經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)微積分第一篇-函數(shù)

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)微積分第一篇--函數(shù)匯報人：AA2024-01-24函數(shù)概念與性質(zhì)一元函數(shù)微分學一元函數(shù)積分學多元函數(shù)微積分學無窮級數(shù)初步知識微積分在經(jīng)濟領(lǐng)域應(yīng)用舉例目錄01函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)定義及表示方法函數(shù)定義設(shè)$x$和$y$是兩個變量，$D$是實數(shù)集$R$的某個子集，若對于$D$中的每一個數(shù)$x$，變量$y$按照一定的法則總有一個確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$，其中$x$稱為自變量，$y$稱為因變量，$D$稱為函數(shù)的定義域。解析法用含有數(shù)學表達式的等式來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做解析法。表格法用列表的方法來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法叫做表格法。圖象法在平面直角坐標系中，用圖象來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等。如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的值域是有界的，則稱該函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是有界的。如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)隨著自變量的增加而增加（或減少），則稱該函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的（或減少的）。如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，則稱該函數(shù)是奇函數(shù)；如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個$x$，都有$f(-x)=f(x)$，則稱該函數(shù)是偶函數(shù)。如果存在一個正數(shù)$T$，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，則稱該函數(shù)是周期函數(shù)，且$T$是該函數(shù)的周期。有界性奇偶性周期性單調(diào)性函數(shù)性質(zhì)與分類反函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(x)$的定義域是$D$，值域是$A$。如果對于值域$A$中的每一個數(shù)$y$，在定義域$D$中總存在唯一確定的數(shù)$x$，使得等式$y=f(x)$成立，那么稱函數(shù)$f:DtoA$為可逆的，并稱這個唯一確定的對應(yīng)法則為函數(shù)$f$的反函數(shù)，記作$f^{-1}$。復合函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(u)$的定義域為$D_u$，值域為$M_u$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域為$D_x$，值域為$M_x$，且使$M_xcapD_unevarnothing$。那么對于所有使上述兩個函數(shù)有意義且滿足上述條件的自變量$x$的集合，叫做復合函數(shù)的定義域。記作：$(gcircf)(x)=g(f(x))$或者$varphi(x)=g(f(x))$。反函數(shù)與復合函數(shù)02一元函數(shù)微分學導數(shù)的定義導數(shù)描述了函數(shù)在某一點處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導數(shù)的計算通過求極限的方式計算導數(shù)，包括基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則。高階導數(shù)二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)，表示函數(shù)在某一點處的更高階變化率。導數(shù)概念及其計算微分的定義微分是函數(shù)在某一點處的局部線性逼近，即函數(shù)的微小變化量。微分的計算通過求導數(shù)和乘以自變量的微分來計算函數(shù)的微分，包括基本初等函數(shù)的微分公式和微分的四則運算法則。微分的應(yīng)用微分在經(jīng)濟學中廣泛應(yīng)用于邊際分析和彈性分析等領(lǐng)域。微分概念及其計算微分中值定理與導數(shù)應(yīng)用微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，揭示了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的整體性質(zhì)與導數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。導數(shù)應(yīng)用導數(shù)在經(jīng)濟學中具有廣泛的應(yīng)用，如邊際分析、彈性分析、最優(yōu)化問題等。通過求導數(shù)可以找到函數(shù)的極值點和拐點，進而分析函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性。03一元函數(shù)積分學設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在可導函數(shù)F(x)，使得F'(x)=f(x)對任意x∈I都成立，則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，并稱∫f(x)dx=F(x)+C（C為任意常數(shù)）為f(x)的不定積分。不定積分的定義不定積分具有線性性質(zhì)，即∫[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx；同時，不定積分還具有區(qū)間可加性，即∫f(x)dx(從a到b)=∫f(x)dx(從a到c)+∫f(x)dx(從c到b)。不定積分的性質(zhì)不定積分概念及性質(zhì)VS設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，如果對于任意分割T:a=x0<x1<...<xn=b，以及任意點集{ξi}∈[xi-1,xi]，都有l(wèi)im|T|→0∑f(ξi)*Δxi存在且唯一，則稱該極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作∫f(x)dx(從a到b)。定積分的性質(zhì)定積分具有線性性質(zhì)，即∫[a*f(x)+b*g(x)]dx(從a到b)=a*∫f(x)dx(從a到b)+b*∫g(x)dx(從a到b)；同時，定積分還具有區(qū)間可加性，即∫f(x)dx(從a到b)=∫f(x)dx(從a到c)+∫f(x)dx(從c到b)；此外，定積分還具有保號性、絕對值不等式性質(zhì)等。定積分的定義定積分概念及性質(zhì)積分計算的基本方法包括換元法、分部積分法等。換元法是通過變量代換簡化被積函數(shù)的形式，從而便于求解；分部積分法則是將復雜的被積函數(shù)拆分成多個簡單函數(shù)的乘積形式進行求解。積分在經(jīng)濟數(shù)學中有著廣泛的應(yīng)用，如計算總收益、總成本、平均收益、平均成本等。例如，在求解總收益時，可以通過對收益函數(shù)進行定積分得到；在求解平均收益時，可以通過總收益除以總銷售量得到。此外，在經(jīng)濟學中還經(jīng)常使用積分來描述邊際效用、消費者剩余等概念。積分計算方法積分應(yīng)用舉例積分計算與應(yīng)用舉例04多元函數(shù)微積分學多元函數(shù)概念及性質(zhì)設(shè)D為一個非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實數(shù)y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。多元函數(shù)定義包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。這些性質(zhì)在經(jīng)濟學中有廣泛應(yīng)用，如需求函數(shù)、供給函數(shù)等。多元函數(shù)的性質(zhì)偏導數(shù)多元函數(shù)中，一個變量變化而其他變量保持不變時，函數(shù)值的變化率。偏導數(shù)反映了函數(shù)在某一點處沿某一坐標軸方向的變化率。全微分多元函數(shù)在某一點處的全增量可以表示為各偏導數(shù)與對應(yīng)自變量增量的乘積之和，即全微分。全微分描述了函數(shù)在某一點附近的全局變化。偏導數(shù)與全微分在函數(shù)的某個鄰域內(nèi)，若函數(shù)值大于或小于該點的函數(shù)值，則該點為函數(shù)的極大值點或極小值點。極值反映了函數(shù)在局部范圍內(nèi)的最大或最小值。多元函數(shù)的極值在函數(shù)的定義域內(nèi)，若函數(shù)值大于或小于所有其他點的函數(shù)值，則該點為函數(shù)的最大值點或最小值點。最值反映了函數(shù)在整個定義域內(nèi)的最大或最小值。多元函數(shù)的最值多元函數(shù)極值與最值05無窮級數(shù)初步知識通過比較級數(shù)與已知收斂或發(fā)散的級數(shù)，判斷其收斂性。比較判別法利用級數(shù)相鄰兩項之比的極限值來判斷級數(shù)收斂性。比值判別法通過求級數(shù)各項的n次方根的極限值來判斷級數(shù)收斂性。根值判別法常數(shù)項級數(shù)收斂性判別法冪級數(shù)展開將函數(shù)展開成冪級數(shù)形式，便于分析和計算。要點一要點二收斂域判斷通過求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間，確定冪級數(shù)的收斂域。冪級數(shù)展開與收斂域判斷123將周期函數(shù)展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)，即傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)的概念具有正交性、周期性、收斂性等性質(zhì)，便于分析和計算。傅里葉級數(shù)的性質(zhì)在信號處理、圖像處理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如頻譜分析、濾波等。傅里葉級數(shù)的應(yīng)用傅里葉級數(shù)簡介06微積分在經(jīng)濟領(lǐng)域應(yīng)用舉例邊際分析利用導數(shù)研究經(jīng)濟變量之間的邊際關(guān)系，如邊際成本、邊際收益等，為經(jīng)濟決策提供量化依據(jù)。彈性分析通過計算彈性系數(shù)，衡量一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的敏感程度，如價格彈性、需求彈性等。邊際分析與彈性分析一階導數(shù)法通過求解一階導數(shù)等于零的點，找到函數(shù)的極值點，進而確定最優(yōu)解。二階導數(shù)法利用二階導數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，結(jié)合一階導數(shù)確定函數(shù)的最大值或最小值。拉格朗日乘數(shù)法在約束條件下求解最優(yōu)化問題，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)并求解其極值點，得到最優(yōu)解。最優(yōu)化問