圓與多邊形知識梳理

9.3圓與多邊形

【知識梳理】

正多邊形：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

正多邊形判定：“各邊相等”、“各角相等”必須同時具備，缺一不可.

正多邊形與圓的關(guān)系：正多邊形和圓的關(guān)系非常密切，只要把一個圓分成相

等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形

的外接圓.

正多邊形的中心：正多邊形外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形

的邊心距.

與正多邊形（正〃邊形）有關(guān)的計算：

邊長45a

半徑0AR

周長C-na

面積s=?5AAOB=等

360°

中心角NA05

n

360°

外角

n

360"

(1)180。-匯-

n

內(nèi)角NC43AB

(2)(〃-2)180°

n

內(nèi)角和(n-2)180°

1QQO

(1)OH=Hxcos^-

n

邊心距0H

(2)OH=,_(手

正三角形，正方形，正六邊形的內(nèi)外接圓半徑與邊長的關(guān)系。

正三角形正方形正六邊形

內(nèi)接

外接

正多邊形的邊心距（正三角形，正方形，正六邊形）

【經(jīng)典例題1）正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的

邊心距。若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2,則其內(nèi)切圓半徑的長為

（）

A.V2B.2V2-2C.2-V2D.V2-1

練習(xí)1-1如圖，已知。0的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距0M=2,則

該圓的內(nèi)接正三角形ACE的面積為（）

A.2B.4C.6百D.473

練習(xí)1-2如圖，邊長為。的正方形ABC。和邊長為匕的等邊△AEE均內(nèi)接于

。0,則的值是（）

a

A.2B.百C.V2

練習(xí)1-3如圖，△ABC是半徑為1的。。的內(nèi)接正三角形，則圓的內(nèi)接矩形

BCDE的面積為（）

D.B

C.V3

2

練習(xí)1-4如圖I,正六邊形ABCDEE內(nèi)接于。。，已知。。的半徑為4,則這

個正六邊形的邊心距0M和弧BC的長分別為（)

D.2S手

練習(xí)1-5如圖，等腰三角形ABC的內(nèi)切圓。。與A3,BC,C4分別相切于

點。，E,F,且AB=AC=5,BC=6,則OE的長是()

D3M延

AMD.------cD.竽

105.可

練習(xí)1-6（2019?十堰中考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AELCB交CB的

延長線于點E,若BA平分NDBE,AD=5,CE=，E,則AE=()

A.3B.3yliC.4小D.2y[3

練習(xí)1-7如圖，有一個圓。和兩個正六邊形Ti，T2.T］的6個頂點都在圓周

上，T2的6條邊都和圓。相切(我們稱Ti，T2分別為圓。的內(nèi)接正六邊形

和外切正六邊形).

(1)設(shè)Ti，T2的邊長分別為a,b,圓。的半徑為r,求r：a及r：。的值;

(2)求正六邊形T”T2的面積比Si：S2的值.

練習(xí)1-8如圖，。0外接于正方形A5CD,。為弧4)上一點，且AP=1,PC=3,

求正方形ABCD的邊長

練習(xí)L9如圖，正六邊形ABC。"的邊長是6+4百，點。i，Q分別是△ABb,

△CDE的內(nèi)心，則0\0i=.

【經(jīng)典例題2】如圖，將正五邊形繞中心。順時針旋轉(zhuǎn)。角度，與原正五邊

形構(gòu)成新的圖形，若要使該圖形既是軸對稱又是中心對稱圖形，則”的最小

A.30°B.36°C.72°D.90

練習(xí)2-1如圖，正三角形AMN與正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,則NBOM

的度數(shù)是.NMNC的度數(shù)是

練習(xí)2-2如圖，把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形ABGHI的AB

邊重合疊放在一起，連接EB,交HI于點K,則NBKI的大小為()

￡,______D

A.90°B.84°C.72°D.88°尸((\G))c

練習(xí)2-3如圖,P,Q分別是圓O的內(nèi)接正五邊形的邊AB.BC上的點,BP=CQ,

則/POQ=()

(2018秋?沐陽縣期中)如圖，P.Q分別是。0的內(nèi)接正五邊形的邊A8,8C上的點，BP=CQ,則/

POQ=()

A.75°B.54aC.72°D.60°

練習(xí)2-4劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割

圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積，設(shè)圓O

的半徑為1,若用圓O的外切正六邊形的面積來近似估計圓O的面積，則

S=.(結(jié)果保留根號)

練習(xí)2-5劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割

圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.如圖，若用

圓的內(nèi)接正十二邊形的面積與來近似估計。O的面積S,設(shè)。。的半徑為1,

則S-S嚴(yán)

o

練習(xí)2-6小明發(fā)現(xiàn)相機快門打開過程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他

繪制了如圖2所示的圖形.圖2中六個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的

內(nèi)接六邊形和一個小正六邊形，若PQ所在的直線經(jīng)過點M,PB=5cm,小

正六邊形的面積為竽切’則該圓的半徑為一皿

圖I圖2

練習(xí)2-7置的臉盆與架子的交點為A,B,AB=40cm,臉盆的最低點C到

AB的距離為10cm,則該臉盆的半徑為cm.

圖①圖②

練習(xí)2-8已知：圓內(nèi)接正方形ABCD,NDAC的平分線交圓于點E,交CD

于P,若EP=1,AP=3,則圓的半徑r=

【經(jīng)典例題3】如圖，△ABD是圓。的內(nèi)接正三角形，四邊形ACEF是圓0

的內(nèi)接正四邊形，若線段BC恰是圓0的一個內(nèi)接正n邊形的一條邊，則仁

()

E

練習(xí)3-1如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于圓0,則AD:AB=

A.2\f2：V3C.百：V2D.x/3：2V2

練習(xí)3-2如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接BD、BE、DF,則則BE/DF

的值為______.

練習(xí)3-2將正方形ABC。繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。，得正方形ABGA，

BCi交CD于點E,AB=@,則四邊形ASEO的內(nèi)切圓半徑為（）

AV3+1D3—A/3廠6+1八3-

2233

練習(xí)3-3如圖，A3是。。的直徑，點。,。在。。上，NOOC=90。，AD=

y/2,BC=\,則。。的半徑為()

修

A.百B.9V10八a+1

rX-x??

22

練習(xí)3-4如圖。O內(nèi)接正三角形形ABC、內(nèi)接正四邊形ABCD、。。內(nèi)接正

五邊形ABCDE……。。內(nèi)接正n邊形ABCDE...,且BlM=CN,

(1)圖①中NMON=_______0；

(2)圖②中ZMON=_______°；

(3)圖③中ZMON=_______°；

(4)試探究NMON的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)的關(guān)系_______________（直接寫

出答案)

A

OBS?

①②③

練習(xí)3-5如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE

分別是OO的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點M、N分別從點B、

C開始，以相同的速度中。0上逆時針運動.

(1)求圖①中NAPB的度數(shù)；

(2)圖②中，NAPB的度數(shù)是,圖③中NAPB的度數(shù)是；

(3)根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫

出推廣問題和結(jié)論；若不能，請說明理由.

練習(xí)3-6如圖1,△ABC為等邊三角形，圖2為正方形，圖3為正五邊形，

圖4為正方形.

(1)如圖1,當(dāng)BP=CQ時，請寫出NAOQ的度數(shù)，并說明理由

(2)如圖2,在正方形中當(dāng)BP=CQ時，ZAOQ=；如圖3,在正五邊

形中，當(dāng)BP=CQ時，ZAOQ=；

(3)如圖4,在正n邊形中當(dāng)，BP=CQ時，NAOQ是否有什么規(guī)律？如果

有請用含有n的式子直接表示；如果沒有，請說明理由.

圖1

練習(xí)3-7在圖1、圖2、圖3、圖4中，點P在線段BC上移動(不與B、C

重合)，M在BC的延長線上.

(1)如圖1,△ABC和△APE均為正三角形，連接CE.

①求證：△ABPgAACE.

②NECM的度數(shù)為。.

(2)①如圖2,若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE.則

ZECM的度數(shù)為。.

②如圖3,若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE.則

ZECM的度數(shù)為。.

(3)如圖4,n邊形ABC…和n邊形APE...均為正n邊形，連接CE,請你

探索并猜想NECM的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的數(shù)量關(guān)系(用含n的式子表示

NECM的度數(shù))，并利用圖4(放大后的局部圖形)證明你的結(jié)論.

練習(xí)3-8如圖1,作ZBPC平分線的反向延長線PA,現(xiàn)要分別以ZAPB，ZAPC

，NBPC為內(nèi)角作正多邊形，且邊長均為1,將作出的三個正多邊形填充不

同花紋后成為一個圖案.例如，若以NBPC為內(nèi)角，可作出一個邊長為1的

正方形，此時NBPC=90。，而90。2=45是360。（多邊形外角和）的18,這

樣就恰好可作出兩個邊長均為1的正八邊形，填充花紋后得到一個符合要求

的圖案，如圖2所示.

圖I

圖2中的圖案外輪廓周長是.

在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標(biāo)，則會標(biāo)的外輪

廓周長是

練習(xí)3-9粉筆是校園中最常見的必備品.圖1是一盒剛打開的六角形粉筆，

總支數(shù)為50支.圖2是它的橫截面（矩形ABC。），已知每支粉筆的直徑為

12mm,由此估算矩形ABC。的周長約為mm.（V3?1.73,結(jié)果精確

至U1mm)

練習(xí)3-10如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF,點P

沿直線AB從右向左移動，當(dāng)出現(xiàn)點P與正六邊形六個頂點中的至少兩個頂

點距離相等時，就會發(fā)出警報，則直線AB上會發(fā)出警報的點「有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

9.3圓與多邊形

【知識梳理】

正多邊形：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

正多邊形判定：“各邊相等”、“各角相等”必須同時具備，缺一不可.

正多邊形與圓的關(guān)系：正多邊形和圓的關(guān)系非常密切，只要把一個圓分成相

等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形

的外接圓.

正多邊形的中心：正多邊形外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形

的邊心距.

與正多邊形（正〃邊形）有關(guān)的計算：

邊長ABa

半徑0AR

周長C-na

nar

面積3=〃?AOB=

360°

中心角NA05

n

360°

外角

n

360°

(1)180°-^-

n

內(nèi)角NC45AB

(2)(〃-2)180°

n

內(nèi)角和(n-2)180°

1QQO

(1)O〃=Hxcos^-

n

邊心距0H

(2)OH=,_(豕

正三角形，正方形，正六邊形的內(nèi)外接圓半徑與邊長的關(guān)系。

正三角形正方形正六邊形

內(nèi)接

外接

正多邊形的邊心距（正三角形，正方形，正六邊形）

【經(jīng)典例題1］正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的

邊心距。若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2,則其內(nèi)切圓半徑的長為

()

A.V2B.2V2-2C.2-V2D.V2-1

【解析】???等腰直角三角形外接圓半徑為2,

...此直角三角形的斜邊長為4,兩條直角邊分別為2后，

.,?它的內(nèi)切圓半徑為：R=-(2A/2+2V2-4)=241-2.

2

故選B.

練習(xí)1-1如圖，已知。0的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距0M=2,則

該圓的內(nèi)接正三角形ACE的面積為()

A.2B.4C.673D.46

【解析】如圖所示，連接OC,0B,過0作ON_LCE于N,

,/多邊形ABCDEF是正六邊形，

:.ZCOB=60°,

VOC=OB,

.'.△COB是等邊三角形，

.,.ZOCM=60°,

.?.OM=OC?sinZOCM,

“OM4有

一$.60。一亍

VZOCN=30°,

1Dpi

，ON=±OC=*,CN=2,

23

，CE=2CN=4,

...該圓的內(nèi)接正三角形ACE的面積=3x1x4x空=46,

23

故選：D.

練習(xí)1-2如圖，邊長為a的正方形ABCD和邊長為b的等邊AAEF均內(nèi)接于

Q0,則2的值是（）

a

A/6

A.2B.逐C.&D.2

【解析】設(shè)其半徑是r,則其正三角形的邊長是百r,

正方形的邊長是四r,則它們的比是收：百.

則內(nèi)接正方形的邊長與內(nèi)接正三角形的邊長的比為：76:3.

即則穎值考,

故選：D.

練習(xí)1-3如圖，△ABC是半徑為1的。。的內(nèi)接正三角形，則圓的內(nèi)接矩形

D.旦

C.百

2

【解析】過點O作0F1BC于點F,連結(jié)BD、0C,

??.△ABC是0的內(nèi)接等邊三角形，AB=1,

.*.BF=-BC=-,NOBC=30。，

22

.,.0B=研=與=&，CD=BC?tan30°=—

cos300@33

T

.,?矩形BCDE的面積=BOCD=Y^.

3

故選c.

練習(xí)1-4如圖，正六邊形ABCDE/內(nèi)接于OO,已知。。的半徑為4,則這

個正六邊形的邊心距0M和弧BC的長分別為（)

D.2省,y

【解析】解：如圖所示，連接OC、0B

多邊形ABCDEF是正六邊形,

.,.ZBOC=60°,

VOA=OB,

.,.△BOC是等邊三角形,

.*.ZOBM=60o,

77

/.OM=OBsinZOBM=4x—=273,

2

弧BC的長度=更需=*'

故選：A.

B

練習(xí)1-5如圖，等腰三角形ABC的內(nèi)切圓。。與A3,BC,CA分別相切于

點。，E,F,且AB=AC=5,BC=6,則。E的長是（）

3MC延

【解析】D

練習(xí)1-6（2019?十堰中考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AELCB交CB的

延長線于點E,若BA平分NDBE,AD=5,CE=，H,則AE=（）

A.3B.3啦C.4小D.2小

【解析】如解圖，連接AC,〈BA平分NDBE,

/.ZABE=ZABD,

???四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，

工ZABC+ZADC=180°.

VZABC+ZABE=180°,

/.ZABE=ZADC,/.ZADC=ZABD,

VZABD=ZACD,

.*.ZADC=ZACD,.，.AC=AD=5.VAE±CE,CE=而,

/.AE=^AC2-CE2=752-(V13)2=2百.

練習(xí)1-7如圖，有一個圓。和兩個正六邊形Ti，T2.TI的6個頂點都在圓周

上，T2的6條邊都和圓。相切(我們稱Ti,T2分別為圓。的內(nèi)接正六邊形

和外切正六邊形).

(2)設(shè)T”T2的邊長分別為a,b,圓。的半徑為r,求r：a及r：。的值;

(2)求正六邊形T”T2的面積比Si:S2的值.

【解析】(1)連接圓心0和Ti的6個頂點可得6個全等的正三角形。

所以r:a=l:l；

連接圓心0和T2相鄰的兩個頂點，得以圓0半徑為高的正三角形,

所以r:Z?=AO:BO=sin60°=V3:2；

⑵TI：T2的邊長比是有:2,所以S152=34=3:4.

練習(xí)1-8如圖，。0外接于正方形A3C2P為弧上一點，且AP=1,PC=3,

求正方形ABC。的邊長

D.

?O

P

AB

【解析】連接AC,作于點￡,

如圖所示.

?.?四邊形ABC。是正方形,

AB=BC=CD=AD,NABC=ND=ZBCD=90°,ZACB=45°,

二?AC是。。的直徑，AABC是等腰直角三角形,

ZAPC=90°,AC=y/2AB,

AC=\IAP2+PC2=VI2+32=Vio,

AC

AB

ZAPB=NAC5=45°,AEJ_PB,

.?.△APE是等腰直角三角形,

V2

PE^AE=—APV

BE=[AB?_4爐=（逐）2J也]二辿

YI2J2

:.PB=PE+BE=?+^^=2短.

22

正方形ABCD的邊長為V5,PB的長為2近.

D.C

PIE,

B

練習(xí)1-9如圖，正六邊形ABCDEF的邊長是6+4百，點。1,Q分別是△ABF,

△CDE的內(nèi)心，則Oi。2=.

zA=-6-2)-80-=120°,AF=AB,

6

/.ZAFB=ZABF=-(180°-120°)=30°,

2

,XAFB邊上的高AM=』Ab='(6+4后)=3+26，BM=6AM

22

=373+6,

Z.BF=3V3+6+3V3+6=12+6V3,

設(shè)^AEB的內(nèi)切圓的半徑為r,

5AAFB=SAAOIF=SAAOIB=SABFOI，

：.-(12+673)x(3+2V3)=-(6+4退)r+-(6+4V3)r+-(12+6百)

2222

解得：r=3,

即OiM=r=3,

：.OiO2=2x3+6+48=12+45

故答案為：12+46.

【經(jīng)典例題2】如圖，將正五邊形繞中心。順時針旋轉(zhuǎn)。角度，與原正五邊

形構(gòu)成新的圖形，若要使該圖形既是軸對稱又是中心對稱圖形，則”的最小

A.30°B.36°C.72°D.90

【解析】

???正五邊形的每個外角的度數(shù)=號-=72。，

,將正五邊形ABCDE繞C點順時針方向旋轉(zhuǎn)72。時，所得新五邊形

ABCDE的頂點D第一次落在直線BC上.

故選B.

練習(xí)2-1如圖，正三角形AMN與正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,則NBOM

的度數(shù)是.NMNC的度數(shù)是.

【解析】連接AO,

?.?正三角形AMN與正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,

.,.ZAOM=-x360°=120°,

3

.,.ZAOB=-x360°=72°,

5

ZBOM=ZAOM-ZAOB,

.,.ZBOM=120o-72°=48°

故答案為:48°

ZMNC=-ZM0C=12°

2

練習(xí)2-2如圖，把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形ABGHI的AB

邊重合疊放在一起，連接EB,交HI于點K,則NBKI的大小為（）

【解析】由正五邊形內(nèi)角，得NI=NBAI=(5x2)x180°

---------------=1VO

5

由正六邊形內(nèi)角，得

NABC=(6x2)xl80°_℃。，

-1ZXJ

2

BE平分/ABC,

ZABK=60°,

由四邊形的內(nèi)角和，得

ZBKI=360°-ZI-ZBAI-ZABK

=360o-1080-108o-60°

=84°.

故選:B.

練習(xí)2-3如圖,P,Q分別是圓0的內(nèi)接正五邊形的邊AB,BC上的點,BP=CQ,

則NPOQ=()

(2018秋?沐陽縣期中)如圖，P.。分別是。。的內(nèi)接正五邊形的邊48,8c上的點，BP=CQ,則/

POQ=()

A.75°B.54°C.72°D.60’

【解析】解答解：連接OA、OB、OC,

???五邊形ABCDE是。O的內(nèi)接正五邊形，

.".ZAOB=ZBOC=72°,

VOA=OB,OB=OC,

/.ZOBA=ZOCB=54O,

在^OBPOCQ中，

OB=OC,ZOBP=ZOCQ,BP=CQ,

.'.△OBP四△OCQ,

/.ZBOP=ZCOQ,

■:ZAOB=ZAOP+ZBOP,ZBOC=ZBOQ+ZQOC,

.,.ZBOP=ZQOC,

?:NPOQ=NBOP+NBOQ,NBOC=NBOQ+/QOC,

.,.ZPOQ=ZBOC=72°.

故答案為：72°.

練習(xí)2-4劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割

圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積，設(shè)圓O

的半徑為1,若用圓0的外切正六邊形的面積來近似估計圓0的面積，則

s=.（結(jié)果保留根號）

【解析】依照題意畫出圖象，如圖所示.

???六邊形ABCDEF為正六邊形,

AAABO為等邊三角形，

VOO的半徑為1,

.*.OM=1,

.".BM=AM=—,

3

,AB;地

3

S=6S△ABO=6X—xl2U-x1=2V3.

23

故答案為：2也.

練習(xí)2-5劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割

圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.如圖，若用

圓的內(nèi)接正十二邊形的面積Si來近似估計。。的面積S,設(shè)。。的半徑為1,

則S-Si=.

練習(xí)2-6小明發(fā)現(xiàn)相機快門打開過程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他

繪制了如圖2所示的圖形.圖2中六個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的

內(nèi)接六邊形和一個小正六邊形，若PQ所在的直線經(jīng)過點M,PB=5cm,小

正六邊形的面積為竽編‘則該圓的半徑為力

圖1圖2

練習(xí)2-7置的臉盆與架子的交點為A,B,AB=40cm,臉盆的最低點C到

AB的距離為10cm,則該臉盆的半徑為cm.

圖①圖②

【解析】如解圖，取圓心為O,

連接OA、OC,OC交AB于點D,則OC_LAB.

設(shè)。O的半徑為r,則OA=OC=r,

又?.?CD=10,；.OD=r—10,

VAB=40,OC_LAB,AAD=20.

在RaADO中，由勾股定理得：r2=202+(r—10)2,解得r=25,

即臉盆的半徑為25cm.

AB

C

練習(xí)2-8已知：圓內(nèi)接正方形ABCD,NDAC的平分線交圓于點E,交CD

于P,若EP=1,AP=3,則圓的半徑r=

答案：V5

【經(jīng)典例題3】如圖，△ABD是圓。的內(nèi)接正三角形，四邊形ACEF是圓0

的內(nèi)接正四邊形，若線段BC恰是圓0的一個內(nèi)接正n邊形的一條邊，則仁

()

A.16B.12C.10D.8

答案：B

練習(xí)3-1如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于圓。，則AD:AB=

)

E

A.2企：V3B.V2：V3C.6：42D.V3：2\f2

答案：B

練習(xí)3-2如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接BD、BE、DF,則則BE/DF

的值為.

2扣

答案:

3

練習(xí)3-2將正方形ABC。繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。，得正方形ABG。,

BiCi交CD于點、E,AB=y[3,則四邊形ABiED的內(nèi)切圓半徑為（）

AV3+1口3-6「V3+1門3-6

2233

練習(xí)3-3如圖，AB是。。的直徑，點O,C在。。上，ZDOC=90°,AD=

血，BC=\,則。。的半徑為（

「回

A.73B.立n^2+1

222

【解析】如圖延長。。交。。于E,作EELCB交C8的延長線于巴連接

BE、EC.

?*-AD=BE-

.,.AD=BE=叵,

,：ZDOC=ZCOE=9Q°,OC=OB=OE,

：.ZOCB=ZOBC,ZOBE=ZOEB,

：.ZCBE=-(360°-90°)=135°,

2

：.ZEBF=45°,

...△E8/是等腰直角三角形，

：.EF=BF=l,

在RtAECF中，EC=｛蹉2^2rl2+22=爬,

?..△OCE是等腰直角三角形,

V22

故選：C.

練習(xí)3-4如圖。。內(nèi)接正三角形形ABC、內(nèi)接正四邊形ABCD、。。內(nèi)接正

五邊形ABCDE……OO內(nèi)接正n邊形ABCDE...,且BM=CN,

(1)圖①中NMON=°；

(2)圖②中ZMON=°；

(3)圖③中ZMON=°；

(4)試探究NMON的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)的關(guān)系.(直接寫

出答案)

【解析】分別連接OB、OC,

(1)VAB=AC,

，NABC=NACB,

VOC=OB,O是外接圓的圓心，

，C0平分/ACB

.,.ZOBC=ZOCB=30°,

.,.ZOBM=ZOCN=30°,

?；BM=CN,OC=OB,

.?.△OMB絲△ONC,

/.ZB0M=ZN0C,

VZBAC=60°,

.?.ZBOC=120°；

.,.ZMON=ZBOC=120°；

（2）同（1）可得NMON的度數(shù)是90。，圖3中NMON的度數(shù)是72。；

36003600

（3）由（1）可知，ZM0N=——=120°；在（2）中，ZMON=——=90°；

34

360

故當(dāng)n時，NM0N=U.

n

練習(xí)3-5如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE

分別是的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點M、N分別從點B、

C開始，以相同的速度中。O上逆時針運動.

（1）求圖①中NAPB的度數(shù)；

（2）圖②中，NAPB的度數(shù)是,圖③中NAPB的度數(shù)是；

（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫

出推廣問題和結(jié)論；若不能，請說明理由.

【解析】（1）ZAPB=120°

圖1：?.?點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在上逆時針運動,

，NBAM=NCBN,

又?.?/APN=NBPM,

.,.ZAPN=ZBPM=ZABN+ZBAM=ZABN+ZCBN=ZABC=60°,

.".ZAPB=120°；

(2)同理可得：ZAPB=90°；ZAPB=72°.

（3）由（1）可知，NAPB=所在多邊形的外角度數(shù)，故在圖〃中,

n

分析：根據(jù)對頂角相等和三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系解答即可.

練習(xí)3-6如圖1,△ABC為等邊三角形，圖2為正方形，圖3為正五邊形,

圖4為正方形.

(1)如圖1,當(dāng)BP=CQ時，請寫出NAOQ的度數(shù)，并說明理由

(2)如圖2,在正方形中當(dāng)BP=CQ時，ZAOQ=；如圖3,在正五邊

形中，當(dāng)BP=CQ時，NAOQ=；

(3)如圖4,在正n邊形中當(dāng)，BP=CQ時，NAOQ是否有什么規(guī)律？如果

有請用含有n的式子直接表示；如果沒有，請說明理由.

在^ABM和^BCN中,

ZBAM=ZCBNAB=BCZABC=ZC=60°

ZBAM=ZCBNAB=BCZABC=ZC=60°.

/.ZBAM=ZCBN.

.".ZBQM=ZBAM+ZABN=ZCBN+ZABN=ZABC=60°.

(2)理由同(1)：正方形NBQM=90。，正五邊形NBQM=108。，正六邊

形NBQM=120°,正n邊形NBQM=180。(n-2)nl80°(n-2)n.

故答案為：90°,108°,120°,180°(n-2)nl80°(n-2)n

練習(xí)3-7在圖1、圖2、圖3、圖4中，點P在線段BC上移動(不與B、C

重合),M在BC的延長線上.

(1)如圖1,△ABC和△APE均為正三角形，連接CE.

①求證：△ABP^AACE.

②NECM的度數(shù)為。.

(2)①如圖2,若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE.則

ZECM的度數(shù)為。.

②如圖3,若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE.則

ZECM的度數(shù)為。.

(3)如圖4,n邊形ABC...和n邊形APE...均為正n邊形，連接CE,請你

探索并猜想NECM的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的數(shù)量關(guān)系(用含n的式子表示

NECM的度數(shù))，并利用圖4(放大后的局部圖形)證明你的結(jié)論.

【解析】(1)①證明:如圖1,

,/AABC與^APE均為正三角形,

AAB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,

:.ZBAC-ZPAC=ZPAE-ZPAC

即NBAP=NCAE,

在^ABP和^ACE中，

AB=AC,ZBAP=ZCAE,AP=AE,

.'.△ABP絲△ACE(SAS).

@VAABP^AACE,

/.ZACE=ZB=60o,

VZACB=60°,

ZECM=180°-60o-60o=60°.

故答案為：60.

(2)①如圖2,作ENLBN,交BM于點N

3N"

?.?四邊形ABCD和APEF均為正方形，

，AP=PE,ZB=ZENP=90°,

/.ZBAP+ZAPB=ZEPM+ZAPB=90°,

即NBAP=/NPE,

在AABP^lAPNE中，

NB=NENP,NBAP=NNPE,AP=PE,

/.△ABP^AACE(AAS).

，AB=PN,BP=EN,

VBP+PC=PC+CN=AB,

/.BP=CN,

/.CN=EN,

/.ZECM=ZCEN=45°

②如圖3,作EN〃CD交BM于點N,

??,五邊形ABCDF和APEGH均為正五邊方形,

，AP=PE,ZB=ZBCD,

VEN//CD,

.,.ZPNE=ZBCD,

.,.NB=NPNE

ZBAP+ZAPB=ZEPM+ZAPB=180°-ZB,

即NBAP=NNPE,

在AABP^lAPNE中，

ZB=ZENP,NBAP=NNPE,AP=PE,

.".△ABP^APNE(AAS).

，AB=PN,BP=EN,

VBP+PC=PC+CN=AB,

.?.BP=CN,

，CN=EN,

/.ZNCE=ZNEC,

ZCNE=ZBCD=108°,

.,.ZECM=ZCEN=-(1800-ZCNE