線性代數(shù)公式定理總結(jié)

概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確eq\o\ac(○,注)：全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.eq\o\ac(○,注)√關(guān)于：=1\*GB3①稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；=2\*GB3②線性無(wú)關(guān)；=3\*GB3③；④；⑤任意一個(gè)維向量都可以用線性表示.行列式的定義√行列式的計(jì)算：=1\*GB3①行列式按行（列）展開(kāi)定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.=2\*GB3②若都是方陣（不必同階）,則（拉普拉斯展開(kāi)式）=3\*GB3③上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.④關(guān)于副對(duì)角線：（即：所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）⑤范德蒙德行列式：矩陣的定義由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱(chēng)為矩陣.記作：或伴隨矩陣，為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式.√逆矩陣的求法:=1\*GB3①eq\o\ac(○,注)：=2\*GB3②=3\*GB3③√方陣的冪的性質(zhì)：√設(shè)的列向量為,的列向量為，則，為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即：√用對(duì)角矩陣eq\o\ac(○,左)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的eq\o\ac(○,行)向量；用對(duì)角矩陣eq\o\ac(○,右)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的eq\o\ac(○,列)向量.√兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘.√分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣：分塊對(duì)角陣相乘：,分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣：√矩陣方程的解法()：設(shè)法化成零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān).（向量個(gè)數(shù)變動(dòng)）原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).（向量維數(shù)變動(dòng)）兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.向量組線性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線性表示.維列向量組線性相關(guān)；維列向量組線性無(wú)關(guān).若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一.矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).行階梯形矩陣可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí)，稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.√矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì)施行一次初等eq\o\ac(○,行)變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣eq\o\ac(○,左)乘；對(duì)施行一次初等eq\o\ac(○,列)變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣eq\o\ac(○,右)乘.矩陣的秩如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱(chēng)矩陣的秩為.記作向量組的秩向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩.記作矩陣等價(jià)經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為.記作：向量組等價(jià)和可以相互線性表示.記作：矩陣與等價(jià)，可逆作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣與作為向量組等價(jià)矩陣與等價(jià).向量組可由向量組線性表示有解≤.向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無(wú)關(guān),且可由線性表示,則≤.向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)；任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定.若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無(wú)關(guān)；若，的列向量線性無(wú)關(guān),即：線性無(wú)關(guān).√矩陣的秩的性質(zhì)：①≥≤≤②③④⑤≤⑥即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.⑦若；若⑧等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型.⑨≤≤≤⑩○注eq\o\ac(○,注)：線性方程組的矩陣式向量式矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無(wú)條件恒成立）線性方程組解的性質(zhì)：√設(shè)為矩陣,若一定有解，當(dāng)時(shí),一定不是唯一解,則該向量組線性相關(guān).是的上限.√判斷是的基礎(chǔ)解系的條件：①線性無(wú)關(guān)；②都是的解；③.√一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.√若是的一個(gè)解，是的一個(gè)解線性無(wú)關(guān)√與同解（列向量個(gè)數(shù)相同）,則：①它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等；②它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√兩個(gè)齊次線性線性方程組與同解.√兩個(gè)非齊次線性方程組與都有解，并且同解.√矩陣與的行向量組等價(jià)齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）；矩陣與的列向量組等價(jià)（右乘可逆矩陣）.√關(guān)于公共解的三中處理辦法：把(I)與(II)聯(lián)立起來(lái)求解；通過(guò)(I)與(II)各自的通解，找出公共解；當(dāng)(I)與(II)都是齊次線性方程組時(shí)，設(shè)是(I)的基礎(chǔ)解系,是(II)的基礎(chǔ)解系，則(I)與(II)有公共解基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線性表示.即：當(dāng)(I)與(II)都是非齊次線性方程組時(shí)，設(shè)是(I)的通解，是(II)的通解，兩方程組有公共解可由線性表示.即：設(shè)(I)的通解已知，把該通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(II)的關(guān)系式而求出公共解。標(biāo)準(zhǔn)正交基個(gè)維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.向量與的內(nèi)積.記為：向量的長(zhǎng)度是單位向量.即長(zhǎng)度為的向量.√內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性：②對(duì)稱(chēng)性：③雙線性：的特征矩陣.的特征多項(xiàng)式.√是矩陣的特征多項(xiàng)式的特征方程.√，稱(chēng)為矩陣的跡.√上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的各元素.√若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量.√一定可分解為=、,從而的特征值為：,.○注eq\o\ac(○,注)為各行的公比，為各列的公比.√若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:①若滿足的任何一個(gè)特征值必滿足②的全部特征值為；.√初等矩陣的性質(zhì)：√設(shè)，對(duì)階矩陣規(guī)定：為的一個(gè)多項(xiàng)式.√√√的特征向量不一定是的特征向量.√與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.與相似（為可逆矩陣）記為：與正交相似（為正交矩陣）可以相似對(duì)角化與對(duì)角陣相似.記為：（稱(chēng)是的相似標(biāo)準(zhǔn)形）√可相似對(duì)角化為的重?cái)?shù)恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值.設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則有：.○注eq\o\ac(○,注)：當(dāng)為的重的特征值時(shí)，可相似對(duì)角化的重?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù).√若階矩陣有個(gè)互異的特征值可相似對(duì)角化.√若可相似對(duì)角化,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重根重復(fù)計(jì)算）.√若=，√相似矩陣的性質(zhì)：①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注eq\o\ac(○,注)是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量.②③從而同時(shí)可逆或不可逆④⑤；（若均可逆）；⑥（為整數(shù)）；，⑦○注eq\o\ac(○,注)前四個(gè)都是必要條件.√數(shù)量矩陣只與自己相似.√實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)：①特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；②不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交；○注eq\o\ac(○,注)：對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；③一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.若有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=；④必可用正交矩陣相似對(duì)角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；⑤與對(duì)角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；⑥兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似有相同的特征值.正交矩陣√為正交矩陣的個(gè)行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√正交矩陣的性質(zhì)：①；②；③正交陣的行列式等于1或-1；④是正交陣,則，也是正交陣；⑤兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；⑥的行（列）向量都是單位正交向量組.二次型，即為對(duì)稱(chēng)矩陣，與合同.記作：（）正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)符號(hào)差(為二次型的秩)√兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.√兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：√兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：√經(jīng)過(guò)化為標(biāo)準(zhǔn)形.√二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個(gè)數(shù)是由唯一確定的.√當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)為-1或0或1時(shí),稱(chēng)為二次型的規(guī)范形.√實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù).√慣性定理：任一實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣與唯一對(duì)角陣合同.√用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:求出的特征值、特征向量；對(duì)個(gè)特征向量正交規(guī)范化；構(gòu)造（正交矩陣）,作變換,則新的二次型為,的主對(duì)角上的元素即為的特征值.施密特正交規(guī)范化線性無(wú)關(guān),單位化：技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過(guò)施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正