．鞏固訓(xùn)練4(1)現(xiàn)有5位代表參加疫情防控表彰大會，并排坐在一起，其中甲乙不相鄰，則不同的坐法有()A．24種B．36種C．48種D．72種(2)3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有()A．144種B．90種C．260種D．120種角度4定序問題例57人站成一排．(1)甲必須在乙的前面(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰)，則有多少不同的排列方法？方法歸納解決定序問題的方法解決“定序”問題用“倍縮法”．有(m＋n)個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，將這(m＋n)個元素排成一列，有A有A鞏固訓(xùn)練5(1)把語文、數(shù)學(xué)、物理、歷史、外語這五門課程安排在一天的五節(jié)課里，如果數(shù)學(xué)必須比歷史先上，則不同的排法有()A．48種B．24種C．60種D．120種(2)將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”(可以不相鄰)．這樣的排列方法有________種(用數(shù)字作答)．6．2.2排列數(shù)新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一個數(shù)A要點二n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)n要點三全部n(n－1)(n－2)×…×3×2×1n！n![夯實雙基]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：因為是7×8×9×…×15連續(xù)9個數(shù)相乘，所以7×8×9×…×15＝A159答案：A3．解析：An2＝n(n－1)＝20?n＝5答案：B4．解析：3位同學(xué)被推薦擔(dān)任進博會3個指定展館服務(wù)志愿者，每人負責(zé)1個展館，每個展館只需1位同學(xué)，則共有A33＝6(種答案：6題型探究·課堂解透例1解析：(1)原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348，故選D.(2)由An+12-An2＝10，得(n＋1)n－n(n－1)(3)證明：Anm+mAnm－1答案：(1)D(2)5(3)見解析鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由Am3＝2Am+12，得m(m－1)(m－2)＝2(m＋1)m，得m2－5所以m＝5或m＝0(舍去)．故選C.(2)由7所以A9答案：(1)C(2)0例2解析：(1)方法一(位置分析法)：因為兩端不排女生，只能從5個男生中選2人排列，有A52種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有A66種排法，因此共有A5方法二(元素分析法)：從中間6個位置選3個安排女生，有A63種排法，其余位置無限制，有A55種排法，因此共有A6方法三(間接法)：3個女生和5個男生排成一排共有A88種不同的排法，從中扣除女生排在首位的A31A77種排法和女生排在末位的A31(2)甲、乙為特殊元素，先將它們排在兩端位置，有A22種排法，其余6人全排列，有A66種排法，所以共有A2(3)甲、乙為特殊元素，左、右兩端為特殊位置．方法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排列，有A77種；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有A61種，而乙可排在除去最右邊位置和甲的位置后剩余的6個位置中的任一個上，有A61種，其余人全排列，共有A61方法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有A71種，余下7個位置全排列，有A77種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時的排法A61A方法三(間接法)：8個人全排列，共A88種．其中，不符合條件的有甲在最左邊時的A77種，乙在最右邊時的A77種，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，共A66種．所以共有A鞏固訓(xùn)練2解析：(1)語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育4門學(xué)科的全排列數(shù)為A44種，其中體育排在第一節(jié)的有A33種，所以該班周一上午不同的排課方案共有A44－A(2)由于選出3個不同數(shù)字能組成的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是0，因此可以分兩步完成排列，第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1，2，3這3個數(shù)字中任選1個，有A3第2步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的3個數(shù)字中任選2個，有A3根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為A31×A32＝3×3答案：(1)B(2)18例3解析：(1)第一步，把A，B這2名同學(xué)看作一個整體，和C，D，E共四個元素進行排列，其排列方法有A44種；第二步，對“捆綁到一起”的A，B這2個元素進行內(nèi)部排列，即“松綁”，其排列方法有A22種；第三步，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的排列方法有A(2)第一步，把A，B這2名同學(xué)看作一個整體，把C，D，E這3名同學(xué)看成一個整體，故這兩個整體排成一列的方法有A22種；第二步，對“捆綁到一起”的A，B這2個元素進行內(nèi)部排列，即“松綁”，其排列方法有A22種，對“捆綁到一起”的C，D，E這3個元素進行內(nèi)部排列，即“松綁”，其排列方法有A33鞏固訓(xùn)練3解析：(1)在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不全相鄰的方法數(shù)，即A88-A(2)因為2名老師相鄰，把他們捆綁看作一個元素與4名學(xué)生排共有A55種排法，再排其內(nèi)部順序有所以4名學(xué)生和2名老師站成一排拍照，2名老師相鄰的不同排法有A55A2答案：(1)B(2)240例4解析：(1)方法一第一步，先排不受限制的同學(xué)C，D，E，其排列方法有A33種．第二步，由于已經(jīng)排好的C，D，E間(包括兩端)形成了4個空，把有限制條件(不相鄰)的同學(xué)A，B插到這4個空中，其排列方法有A42種．由分步乘法計數(shù)原理知，滿足條件的排列方法有A方法二先不考慮A，B不相鄰這個限制條件，把5名同學(xué)全排列有A55種排列方法，其中A，B相鄰的排列方法有A22A4(2)第一步，先排不受限制的同學(xué)D，E，其排列方法有A22種．第二步，由于已經(jīng)排好的D，E之間(包括兩端)形成了3個空，把有限制條件(不相鄰)的同學(xué)A，C插到這3個空中，共有排列方法A32種．第三步，由于已經(jīng)排好的A，C，D，E之間(包括兩端)形成了5個空，但由于B不能與C相鄰，所以把B插入已經(jīng)排好的A，C，D，E中時只有3種選擇，其排列方法有A31鞏固訓(xùn)練4解析：(1)方法一(插空法)把甲乙2人插到另外3位代表的空格中，有A42種，又3位代表有順序，有A33種，所以甲乙不相鄰的坐法為A方法二(間接法)5位代表并排坐在一起的坐法為：A55種，甲乙相鄰的坐法為：所以甲乙不相鄰的坐法為：A55－A44A22＝72(種(2)由3名男生不相鄰知，應(yīng)該先把3名女生排好，有A33＝6(種再讓3個男生去插空，在3名女生形成的4個空中插入3個男生，共有A43＝24(種根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知總共有6×24＝144(種)排法．故選A.答案：(1)D