2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 1-1一次函數(shù)的圖象與直線的方程1-2直線的傾斜角斜率及其關(guān)系 課件42張

第一章1.1一次函數(shù)的圖象與直線的方程1.2直線的傾斜角、斜率及其關(guān)系基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.3.掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系.4.掌握過兩點的直線斜率的計算公式.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

直線的傾斜角

定義在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線l,把x軸(正方向)按

方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l

所成的角,稱為直線l的傾斜角.

規(guī)定:當直線l和x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為

記法α圖示

逆時針首次重合時0范圍

作用(1)表示平面直角坐標系內(nèi)一條直線的傾斜程度.相對于x軸而言(2)確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是:直線上的一個定點以及直線的傾斜角,二者缺一不可名師點睛傾斜角還可以這樣定義:當直線l與x軸相交時,以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α稱為直線l的傾斜角;并規(guī)定,與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.對于平面直角坐標系中的每一條直線l,都有唯一確定的傾斜角α與之對應.[0,π)過關(guān)自診[人教B版教材習題]分別寫出下列直線的傾斜角:(1)垂直于x軸的直線;(2)垂直于y軸的直線;(3)第一、三象限的角平分線;(4)第二、四象限的角平分線.提示

(1)90°.(2)0°.(3)45°.(4)135°.知識點2

直線的斜率在直線l上任取兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),則稱_____________________為經(jīng)過不同兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線l的斜率.

顯然,若直線l垂直于x軸,則它的斜率不存在;若直線l不與x軸垂直,則它的斜率存在且唯一,因此,我們常用斜率來表示直線的

.

傾斜程度

名師點睛1.運用公式的前提是x1≠x2,即直線不與x軸垂直.2.斜率的大小與兩點P1,P2在直線上的位置無關(guān),在直線上任取兩點,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中橫、縱坐標之差的順序,也可以寫成

,即下標的順序一致.過關(guān)自診1.[人教B版教材習題]已知經(jīng)過A(a,-1),B(2,a+1)的直線的斜率為3,求實數(shù)a的值.2.[人教A版教材習題]求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率.(1)C(18,8),D(4,-4);(2)P(0,0),Q(-1,3).知識點3

直線斜率與傾斜角的關(guān)系1.斜率與傾斜角的關(guān)系由正切函數(shù)的概念可知,傾斜角不是

的直線,它的斜率k和它的傾斜角α滿足k=

.

2.斜率與傾斜角的對應關(guān)系

圖示

傾斜角α=00<α<

<α<π斜率

k>0不存在

斜率變化規(guī)律定值直線逆時針旋轉(zhuǎn),傾斜角α在0至

間逐漸增大,斜率也逐漸增大,且恒為正數(shù)不存在直線逆時針旋轉(zhuǎn),傾斜角α在

至π間逐漸增大,斜率也逐漸增大,且恒為負數(shù)k=0k<0過關(guān)自診1.[人教A版教材習題]已知a,b,c是兩兩不等的實數(shù),求經(jīng)過下列兩點的直線的傾斜角.(1)A(a,c),B(b,c);(2)C(a,b),D(a,c);(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).(2)因為點C,D的橫坐標相同,所以直線CD垂直于x軸,所以直線CD的傾斜角為90°.2.[人教B版教材習題]已知A(-1,-3),B(0,-1),C(1,2),D(3,5),則A,B,C共線嗎?A,B,D呢?知識點4

直線的斜率與方向向量的關(guān)系在直線l上任取兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2).由平面向量的知識可知,向量

是直線l的

,它的坐標是(x2-x1,y2-y1),直線的傾斜角α、斜率k、方向向量

分別從不同角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標系中x軸的傾斜程度.它們之間的關(guān)系是

=tanα(其中x1≠x2).

若k是直線l的斜率,則

是它的一個方向向量;若直線l的一個方向向量的坐標為(x,y),其中x≠0,則它的斜率k=

.

方向向量

v=(1,k)名師點睛1.如果a為直線l的一個方向向量,那么對于任意的實數(shù)λ≠0,向量λa都是l的一個方向向量,而且直線l的任意兩個方向向量一定共線.2.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直線l上兩個不同的點,則

=(x2-x1,y2-y1)是直線l的一個方向向量.3.一般地,已知a=(u,v)是直線l的一個方向向量,直線l的傾斜角為θ,則:(1)當u=0時,顯然直線的斜率不存在,θ=90°.(2)當u≠0時,直線l的斜率存在,且為k,則(1,k)與a=(u,v)都是直線l的方向向量,由直線的任意兩個方向向量共線可知1×v=k×u,從而過關(guān)自診1.[人教B版教材習題]已知直線l經(jīng)過點A(-2,0)與B(-5,3),求直線l的一個方向向量、斜率k與傾斜角θ.2.[人教A版教材習題]經(jīng)過A(0,2),B(-1,0)兩點的直線的方向向量為(1,k),求k的值.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一直線的傾斜角【例1】

設(shè)直線l過坐標原點,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為(

)A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°D解析

根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示.因為0°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,所以不合題意.由圖,可知當0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.故選D.規(guī)律方法

求直線的傾斜角的方法及兩點注意(1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)兩點注意:①當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0;當直線與x軸垂直時,傾斜角為

.②注意直線傾斜角α的取值范圍是[0,π).變式訓練1已知直線l1的傾斜角為α1=15°,直線l1與l2的交點為A,直線l1和l2向上的方向之間所成的角為120°,直線l2與x軸交于點B,如圖所示,求直線l2的傾斜角.解

∵α1=15°,l1與l2向上的方向之間所成的角為120°,∴直線l2的傾斜角為120°+15°=135°.探究點二直線的斜率【例2】

已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三點,這三點

(填“在”或“不在”)同一條直線上.

在規(guī)律方法

1.用斜率公式解決三點共線的方法

2.解決斜率取值范圍問題的基本方法——數(shù)形結(jié)合斜率k的大小與正切函數(shù)之間的關(guān)系是用傾斜角α來聯(lián)系的.因此,可以由傾斜角的變化得出斜率的變化.解決這類問題時,可利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地判斷直線的位置.變式訓練2已知坐標平面內(nèi)三點A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).(1)求直線AB,BC,AC的斜率和傾斜角;(2)若D為△ABC的邊AB上一動點,求直線CD斜率k的取值范圍.

(2)如圖,當斜率k變化時,直線CD繞點C旋轉(zhuǎn),當直線CD由直線CA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到直線CB時,直線CD與線段AB恒有交點,即點D在線段AB上,此時k由kCA增大到kCB,所以k的取值范圍為探究點三直線的斜率與傾斜角的關(guān)系【例3】

已知直線l過點M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)當m為何值時,直線l的斜率是1?(2)當m為何值時,直線l的傾斜角為90°?變式探究1本例條件不變,試求當直線l的傾斜角為銳角時實數(shù)m的取值范圍.變式探究2若將本例中的“N(2m,1)”改為“N(3m,2m)”,其他條件不變,結(jié)果如何?規(guī)律方法

1.由傾斜角的值(或取值范圍)求斜率的值(或取值范圍)利用定義式k=tan

α(α≠90°)解決.2.由兩點坐標求斜率運用斜率公式

求解.3.涉及直線與線段有交點問題常利用數(shù)形結(jié)合及公式求解.探究點四直線的斜率與方向向量的關(guān)系【例4】

已知直線l經(jīng)過點A(1,2),B(4,5),求直線l的一個方向向量,并確定直線l的斜率與傾斜角.解

=(4-1,5-2)=(3,3)是直線l的一個方向向量,因此直線l的斜率k=1,直線l的傾斜角θ滿足tan

θ=1,從而可知θ=45°.變式訓練3已知直線l經(jīng)過點M(3,3)和N(2,3+),求直線l的一個方向向量,并求直線l的斜率和傾斜角.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)直線的傾斜角及其范圍.(2)直線斜率的定義和斜率公式.(3)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系.(4)直線的方向向量及其與斜率的關(guān)系.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū):忽視傾斜角的取值范圍,圖形理解不清.成果驗收·課堂達標檢測123451.若經(jīng)過P(-2,m)和Q(m,4)的直線的斜率為1,則m等于(

)A.1 B.4C.1或3 D.1或4A12345B123453.已知直