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文檔簡介
2024屆福建省南僑中學高考數(shù)學一模試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉).若甲隊得分的中位數(shù)是86,乙隊得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.122.若集合,,則()A. B. C. D.3.復數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.24.設(shè)M是邊BC上任意一點,N為AM的中點,若,則的值為()A.1 B. C. D.5.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.6.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.7.已知函數(shù)滿足=1,則等于()A.- B. C.- D.8.設(shè)分別為的三邊的中點,則()A. B. C. D.9.在棱長均相等的正三棱柱中,為的中點,在上,且,則下述結(jié)論:①;②;③平面平面:④異面直線與所成角為其中正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是111.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.12.若,則的虛部是A.3 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點為,過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點,,若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為,則的值為_________.14.設(shè),若關(guān)于的方程有實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍_____.15.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_____.16.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F,兩曲線的一個交點為P,若|FP|=5,則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.18.(12分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.19.(12分)市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房,銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢,且從第二個還款月開始,每月還款額與上月還款額的差均相同;②等額本息:每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當天開始首次還款(若2019年7月7日貸款到賬,則2019年8月7日首次還款).已知小張該筆貸款年限為20年,月利率為0.004.(1)若小張采取等額本金的還款方式,現(xiàn)已得知第一個還款月應(yīng)還4900元,最后一個還款月應(yīng)還2510元,試計算小張該筆貸款的總利息;(2)若小張采取等額本息的還款方式,銀行規(guī)定,每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半,已知小張家庭平均月收入為1萬元,判斷小張該筆貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素);(3)對比兩種還款方式,從經(jīng)濟利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù):.20.(12分)己知等差數(shù)列的公差,,且,,成等比數(shù)列.(1)求使不等式成立的最大自然數(shù)n;(2)記數(shù)列的前n項和為,求證:.21.(12分)已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、,焦距為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個不同的交點、,設(shè)為直線上一點,且直線、的斜率的積為.證明:點在軸上.22.(10分)已知曲線,直線:(為參數(shù)).(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;(II)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,的最大值與最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
中位數(shù)指一串數(shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?,處在最中間的那個數(shù),平均數(shù)指一串數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識,是一道容易題.2、B【解析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.3、B【解析】
對復數(shù)進行化簡計算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復數(shù)的計算,虛部的概念,屬于簡單題.4、B【解析】
設(shè),通過,再利用向量的加減運算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識,利用向量共線及向量運算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.5、D【解析】
利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為,,故.又,故.因為當時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因為為偶函數(shù),故,所以.故選:D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.6、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A7、C【解析】
設(shè)的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進而可得.【詳解】解:設(shè)的最小正周期為,因為,所以,所以,所以,又,所以當時,,,因為,整理得,因為,,,則所以.故選:C.【點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性,考查學生分析能力和計算能力,是一道難度較大的題目.8、B【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
設(shè)出棱長,通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行,推出①的正誤;判斷是的中點推出②正的誤;利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤;建立空間直角坐標系求出異面直線與所成角判斷④的正誤.【詳解】解:不妨設(shè)棱長為:2,對于①連結(jié),則,即與不垂直,又,①不正確;對于②,連結(jié),,在中,,而,是的中點,所以,②正確;對于③由②可知,在中,,連結(jié),易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正確;以為坐標原點,平面上過點垂直于的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標系;,,,,,;,;異面直線與所成角為,,故.④不正確.故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直,直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.10、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當時,,關(guān)于點對稱,錯誤;當時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).11、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當且僅當,即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.12、B【解析】
因為,所以的虛部是.故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
設(shè),寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理求得,由拋物線定義得焦點弦長,求得,再寫出的垂直平分線方程,得,從而可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點坐標為,直線的方程為,據(jù)得.設(shè),則.線段垂直平分線方程為,令,則,所以,所以.故答案為:1.【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題,根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關(guān)鍵.14、【解析】
先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實數(shù)解,,進而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當時,;當時,;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當時,函數(shù)取得最小值,又因為方程有實數(shù)解,那么,即,所以實數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】
①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出,根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強.16、【解析】
設(shè)點為,由拋物線定義知,,求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關(guān)系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因為點P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設(shè)點為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因為a2+b2=4,解得a=1,b=,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點到直線的距離公式可得,點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);考查運算求解能力和知識遷移能力;靈活運用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由誘導公式計算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因為所以,由得,又因為,故,所以,所以.【點睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1);(2)或.【解析】
(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)根的判別式,即可求出結(jié)論;(2)設(shè),由(1)可得關(guān)系,再由直線l過點,可得,進而建立關(guān)于的方程,求解即可.【詳解】(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的實數(shù)根,整理得,,解得且.雙曲線C與直線l有兩個不同交點時,k的取值范圍是.(2)設(shè)交點,直線l與y軸交于點,,.,即,整理得,解得或或.又,或時,的面積為.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積計算,要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系解決相交弦問題,考查計算求解能力,屬于中檔題.19、(1)289200元;(2)能夠獲批;(3)應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】
(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列,即可由等差數(shù)列的前n項和公式求得其還款總額,減去本金即為還款的利息;(2)根據(jù)題意,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,設(shè)小張每月還款額為元,由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù),即可求得其還款額,與收入的一半比較即可判斷;(3)計算出等額本息還款方式時所付出的總利息,兩個利息比較即可判斷.【詳解】(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列,記為,表示數(shù)列的前項和,則,,則,故小張該筆貸款的總利息為元.(2)設(shè)小張每月還款額為元,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,則,所以,即,因為,所以小張該筆貸款能夠獲批.(3)小張采取等額本息貸款方式的總利息為:,因為,所以從經(jīng)濟利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用,數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用,理解題意是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.20、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù),,成等比數(shù)列,有,結(jié)合公差,,求得通項,再解不等式.(2)根據(jù)(1),用裂項相消法求和,然后研究其單調(diào)性即可.【詳解】(1)由題意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴
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