數(shù)學(xué)必修二全冊(cè)綜合檢測(cè)題-寒假作業(yè)18（解析版）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí)鞏固練習(xí)（人教A版）

專(zhuān)題18人教A版數(shù)學(xué)必修二全冊(cè)綜合檢測(cè)題一寒假作業(yè)18

（解析版）

一、單選題

1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）,且斜率為2的直線的方程是（）

A.2x-y+2=0B.2x-y-2-0

C.x-2y+l=0D.x-2y—1=0

【答案】B

【分析】

直接由直線的點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果.

【詳解】

由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）,且斜率為2,故其直線方程為y=2（x—l）,

化簡(jiǎn)得2x-y-2=0,

故選：B.

2.已知某圓柱底面的半徑為1,高為2,則該圓柱的表面積為（）

A.2兀B.4%C.6兀D.8?

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓柱表面積的II?算公式直接求解即可.

【詳解】

解:因?yàn)閳A柱的底面半徑為1,高為2,

所以圓柱的表面積S=2TTX12+2%xlx2=6%.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱表面積的求法，屬基礎(chǔ)題.

3.直線x+（m+1）y-1=0與直線，〃x+2y-1=0平行，則m的值為（）

A.1或-2B.1C.-2D.12

【答案】C

【分析】

解方程〃？（，"+1）-2=0,再檢驗(yàn)即得解.

【詳解】

由m(m+1)-2=0,解得m--2或1.

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證機(jī)=1時(shí)，兩條直線方程都為x+2y-1=0,可知兩直線重合，所以舍去.

當(dāng)m=-2時(shí)，滿足題意.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

4.如圖，在正方體ABC。一4&GQ的六個(gè)面中，與底面ABC。垂直的面有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可直接得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)檎襟w中，側(cè)棱都和底面垂直，因此側(cè)面都垂直于底面；

故在正方體ABC。-4與GA的六個(gè)面中，與底面ABCO垂直的面有4個(gè)，分別為四

個(gè)側(cè)面.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題型.

5.如圖所示，在斜三棱柱ABC-A181G中，N5AC=90。，BCxLAC,則點(diǎn)C在平面

ABC上的射影“必在（）

A.直線A5上B.直線5c上C.直線AC上D.△ABC的內(nèi)部

【答案】A

【分析】

由線面垂直判定有AC_L平面A8G,再由面面垂直的判定有平面ABG_L平面A8C,即

試卷第2頁(yè)，總20頁(yè)

可知點(diǎn)Cl在平面ABC上的射影H的位置.

【詳解】

連接4G,

'：ACLAB,AC±BCt,ABHBCi=B,

：.AC_L平面A8G,又ACu平面ABC,

二平面ABCJ_平面ABC,

：.點(diǎn)G在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了判斷線面、面面垂直的方法，并確定點(diǎn)在面上射影的位置，屬于基礎(chǔ)題.

6.圓G：(x—1)2+丁=1與圓G：x2+y2+2y-3=0的位置關(guān)系為()

A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切

【答案】B

【分析】

求出ICC21以及兩圓的半徑/、弓，比較|￡G|、一回、4+弓的大小關(guān)系，由此可

得出兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】

圓G的圓心為G0,0)，半徑為4=1，

圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為r+(y+i『=4,圓心為G(()，—l)，半徑為4=2,

|CC|="(l_0)2+(0+l)2=近，|4-q=1,(+4=3，

所以，一目<|GC2]<4+弓，所以，圓G與圓相交.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓G與圓G的半徑長(zhǎng)分別為弓和弓.

（1）若|￡Gl<k一目，則圓a與圓c2內(nèi)含；

（2）若|GG|=k—目，則圓a與圓G內(nèi)切；

（3）若卜一目<|。。2卜石+弓，則圓a與圓C2相交;

（4）若|0。2|=彳+2，則圓G與圓G外切；

（5）若|CC|>4+G，則圓C與圓C2外離.

7.垂直于直線2x+y+l=0且與圓V+y2=5相切的直線的方程是（）

A.x-2y+5=0或x-2y-5=0B.x-2y+百=0或x-2y-石=（）

C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D..2x-y+&=0或

2x-y-y/5=0

【答案】A

【分析】

根據(jù)互相垂直直線之間的斜率關(guān)系，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

宜線2x+y+l=0的斜率為一2，因此與該立線垂直的直線的斜率為g,

設(shè)與2x+y+l=0垂直的直線方程為：y=Lx+b^x_2y+2b=0,

直線x-2y+如=0是圓f+V=5的切線，

所以有不辱茅=5=|2司=5=>2。=±5,

因此切線方程為工一2丁+5=0或x-2y-5=0.

故選：A

8.已知直線a,b.平面a,P,下列命題：

①若a//b,aVa,則。_L<z；②若a〃/，a_La,則a_L/7；

③若a〃a,aA.fi,則。_1尸；④若a±a,aLP,則allft

其中真命題是（）

A.①②③B.①②④C.①@@D.①②③④

【答案】A

【分析】

試卷第4頁(yè)，總20頁(yè)

根據(jù)線面關(guān)系和面面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)可判斷.

【詳解】

對(duì)于①，若W/b,a±a,則由線面垂直的性質(zhì)可得力，a,故①正確；

對(duì)于②，若a〃6，ala,則由線面垂直的性質(zhì)可得aJ-尸，故②正確；

對(duì)于③，若alia，則存在a'ua，使得a〃a',若。，尸，則"上4，則a_L/?,故

③正確；

對(duì)于④，若a_La,a'B,則出〃7或au4,故④錯(cuò)誤.

故選：A.

9.已知A,8,C,O是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中A8C是正三角形，AO,平面ABC,

45=2/15=12,則該球的表面積為()

A.646RB.96%C.192%D.48乃

【答案】C

【分析】

由題意畫(huà)出兒何體的圖形，把A、3、C、。擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中

點(diǎn)與A的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積.

【詳解】

把A、B、C、。擴(kuò)展為三棱柱，

上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，

AD=2AB=\2,OE=6,ABC是正三角形，

—(—AB)2—,AO-^62+(2>/3)2=4-73-

二球的表面積為S=4萬(wàn)(4百『=192萬(wàn).

故選：C

10.已知圓&:(x_2y+(y+4)2=16,圓。2：/+/+2%—3=0,則兩圓的公切

線的條數(shù)為()

B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】

因?yàn)閳AG：(X—2)2+(y+4)2=16,圓：(x+l)2+y2=4,

所以|CG|=J(T_2)2+(-4)2=5,/?,+/?2=6,|/?,-/?2|=2.

所以國(guó)一周<IGQ<N+%

所以兩圓相交，

所以兩圓的公切線的條數(shù)為2,

故選：B

11.若從坐標(biāo)原點(diǎn)。向圓C:/+y2—I2x+27=O作兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,

則線段的長(zhǎng)為()

33x/3r

A.-B.3C.D.3V3

【答案】D

【分析】

圓心為C(6,0)在x軸上，因此關(guān)于0。對(duì)稱，即AB,x軸，在四邊形OACB中

易求得A3的長(zhǎng).

【詳解】

圓C標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—6尸+寸=9,圓心為C(6,0),半徑為r=3,

所以關(guān)于0C對(duì)稱，即關(guān)于x軸對(duì)稱，而。4LC4,|OC|=6,|C4|=3,所以

3=36

所以|AB\=2X，拒：，=3G.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)圓C外一點(diǎn)尸作圓。的切線，切點(diǎn)為A,B,則A5的垂直平分線是PC，

試卷第6頁(yè)，總20頁(yè)

?,IPAIXICAI

則由面積法得切點(diǎn)弦長(zhǎng)=2>l囁二I.

12.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,尸分別是AB,8c的中點(diǎn)，將ADE,

△EBF,FCD分別沿。E,EF,FO折起，使得A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A,若點(diǎn)

G及四面體A'OE尸的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則以VEZ汨為底面的三棱錐

G-DEF的高h(yuǎn)的最大值為（）

D.2,\/6—

3

【答案】A

【分析】

先求出A-也出外接球的半徑和外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的球心到

外接圓的圓心的距離，可得高萬(wàn)的最大值.

【詳解】

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A',原來(lái)NA、/B、NC都是直角，所以折起后三條棱

AF.AD.A'E互相垂直，所以三棱錐4—FDE可以看作一個(gè)長(zhǎng)方體的一個(gè)角，它

們有相同的外接球，外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即為

2R=y/AF2+AD2+AE2=々4+4+16=2,6，R="，

DE^DF=yjAD1+AE2-=44+16=255，EF=\lBE2+BF2=242-

_DE?+EF?-DF2_20+8-20_V10

在LDFE中,cosZDEF-

2DExEF~2x275x272-10'

所以NZ)￡戶為銳角，所以sinNDEF=J1一cos?NDEF=，

10

DF_G_5五

DEF的外接圓的半徑為一一2sin乙DEF~3回~為一，

-io

則球心到DEF外心的距離為J/?2—產(chǎn)=―,以YFDE為底面的三棱錐G-DEF的高

3

h的最大值為R+OO1的距離為V6+1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折問(wèn)題和外接球的問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)翻折前后量的變化及理解外接球和三棱錐

的關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.

二、填空題

13.直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2),其傾斜角是6()。.則直線/的方程為.

【答案】y=y/3x-2

【分析】

根據(jù)傾斜角求出斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程.

【詳解】

直線)的斜率為tan60=6

直線/的方程為y+2=瓜，即y=JIr-2.

故答案為：y=y/3x-2

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握直線方程的點(diǎn)斜式是解題關(guān)鍵.

14.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD一AB]C、D[中，AB=BC=曰CC],則二面角C.-DB-C

的大小為.

試卷第8頁(yè)，總20頁(yè)

D\G

B

【答案】-

3

【分析】

連接AC交8。于點(diǎn)E,連接弓七，證明NgEC為二面角G—08—C的平面角，即

可利用三角函數(shù)求NGEC.

【詳解】

連接AC交8D于點(diǎn)E,連接弓后，

AB=BC，二底面A8CO是正方形，則即CE_L8。，

又CG，底面A8C。，根據(jù)三垂線定理可知CEt±BD,

N&EC為二面角C.-DB-C的平面角,

不妨設(shè)AB=BC=1則CG邛,CE嗎

V6

tanNC；EC=^=百，又NC|ECw[0,%],ZC,￡C=y.

V

TT

故答案為：一

3

【點(diǎn)睛】

求解二面角的常用方法：

1、定義法：過(guò)二面角的棱上任一點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直丁棱的直線，則兩直線所構(gòu)

成的角即為二面角的平面角，繼而在平面中求出其平面角的一種方法；

2、三垂線法：利用三垂線定理，根據(jù)“與射影垂直，則也與斜線垂直”的思想構(gòu)造出

二面角的平面角，繼而求出平面角的方法；

3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，則截面與二面角的兩個(gè)面必有兩條交線,

這兩條交線構(gòu)成的角即為二面角的平面角，繼而再求出其平面角的一種方法；

4、面積射影法：根據(jù)圖形及其在某一個(gè)平面上的射影面積之間的關(guān)系，利用射影的面

積比上原來(lái)的面積等于二面角的余弦值，來(lái)計(jì)算二面角。此法常用于無(wú)棱的二面角；

5、法向量法：通過(guò)求與二面角垂直的兩個(gè)向量所成的角，繼而利用這個(gè)角與二面角的

平面角相等或互補(bǔ)的關(guān)系，求出二面角的一種方法。

15.過(guò)圓M:(x+lf+(y—=/儂/。)的圓心〃作曲線

N:x2+y2-2tx-2Q—2)y+2/—期+3=0的切線，切點(diǎn)分別為P,。，則\MP\-\MQ\

的最小值為一

【答案】7

【分析】

先將曲線N的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-ry+[y-Q-2)]2=1,得到-2),r=1,

求得由切線長(zhǎng)定理得至!|附尸|=附。|=一1,再由

\MP\-\MQ\求解.

【詳解】

圓M:(x+1)2+(y-1)2=/(aH0)的圓心M(-11)，

曲線N/2+y2—2a—2(f—2)y+2f2-今+3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

(x-t)2+[y-(t-2^=1,則N?j-2),r=l,

如圖所示：

試卷第io頁(yè)，總20頁(yè)

則|MN|二J（TT）2+[l_（r_2）『,

由切線長(zhǎng)定理得：

\MP\^\MQ\=yj\MNf-l=J（-l-r）2+[l-"2）『一1=j2/-4t+9，

所以陛尸卜明。|=2*-4+9=2（/-1）2+7,

所以明尸卜901的最小值為7

故答案為：7

16.在直三棱柱ABC-A4G中，ZABC=9Q°,A4,=G,設(shè)其外接球的球心為。,

已知三棱錐0-ABC的體積為百，則球。表面積的最小值為.

【答案】27)

【分析】

設(shè)M=a,BC=b,球的半徑為廣，連接AG，4。交于點(diǎn)。，取AC中點(diǎn)。，連

接80，即。為三棱柱外接球球心，根據(jù)三棱錐體積可得a,b間關(guān)系，表示出，根

據(jù)基本不等式可求得r的最小值，從而得到球的表面積的最小值.

【詳解】

5

如圖，因?yàn)槿庵鵄BC-4與G是，且NA8C=90°,

設(shè)=BC=h,球的半徑為「，連接AQ，4。交于點(diǎn)。，取AC中點(diǎn)￡＞，連

接8。，

則。到三棱柱六個(gè)定點(diǎn)的距離相等，即。為三棱柱外接球球心,

OD=—AA=——>

2-2

又因?yàn)槿忮FO-ABC的體積為V3，

即防x走=6，即“6=12,

322

當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)等號(hào)成立,

所以球。的表面積最小值為S=4萬(wàn)/=27萬(wàn)，

故答案為：27萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)

和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體,

切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的

頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

三、解答題

17.如圖，在正方體-中，E、尸分別為AB、的中點(diǎn).

(2)求證：所//平面456。.

【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解

【分析】

(1)延長(zhǎng)EF,分別與DA.DC相交，如卜圖連接形成區(qū)域圖像即是點(diǎn)E、F、口的截

試卷第12頁(yè)，總20頁(yè)

面

。(2)通過(guò)所〃AC

【詳解】

(1)如圖所示：延長(zhǎng)EF,分別與DA.DC相交，連接形成的紅色區(qū)域圖像即是點(diǎn)E、F、D,

的截面。

(2)E,尸是AB,BC的中點(diǎn)

:.EF//AC

又AC//AG

EF//AG

又u平面4片￡。

且EFz平面4月GA

二及7/平面48GA.

【點(diǎn)睛】

此題考查線面平行證明，在面內(nèi)找一條線與已知直線平行即可，屬于簡(jiǎn)單題目。

18.已知圓M經(jīng)過(guò)A(-2,3),5(-1,6),C(6,7)三點(diǎn).

(1)求圓M的方程；

(2)求x軸被圓M截得的弦長(zhǎng).

【答案】(1)—6x—6)>—7=0；(2)8

【分析】

(1)設(shè)出圓M的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出；

(2)求出圓心和半徑，將弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為弦心距問(wèn)題，利用幾何法2/2_笛(廠為半

徑、d為弦心距）求出弦長(zhǎng).

【詳解】

（1）設(shè)圓M的方程為乂2+丫2+①+磴+尸=0.

'4+9-2O+3E+/=0,

因?yàn)閳AM經(jīng)過(guò)A（—2,3）C（6,7）＜l+36-D+6E+F=0,

36+49+6O+7E+/=0,

解得。=-6,E=-6,F=—7，則圓M的方程為x2+y2—6x—6y-7=0.

（2）由（1）可得圓M的圓心M（3,3）,半徑r=5.

因?yàn)閳AM的圓心M（3,3）,所以圓M到x軸的距離d=|y”|=3,

因?yàn)閳AM的半徑r=5,所以x軸被圓M截得的弦長(zhǎng)為25戶方=2x后二=8-

【點(diǎn)睛】

本題考查求圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，通常用幾何法求解，屬

于常考題.

19.已知正方體A8CO-A4G2,棱長(zhǎng)為2,M為棱CO的中點(diǎn)，N為面對(duì)角線

的中點(diǎn)，如下圖.

（1）求三棱錐8-AMR的體積;

（2）求證：平面AMD一

4

【答案】（1）y：（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】

試卷第14頁(yè)，總20頁(yè)

（1）根據(jù)％-A明計(jì)算可得；

（2）取3C的中點(diǎn)分別為尸，連接N/7,DF，可證Nr_LAM,FD±AM^即可

得到A"_L平面NFD，所以AM_LM）.再連接BD，G。，可得ADi工DN,即可

得證；

【詳解】

解：（1）在正方體ABC。一ABCQI中，易知

114

^B-AMD,=%-A&W=—x—x2x2x2=—.

（2）證明：取3c的中點(diǎn)分別為F，連接NF,DF.

因?yàn)镹,尸分別為8。，8C的中點(diǎn)，所以N/〃CG，又—是正方體,

所以Cg，平面ABC。

所以M7_L平面ABCD，因?yàn)锳Mu平面ABCD

所以NELAM.

因?yàn)槭珻=MD，AD=DC，4FCD=/MDA,

所以△FCDMAA〃M，所以NCFD=NDMA，

所以NfDC+NZ）M4=90°，所以ED_LAM.

因?yàn)镹FFD=F,所以A〃_L平面NED,

因?yàn)镹Du平面NFD,所以AM_LND.

連接BO，CtD,在正方體ABC。—AMG9中，

易知BD=C\D,所以。N_LBG.

又BCJ/AD、,所以A。LON.

又A"AM=A,AD1,AMu平面AM",

所以ND_L平面AMR.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能

力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

20.已知點(diǎn)P(-L4),0(3,2).

(1)求以PQ為直徑的圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(0,2)作直線，與(1)中的圓N相交于4,B兩點(diǎn),若|A8|=4,求直線

/的方程.

【答案】(1)(x-l)2+(y-3)2=5；(2)x=0或y=2.

【分析】

(1)圓心N為線段尸。的中點(diǎn)，求出圓N的半徑即可寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線

斜率不存在時(shí)求出|AB|=4,符合條件：當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為丁=依+2,

利用勾股定理求出圓心到直線的距離cl,再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得斜率k,

從而寫(xiě)出直線方程.

【詳解】

(1)方法1：以PQ為直徑的圓方程為(x-3)(x+l)+(y-2)(y-4)=0,

化解得：x2-2x+/-6y+5=0,

則圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(xT)2+(y-3)2=5.

方法2：圓心N的坐標(biāo)(1,3),宜徑2r=|PQ|=<4。=2后,廠=逐

則圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X—+(y—3>=5.

試卷第16頁(yè)，總20頁(yè)

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為x=0,解得X=5,y2=},|AB|=4,符合條件;

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=日+2,

設(shè)圓心到直線距離為4,由建+（羊）2=店，則加+22=5,得4=1,

又公lfc身-11=1

解得k=0,此時(shí)直線方程為y=2.

所以直線方程為x=0或y=2.

21.如圖：在正方體ABC。一A4G2中，E為。。的中點(diǎn).

（1）求證：BD"平面AEC；

（2）若尸為CC的中點(diǎn)，求證：平面AEC〃平面

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】

（1）連結(jié)30交AC于。，連結(jié)E。.可證EO//BD,,即可得證：

（2）首先可證RE〃EC,即可得到r尸〃平面AEC,再由（1）的結(jié)論即可得證:

【詳解】

解：（1）連結(jié)BD交AC于0,連結(jié)EO.

?.?因?yàn)锳BC。一A4GA為正方體，底面ABCD為正方形,

對(duì)角線AC、8。交于。點(diǎn)，所以。為的中點(diǎn)，

乂因?yàn)?/p>