新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.1數(shù)列基礎(chǔ)5.1.1數(shù)列的概念課件新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

5．1.1數(shù)列的概念通過(guò)日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念及一般形式每一個(gè)數(shù)第一位{an}狀元隨筆數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)一樣嗎？[提示]不一樣．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類

類別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)

遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都_____的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)_____它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列有限無(wú)限大于小于相等大于知識(shí)點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與________之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子________來(lái)表示，那么這個(gè)________叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

狀元隨筆數(shù)列一定有通項(xiàng)公式嗎？[提示]不一定．nan＝f(n)式子知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量________________________時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)_____法；(3)_____法從小到大依次取正整數(shù)值列表圖象狀元隨筆數(shù)列所對(duì)應(yīng)的圖象是連續(xù)的嗎？[提示]不連續(xù)．

答案：A2．下列說(shuō)法中正確的是(

)A．?dāng)?shù)列2，4，6，8可表示為{2，4，6，8}B．?dāng)?shù)列1，0，－1，－2與－2，－1，0，1是相同數(shù)列C．所有數(shù)列的通項(xiàng)公式都只有一個(gè)D．?dāng)?shù)列可以看做是一種特殊的函數(shù)解析：數(shù)列2，4，6，8不能表示為集合{2，4，6，8}，因?yàn)閿?shù)列有順序，集合的元素沒(méi)有順序，故A錯(cuò)誤；由于數(shù)列的項(xiàng)與順序有關(guān)系，因此數(shù)列1，0，－1，－2與數(shù)列－2，－1，0，1是不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一，可能有多種形式，故C錯(cuò)誤；數(shù)列可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或其子集上的函數(shù)，因此D正確．故選D.答案：D

解析：當(dāng)n分別等于1，2，3，4時(shí)，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.答案：A4．下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))．①{0，1，2，3，4，5}是有窮數(shù)列；②從小到大的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮遞增數(shù)列；③數(shù)列1，2，3，4，…，2n是無(wú)窮數(shù)列．解析：因?yàn)閧0，1，2，3，4，5}是集合，而不是數(shù)列，所以①錯(cuò)誤；②正確；數(shù)列1，2，3，4，…，2n共有2n項(xiàng)，是有窮數(shù)列，所以③錯(cuò)誤．答案：②課堂探究·素養(yǎng)提升

數(shù)列的概念及分類例1

(1)(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A．?dāng)?shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4B．在某數(shù)列中，若首項(xiàng)為3，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3C．?dāng)?shù)列1，2，3，4與數(shù)列2，1，3，4為同一數(shù)列D．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)不能是三角形【解析】

由數(shù)列的相關(guān)概念可知，數(shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4，故A正確；同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤；兩者順序不同，所以不是同一數(shù)列，故C錯(cuò)誤；數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，不能是其他形式，故D正確．【答案】

AD

【解析】①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無(wú)窮、遞減數(shù)列；③為無(wú)窮、擺動(dòng)數(shù)列；④是擺動(dòng)數(shù)列，是無(wú)窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無(wú)窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④狀元隨筆緊扣有窮數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列及擺動(dòng)數(shù)列的定義求解．方法歸納1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn)：(1)確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有確定性；(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性)；(3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒(méi)有順序(即無(wú)序性)；(4)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物．2．判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn)．對(duì)于遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢(shì)來(lái)分析；而有窮還是無(wú)窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)有限還是無(wú)限．跟蹤訓(xùn)練1

(1)有下列說(shuō)法：①數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}；②數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，5，3，1是同一數(shù)列；③數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列1，3，5，7，…是同一數(shù)列；④數(shù)列0，1，0，1，…是常數(shù)列．其中說(shuō)法正確的有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：①說(shuō)法錯(cuò)誤，構(gòu)成數(shù)列的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無(wú)序的；②說(shuō)法錯(cuò)誤，兩數(shù)列的數(shù)排列順序不相同，不是相同的數(shù)列；③說(shuō)法錯(cuò)誤，數(shù)列1，3，5，7是有窮數(shù)列，而數(shù)列1，3，5，7，…是無(wú)窮數(shù)列；④說(shuō)法錯(cuò)誤，由常數(shù)列的定義，可知0，1，0，1，…不是常數(shù)列．故選A.答案：A

(2)下列數(shù)列：①1，2，22，23，…，263；②1，0.5，0.52，0.53，…；③0，10，20，30，…，1000；④－1，1，－1，1，－1，…；⑤7，7，7，7，….其中有窮數(shù)列是________，無(wú)窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，擺動(dòng)數(shù)列是________，常數(shù)列是________．(填序號(hào))①③②④⑤①③②④⑤

(2)圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成：通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在第n個(gè)圖形中，火柴棒有________根．【解析】第1個(gè)圖形中，火柴棒有4根；第2個(gè)圖形中，火柴棒有(4＋3)根；第3個(gè)圖形中，火柴棒有4＋3＋3＝(4＋3×2)根；第4個(gè)圖形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝(4＋3×3)根；…第n個(gè)圖形中，火柴棒有4＋3(n－1)＝(3n＋1)根．3n＋1狀元隨筆先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，注意前后項(xiàng)間的關(guān)系，分子與分母的關(guān)系，項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系，每一項(xiàng)符號(hào)的變化規(guī)律，然后歸納出通項(xiàng)公式．方法歸納1．根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想．2.觀察、分析問(wèn)題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整．

(2)如圖所示的圖案中，白色正六邊形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．a(chǎn)n＝4n＋2【解析】我們把圖案按如下規(guī)律分解：這三個(gè)圖案中白色正六邊形的個(gè)數(shù)依次為6，6＋4，6＋4×2，所以這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.

通項(xiàng)公式的應(yīng)用例3

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；

【解析】

(1)根據(jù)an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)問(wèn)－49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

方法歸納(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．

數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用【思考探究】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點(diǎn)？試?yán)脠D象說(shuō)明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng)．

[提示]

由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點(diǎn)，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列，且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)．

狀元隨筆利用作差法或作商法判斷數(shù)列{an}的增減性．方法歸納

判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法(1)作差(或商)法．(2)目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去，由于數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是離散型的點(diǎn)，故其單調(diào)性不同于函數(shù)的單調(diào)性．在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要注意它的定義域是N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})這一約束條件．

跟蹤訓(xùn)練4

已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2＋2n－5.(1)寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；解析：(1)數(shù)列的前三項(xiàng)：a1＝12＋2×1－5＝－2；a2＝22＋2×2－5＝3；a3＝32＋2×3－5＝10.(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．解析：(2)∵an＝n2＋2n－5，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

跟蹤訓(xùn)練5

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？

解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N＋，∴n＝2，3.∴數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)．(2)n為何值時(shí)，an