新教材2023版高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布學(xué)生用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.5正態(tài)分布課標(biāo)解讀1.通過(guò)誤差模型，了解正態(tài)曲線、正態(tài)分布的概念．2．通過(guò)借助具體實(shí)例的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布的特征及曲線表示的含義．3．了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．4．會(huì)求正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，能利用正態(tài)分布知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一正態(tài)曲線1．正態(tài)曲線的概念：函數(shù)φμ，σ(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中實(shí)數(shù)2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方；(2)曲線和x軸之間的區(qū)域面積為_(kāi)_______；(3)曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對(duì)稱(chēng)；(4)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值(最大值)________；(5)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．要點(diǎn)二正態(tài)分布1．定義：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作：____________．特例：當(dāng)μ＝____，σ＝____時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2．均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝____，D(X)＝____．要點(diǎn)三正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973?.助學(xué)批注批注?(1)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定．曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的位置可確定．當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散．批注?在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，簡(jiǎn)稱(chēng)為3σ原則．夯實(shí)雙基1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．()(2)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．()(3)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸的位置由μ確定，曲線形狀由σ確定．()(4)正態(tài)分布中，3σ范圍之外的情況在隨機(jī)試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的．()2．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，則P(X<1)＝()A．15B．C．13D．3．如圖是三個(gè)正態(tài)分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為()A．①②③B．③②①C．②③①D．①③②4．已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，則μ＝________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1正態(tài)分布密度曲線例1[2022·江蘇宿遷高二期末](多選)已知X～N(μ1，σ12)，Y～A．μ1<μ2B．σ1<σ2C．?t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．?t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)方法歸納利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值1σ2π(3)由σ的大小區(qū)分曲線的胖瘦．鞏固訓(xùn)練1[2022·廣東清遠(yuǎn)高二期末]已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)＝12πσie-(x-μi)22σiA．μ1＝μ3>μ2，σ1＝σ2>σ3B．μ1<μ2＝μ3，σ1<σ2<σ3C．μ1＝μ3>μ2，σ1＝σ2<σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3題型2正態(tài)分布的概率計(jì)算例2(1)[2022·廣東廣州高二期末]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.2，則P(0<X<2)＝()A．0.2B．0.3C．0.5D．0.8(2)[2022·山東聊城高二期末]已知隨機(jī)變量X，Y，X～B(4，12),Y～N(μ，σ2)，且D(X)＝E(Y)，又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，則實(shí)數(shù)a＝(A．0B．1C．12D．方法歸納正態(tài)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略鞏固訓(xùn)練2(1)[2022·河北張家口高二期末]已知X～N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.7，則P(0<X<4)＝()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7(2)[2022·福建龍巖高二期末]已知隨機(jī)變量X～N(8，σ2)，且P(6<X<10)＝a，P(4<X<12)＝b，則P(6<X<12)＝________．題型3正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用例3在某校舉行的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(70，100)．已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有16名．(1)試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少？(2)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生，試問(wèn)此次競(jìng)賽獲獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生約為多少人？附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.方法歸納正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于將待求的問(wèn)題向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想．鞏固訓(xùn)練3(1)[2022·江蘇淮安高二期末]某班50名同學(xué)參加體能測(cè)試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)成績(jī)c近似服從N(90，σ2)，若P(90≤c≤95)＝0.3，則可估計(jì)該班體能測(cè)試成績(jī)低于85分的人數(shù)為()A．5B．10C．15D．30(2)[2022·廣東深圳高二期末]某種包裝的大米質(zhì)量ξ(單位：kg)服從正態(tài)分布ξ～N(10，σ2)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司購(gòu)買(mǎi)該種包裝的大米1000袋，則大米質(zhì)量在10.02kg以上的袋數(shù)大約是()A．5B．10C．20D．407．5正態(tài)分布新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一1．正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)密度曲線2．(2)1(3)x＝μ(4)1要點(diǎn)二1．X～N(μ，σ2)012．μσ2[夯實(shí)雙基]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：因?yàn)閄～N(1，σ2)，所以直線X＝1為正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)軸，所以P(X<1)＝12.故選答案：D3．解析：由題意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，因?yàn)楫?dāng)σ較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為①，②，③.故選A.答案：A4．解析：因?yàn)镻(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝-1+52答案：2題型探究·課堂解透例1解析：由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)的正態(tài)密度曲線分別關(guān)于x＝μ1，x＝μ當(dāng)t≥μ1，P(X≥t)<P(Y≥t)，故C錯(cuò)誤；由于正態(tài)密度曲線與x軸之間的面積為1，由題圖可知?t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)，故D正確．故選ABD.答案：ABD鞏固訓(xùn)練1解析：由題圖中y＝φi(x)的對(duì)稱(chēng)軸知：μ1<μ3＝μ2，y＝φ1(x)與y＝φ2(x)(一樣)瘦高，而y＝φ3(x)胖矮，所以σ1＝σ2<σ3.故選D.答案：D例2解析：(1)因隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.2.所以P(X≤0)＝0.2，P(0<X<4)＝1－P(X≥4)－P(X≤0)＝0.6.所以P(0<X<2)＝12P(0<X<4)＝0.3.故選(2)由題意，D(X)＝4×12×(1－12)＝1＝E(Y)，則μ＝又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，則a－1＋3－2a＝2，解得a＝0.故選A.答案：(1)B(2)A鞏固訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)镻(X<4)＝0.7，所以P(X≥4)＝0.3，又0+42＝2所以P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.3，所以P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.4，故選B.(2)由題意得，正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝8，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得：P(6<X<12)＝b－b-a2答案：(1)B(2)b+a例3解析：(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績(jī)?yōu)閄，因?yàn)閄～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，則P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝12[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝12×(1－0.955)16÷0.0225≈711(人)．因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為711.(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60<X<80)]＝12×[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12×(1－0.683)得711×0.1585≈113(人)．因此，此次競(jìng)賽獲獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生約為113人．鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由c近似服從N(90，σ2)，可知正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為μ＝90，則P(85≤c≤90)＝P(