專題1-5拋物線15類?？碱}型匯總（原卷版）

專題15拋物線15類?？碱}型匯總TOC\o"13"\n\h\z\u知識點(diǎn)梳理模塊一拋物線的概念與基本性質(zhì)【題型1】拋物線的焦半徑相關(guān)計(jì)算【題型2】拋物線的焦點(diǎn)弦【題型3】拋物線的軌跡問題【題型4】拋物線的光學(xué)性質(zhì)【題型5】拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題【題型6】利用幾何性質(zhì)計(jì)算求值模塊二拋物線中最值問題【題型7】對稱軸上的點(diǎn)到拋物線距離最小問題【題型8】直線到拋物線距離最小問題【題型9】拋物線中的線段和差最值問題【題型10】其它最值問題模塊三拋物線與直線聯(lián)立韋達(dá)化運(yùn)算【題型11】焦點(diǎn)弦中點(diǎn)相關(guān)運(yùn)算與證明【題型12】拋物線的焦點(diǎn)弦韋達(dá)化計(jì)算【題型13】不過焦點(diǎn)的弦長相關(guān)計(jì)算【題型14】垂直關(guān)系的處理【題型15】向量數(shù)量積的處理知識點(diǎn)梳理一、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)二、圓錐曲線第二定義結(jié)論：動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為一個(gè)常數(shù)，即eq\f(|MF|,|MA|)＝e.(1)當(dāng)0＜e＜1時(shí)，動點(diǎn)M的軌跡是橢圓；(2)當(dāng)e＝1時(shí)，動點(diǎn)M的軌跡是拋物線；(3)當(dāng)e＞1時(shí)，動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．此時(shí)定點(diǎn)F為圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線l叫做圓錐曲線對應(yīng)該焦點(diǎn)F的一條準(zhǔn)線x＝eq\f(a2,c)，常數(shù)e就是該圓錐曲線的離心率，此結(jié)論稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義(也稱為第二定義)．三、拋物線的簡單幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下四、拋物線的焦點(diǎn)弦1．已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ為直線AB的傾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．2．當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直時(shí)，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p模塊一拋物線的概念與基本性質(zhì)【題型1】拋物線的焦半徑相關(guān)計(jì)算（2023·雅禮中學(xué)高二期中）拋物線焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且，的面積為，則拋物線方程為A． B． C． D．若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若|AF|＝4，則以下結(jié)論正確的是()A．p＝2 B．F為AD中點(diǎn)C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2【題型2】拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|AB|＝________.已知AB是拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)弦，若|AB|＝4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________．【題型3】拋物線的軌跡問題若動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．雙曲線設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)和動點(diǎn)A，B都在拋物線C上，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則下列說法正確的是（

）A．B．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．設(shè)點(diǎn)R是線段AF的中點(diǎn)，則點(diǎn)R的軌跡方程為D．若，則弦AB的中點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的最小值為3若動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．若動圓M經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)且與直線x＝2相切，則圓心M的坐標(biāo)滿足的方程是．【題型4】拋物線的光學(xué)性質(zhì)探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑為60cm，燈深40cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則，．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則．根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則.【題型5】拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車道總寬度，那么車輛通過隧道的限制高度為（

）A． B． C． D．石城永寧橋，省級文物保護(hù)單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面1.6m時(shí)，水面寬6.4m，當(dāng)水面下降0.9m時(shí)，水面的寬度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m為落實(shí)“二十大”不斷實(shí)現(xiàn)人民對美好生活的向往，某小區(qū)在園區(qū)中心建立一座景觀噴泉．如圖所示，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面4m，點(diǎn)B到管柱OA所在直線的距離為2m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，6m為半徑的圓內(nèi)，則管柱OA的高度為（

）A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬時(shí)，拱頂距離水面，當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為（

）A． B． C． D．圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則橋拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為.一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時(shí)每隔4米用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長度米．【題型6】利用幾何性質(zhì)計(jì)算求值已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．若的面積等于的面積的2倍，則．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，若，則已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段的延長線交于點(diǎn)，若，則．焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為．模塊二拋物線中最值問題【題型7】對稱軸上的點(diǎn)到拋物線距離最小問題已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上的一點(diǎn)，則|AB|的最小值為________．已知拋物線，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，距離＝，已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3已知點(diǎn)在拋物線上，且為焦點(diǎn)，若為上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為.【題型8】直線到拋物線距離最小問題（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）若動點(diǎn)P在直線上，動點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（

）A． B． C． D．已知拋物線y2＝2x，直線l的方程為x－y＋3＝0，點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最短距離為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．已知直線和直線，則拋物線上的動點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為.【題型9】拋物線中的線段和差最值問題已知P是拋物線x2＝4y上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為________．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8已知點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【題型10】其它最值問題知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)到x軸的距離為6，則的最大值為．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最小值.點(diǎn)A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，中點(diǎn)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，若以為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，則的最小值為________已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，過的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為．已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，則的最小值為.模塊三拋物線與直線聯(lián)立韋達(dá)化運(yùn)算【題型11】焦點(diǎn)弦中點(diǎn)相關(guān)運(yùn)算與證明已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)Q作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若，則．直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是________．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)Q作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若，則．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．若為線段的中點(diǎn)，且，則．設(shè)拋物線W：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l：y＝x＋m與拋物線W相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)．(1)求m的取值范圍；(2)求證：點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為定值．物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【題型12】拋物線的焦點(diǎn)弦韋達(dá)化計(jì)算（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，弦長為12，則直線的方程為.（2022上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎c(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，求拋物線C的方程．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為eq\f(π,4)的直線被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【題型13】不過焦點(diǎn)的弦長相關(guān)計(jì)算過點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)設(shè)點(diǎn)P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P到定點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大eq\f(1,2).(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與點(diǎn)P的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(6)，求實(shí)數(shù)k的值．【題型14】垂直關(guān)系的處理若拋物線y2＝4x與直線y＝x－4相交于不同的兩點(diǎn)A，