新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第1課時(shí)函數(shù)的極值學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第二冊

5．3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的極值【課標(biāo)解讀】1.了解極大值、極小值的概念．2．了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件．3．會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性【教材要點(diǎn)】要點(diǎn)一函數(shù)極值?的定義1．極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝________，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)__________________，右側(cè)________________，就把________叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，________叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝________，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)________________，右側(cè)________________，就把________叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，________叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．3．極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)?；極大值、極小值統(tǒng)稱為________．批注?(1)極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較它是最大值或最小值，但并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)是最大值或最小值．(2)一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)．(3)函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．(5)單調(diào)函數(shù)一定沒有極值．批注?可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即“點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”是“f′(x0)＝0”的充分不必要條件．要點(diǎn)二求函數(shù)y＝f(x)極值的方法一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法是：解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是________．【夯實(shí)雙基】1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)函數(shù)的極大值一定大于其極小值．()(2)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)．()(3)函數(shù)y＝f(x)一定有極大值和極小值．()(4)函數(shù)的極值點(diǎn)是自變量的值，極值是函數(shù)值．()2．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)3．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則()A．x＝12為f(x)B．x＝－2為f(x)的極大值點(diǎn)C．x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝0為f(x)的極小值點(diǎn)4．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2，則函數(shù)f(x)的極大值為________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1極值的圖象特征例1(多選)[2022·河北邢臺·高二期末]若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則()A．x1是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)B．x2是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)C．x3是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)D．x4是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)[聽課記錄]【方法總結(jié)】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷極值點(diǎn)、極值的方法嚴(yán)格按照極值點(diǎn)、極值的定義，觀察圖象與x軸的交點(diǎn)，若在交點(diǎn)的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則交點(diǎn)是極大值點(diǎn)，函數(shù)值是極大值；若在交點(diǎn)的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則交點(diǎn)是極小值點(diǎn)，函數(shù)值是極小值；若不符合以上兩點(diǎn)就不是極值點(diǎn)，也就沒有極值．鞏固訓(xùn)練1[2022·山東濟(jì)寧高二期中]如圖是函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，下列說法正確的是()A．x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝－2是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)C．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，－1)上單調(diào)遞減D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2，2]上存在極小值題型2求函數(shù)的極值例2求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnx[聽課記錄]【方法總結(jié)】求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的一般步驟鞏固訓(xùn)練2求下列函數(shù)的極值：(1)y＝2x＋8x(2)y＝x3(x－5)2.題型3已知函數(shù)的極值求參數(shù)值或范圍例3(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則a＝()A．4或－3 B．4或－11C．4 D．－3(2)[2022·山東聊城高二期中]設(shè)函數(shù)f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex(a，b，c∈R)，若x＝－1為函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．2a＋b＝0 B．a(chǎn)－c＝0C．2a－b＝0 D．b≠0(3)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)在(－∞，＋∞)上無極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[聽課記錄]【方法總結(jié)】已知函數(shù)極值求參數(shù)的方法鞏固訓(xùn)練3(1)[2022·河北石家莊二中高二期中]若函數(shù)y＝－x3＋3x2＋m的極大值等于9，則實(shí)數(shù)m等于()A．5B．9C．－5D．9(2)已知函數(shù)f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數(shù))，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

5．3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的極值新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一1．0f′(x)<0f′(x)>0af(a)2．0f′(x)>0f′(x)<0bf(b)3．極值要點(diǎn)二極大值極小值[夯實(shí)雙基]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的圖象可知，函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象與x軸有四個(gè)公共點(diǎn)，在從左到右第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，在從左到右第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，在從左到右第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，在從左到右第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)有1個(gè)．故選A.答案：A3．解析：由f′(x)的圖象可知，f(x)在(－∞，－2)和(12，2)上單調(diào)遞減，在(－2，12)和(2，＋∞所以x＝12為f(x)的極大值點(diǎn)，x＝－2和x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)，x＝0故選A.答案：A4．解析：∵f(x)＝x3－3x2＋2，∴f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，解得：x1＝0，x2＝6.x(－∞，0)0(0，6)6(6，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，即函數(shù)f(x)的極大值為f(0)＝2.答案：2題型探究·課堂解透例1解析：對于A選項(xiàng)，由圖可知，在x1左右兩側(cè)，函數(shù)f(x)左增右減，x1是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，A正確．對于B選項(xiàng)，由圖可知，在x2左右兩側(cè)，函數(shù)f(x)左減右增，x2是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)，B正確．對于C選項(xiàng)，由圖可知，在x3左右兩側(cè)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，x3不是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤．對于D選項(xiàng)，由圖可知，在x4左右兩側(cè)，函數(shù)f(x)左增右減，x4是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選AB.答案：AB鞏固訓(xùn)練1解析：由f′(x)的圖象可知，當(dāng)x＝－1，x＝2時(shí)，f′(x)＝0，又因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，2)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，f′(x)≤0，所以f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減．對于A，f(x)在x＝2處取得極大值，無極小值，故A正確；對于B，由f′(x)圖象無法判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，x＝－2不一定是零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)y＝f(x)在(－2，－1)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)f(x)在x＝2處取得極大值，無極小值，故函數(shù)f(x)在[－2，2]上無極小值，故D錯(cuò)誤．故選A.答案：A例2解析：(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定義域?yàn)镽，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增10單調(diào)遞減－22單調(diào)遞增因此，x＝－1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(－1)＝10；x＝3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)＝－22.(2)函數(shù)f(x)＝lnxx的定義域?yàn)?0，＋∞且f′(x)＝1-lnxx2.令f′(x)＝當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增1單調(diào)遞減因此，x＝e是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(e)＝1e，函數(shù)f(x)鞏固訓(xùn)練2解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)閤∈R且x≠0，又y′＝2－8x2.令y′＝0，得x當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如表：x(－∞，－2)－2(－2，0)0(0，2)2(2，＋∞)y′＋0－－0＋y↗極大值↘↘極小值↗因此當(dāng)x＝－2時(shí)，y極大值＝－8，當(dāng)x＝2時(shí)，y極小值＝8.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.當(dāng)x變化時(shí)，y′與y的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗無極值↗極大值108↘極小值0↗∴x＝0不是y的極值點(diǎn)；x＝3是y的極大值點(diǎn)，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的極小值點(diǎn)，y極小值＝f(5)＝0.例3解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意得f1=10解得a=4，b=但由于當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x＝1處取得極值，所以a=-3，b=3，不符合題意，應(yīng)舍去．而當(dāng)a=4，b=-故選C.(2)∵f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex，∴f′(x)＝[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]ex，∵x＝－1為函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(－1)＝0，即：[a·(－1)2＋(2a＋b)·(－1)＋b＋c]e－1＝0，∵e－1≠0，∴a－c＝0.故選B.(3)若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點(diǎn)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．因?yàn)閍>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，則有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.解得a≥43，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[43，＋∞答案：(1)C(2)B(3)見解析鞏固訓(xùn)練3解析：(1)y′＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，當(dāng)0<x<2時(shí)，y′>0，當(dāng)x<0或