新教材2023版高中數(shù)學第五章數(shù)列5.4數(shù)列的應用課件新人教B版選擇性必修第三冊

5．4數(shù)列的應用在數(shù)列的教學中，應引導學生通過具體實例(如購房貸款、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長等)，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)和應用；引導學生掌握數(shù)列中各個量之間的基本關系；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關系，并解決相應的問題．新知初探·自主學習課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學習

狀元隨筆(1)解決數(shù)列的實際應用問題，關鍵是讀懂題意，從實際問題中提煉出問題的實質(zhì)，轉化為數(shù)學問題解決．(2)價格升降、細胞繁殖、利率、增長率等問題常歸結為數(shù)列建模，從而歸納轉化為數(shù)列問題去解決．3．政府支出的“乘數(shù)”效應與數(shù)列政府支出的“乘數(shù)”效應問題，經(jīng)濟學家凱恩斯認為，政府支出的增加會引起國民收入成倍數(shù)的增加，這就是政府支出的“乘數(shù)”效應．狀元隨筆政府支出的“乘數(shù)”效應有關概念的理解(1)“乘數(shù)”效應①“乘數(shù)”效應是一種宏觀的經(jīng)濟效應，是指經(jīng)濟活動中某一變量的增減所引起的經(jīng)濟總量變化的連鎖反應程度．②財政政策乘數(shù)是研究財政收支變化對國民經(jīng)濟的影響，其中包括財政支出乘數(shù)、稅收乘數(shù)和平衡預算乘數(shù)．(2)政府支出政府的財政支出(包括政府消費支出和政府投資支出)是一種與居民投資十分類似的高效能支出．政府在商品與服務上的一項采購，將會引發(fā)一系列的再支出．因此任何一屆政府在選擇經(jīng)濟政策時，究竟是采取擴張性政策還是緊縮性政策，在采取行動前必須知道實際的乘數(shù)究竟有多大，否則將會對國民經(jīng)濟造成極大的傷害．基

礎

自

測1．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”．其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則該人第五天走的路程為(

)A．6里B．12里

C．24里D．48里

答案：B

答案：B

3．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款200000元作為創(chuàng)業(yè)資金，貸款的年利率為5%，如果他按照“等額本金還款法”分10年進行還款，則其第二年應還________元；如果他按照“等額本息還款法”分10年進行還款，則其每年還款約________元．(1.0510≈1.62889)

29000259014．一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時存款(含利息)自動轉為新的一年定期，當孩子18歲生日時不再存入，將所有存款(含利息)全部取回，則取回的錢的總數(shù)為________________．

課堂探究·素養(yǎng)提升

貸款還款與數(shù)列例1

某人年初向銀行貸款10萬元用于購房．(1)如果他向建設銀行貸款，年利率為5%，且這筆借款分10次等額歸還(不計復利)，每年一次，并從借后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？(精確到1元)

(2)如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復利計算(即本年的利息計入次年的本金生息)，仍分10次等額歸還，每年一次，每年應還多少元？(精確到1元，1.0410≈1.4802)

方法歸納解決此類問題的關鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù)，(1)中的利率是單利(即當年的利息不計入次年的本金)，故所用的公式是等差數(shù)列通項公式和前n項和公式；(2)中的利率是復利(即利滾利)，所謂復利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復利的計算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．故所用公式是等比數(shù)列通項公式和前n項和公式，導致這種區(qū)分的原因是付款形式不同．跟蹤訓練1

某職工年初向銀行貸款2萬元用于買車，銀行貸款的年利率為10%，按復利計算(即將本年的本金與利潤的總和計為次年的本金)，若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？(1.110≈2.5937)

政府支出的“乘數(shù)”效應與數(shù)列例2

2019年某市政府投資8千萬元啟動鄉(xiāng)村旅游項目．規(guī)劃從2020年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2019年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的時間里，每年的凈收入均在上一年的基礎上增長50%.記2019年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N＋)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤＝累計凈收入－累計投入，單位：千萬元)，且當f(n)為正值時，認為該項目贏利．(1)試求f(n)的表達式．

(2)根據(jù)預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．

跟蹤訓練2

假設政府增加某項支出200億元，每個受惠的居民會將60%的額外收入用于國內(nèi)消費，則經(jīng)過20輪影響之后，最后的國內(nèi)消費總額為________億元．(最初政府支出也算是國內(nèi)消費，結果精確到1億元，0.621≈0.000022，0.620≈0.000037)

500

數(shù)列遞推公式的實際應用例3

某企業(yè)投資1千萬元用于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經(jīng)過多少年后，該項目的資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標？(lg2＝0.3)

方法歸納理解題意，建立數(shù)列中an與an＋1或an與an－1之間的關系，構造數(shù)列，確定數(shù)列的通項公式求解．跟蹤訓練3

某城市2010年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？

教材反思1．本節(jié)課的重點是應用數(shù)列知識解決實際問題，難點是如何化實際問題為數(shù)學問題，轉化的關鍵是明確題