2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練-三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(含解析)

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練--三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．如圖，在邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng)．若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：（1）經(jīng)過(guò)6秒后，BP=cm，BQ=cm；（2）經(jīng)過(guò)幾秒后，△BPQ是直角三角形？（3）經(jīng)過(guò)幾秒△BPQ的面積等于10cm2？2．如圖1，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a,0)，(b,0)，且a、b滿(mǎn)足(a+2)2+|b-8|=0，C（1）判斷△ABC的形狀.（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位/s的速度在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以3個(gè)單位/s的速度在射線(xiàn)CB上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.①如圖2，若AC=13，直線(xiàn)PQ交x軸于H，當(dāng)PH=QH時(shí)，求t的值.②如圖3，若c=5，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，M(3,m)為AQ上一點(diǎn)，連CM，作CN⊥AQ交AB于N.試探究AM和CN的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.3．如圖，OC、AB互相垂直，已知OA=8，OC=6，且AB=AC.（1）求OB的長(zhǎng)；（2）如圖②，若點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)；①若△OME的面積為1，求t的值；②如圖③，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△OME能否成為直角三角形?若能，求出此時(shí)t的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的OM的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a，0)，B(b，4)，C(2，c)，BC//x軸，且a、（1）則a=；b=；c=；（2）如圖1，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使三角形ABD的面積等于三角形ABC的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，連接OC交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N(n，0)在x軸上，若三角形BCM的面積小于三角形BMN的面積，直接寫(xiě)出n的取值范圍是5．如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且AD：BD：CD＝2：3：4，（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝160cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2cm的速度沿線(xiàn)段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以相同速度沿線(xiàn)段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①若△DMN的邊與AC平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABC的中位線(xiàn)，點(diǎn)F是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AF交BD于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)G。（1）求△BDE的面積；（2）當(dāng)四邊形DCFH與四邊形BEGH的面積相等時(shí)，求DHBH（3）以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B為半徑作⊙F，當(dāng)DHBH的值滿(mǎn)足什么條件時(shí)，⊙F與線(xiàn)段DE7．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？8．如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從B，A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，AC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）如圖①，當(dāng)t為何值時(shí)，AP＝3AQ；（2）如圖②，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；（3）如圖③，作QD∥AB交BC于點(diǎn)D，連接PD，當(dāng)t為何值時(shí)，△BDP與△PDQ相似9．如圖①，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M.（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù).（3）如圖②，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)AQ、CP交點(diǎn)為M，求∠QMC的度數(shù).10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中已知A（2，2），B（6，2），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接OA，AB，BC，得到梯形OABC．點(diǎn)P是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），AD，AE分別平分∠OAP和∠PAB，且交x軸于點(diǎn)D，E．（1）若梯形OABC的面積為12，直接寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPA與∠OEA之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律；（3）若∠AOC=44°，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ODA=∠OAE時(shí)，∠OAD的度數(shù)是多少？11．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積等于35cm（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于82（3）探究經(jīng)過(guò)多少秒后，以點(diǎn)B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBA相似？12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0，6)，連結(jié)AB．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著線(xiàn)段BA以5個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．（2）連接OP，當(dāng)△OBP為等腰三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)與直線(xiàn)OB交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）已知N點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，連結(jié)ON，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為P'(如圖2)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若P'點(diǎn)恰好落在△AOB內(nèi)部(不含邊界)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．13．在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且EC=ED．（1）如圖1，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：BD=AE；（2）如圖2，若點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論“BD=AE”能否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD與AE數(shù)量關(guān)系，若成立，請(qǐng)給予證明．14．如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<2），連接PQ.（1）若ΔBPQ與ΔABC相似，求t的值；（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.15．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AD．將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)D按順吋針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段DE，連結(jié)EC．（1）如圖1，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，依題意畫(huà)圖得到圖2．①求證：∠BAD＝∠EDC；②方方同學(xué)通過(guò)觀察、測(cè)量得出結(jié)論：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，總有∠DCE＝135°．方方的主要思路有以下幾個(gè)：思路一：在AB上取一點(diǎn)F使得BF＝BD，要證∠DCE＝135°，只需證△ADF≌△DEC．思路二：以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)F，要證∠DCE＝135°，只需證△AFD≌△ECD．思路三：過(guò)點(diǎn)E作BC所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)段EF，要證∠DCE＝135°，只需證EF＝CF．……請(qǐng)你參考井選擇其中一個(gè)思路，證明∠DCE＝135°；（2）如果點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，利用圖3畫(huà)圖分析，∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)并說(shuō)明理由；如果不是，也請(qǐng)說(shuō)明你的理由．16．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CB上，以1cm/s的速度從點(diǎn)C向B運(yùn)動(dòng)，連接AP，作CE⊥AB分別交AP、AB于點(diǎn)F、E，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AP交AB于點(diǎn)D．（1）線(xiàn)段CE=；（2）若t=5時(shí)，求證：△BPD≌△ACF；（3）t為何值時(shí)，△PDB是等腰三角形；（4）求D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

答案解析部分1．【答案】（1）6；12（2）解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∴∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=12﹣x，BQ=2x，∴12﹣x=2×2x，解得x=125當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，∴∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴2x=2（12﹣x），解得x=6．答：6秒或125秒時(shí)，△BPQ（3）解：作QD⊥AB于D，∴∠QDB=90°，∴∠DQB=30°，∴DB=12BQ=x在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=3x，∴(12-x)3x2=10解得x1=10，x2=2，∵x=10時(shí)，2x＞12，故舍去，∴x=2．答：經(jīng)過(guò)2秒△BPQ的面積等于103cm2．2．【答案】（1）解：作CD⊥AB于D，∵(a+2)2+|b-8|=0∴a+2=0，b-8=0，∴a=-2，b=8，∵C的坐標(biāo)為(3,c)，∴OD=3，∴AD=BD=5，∴CD為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∴AC=BC，∴△ABC為等腰三角形；（2）解：①作PE∥BC交AB于E，∵PE∥BC，∴∠EPH=∠BQH，∠PEA=∠ABC，又∵PH=QH，∠EHP=∠BHQ，∴△PEH≌△QBH，∴PE=BQ，∵AC=BC，∴∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠PEA，∴PA=PE，∴PA=BQ，由題意得：PA=t，CQ=3t，AC=13，∴t=3t-13，解得：t=6.5s；②AM=CN證明：延長(zhǎng)CM交AB于F，∵C（3,5），M(3,m)∴CM⊥AB，M（3,0），CF=5，∵A（-2,0），B（8,0），∴AF=CF=BF，∴∠CAF=∠ACF，∠BCF=∠CBF，∴∠ACB=90°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=∠ACF=45°，∵CN⊥AQ，∠ACB=90°，∴∠CQA+∠BCN=∠CQA+∠CAM，∴∠BCN=∠CAM，在△BCN和△CAM中∠BCN=∠CAM∴△BCN≌△CAM，∴AM=CN.3．【答案】（1）∵OA=8，OC=6，∴AC=OC∵AB=AC=10，∴OB=2（2）①作EH⊥OA于H，∵在Rt△AOC中，點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，∴EO=EA=5，∵EH⊥OA，∴OH=AH=4，∴EH=52當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，OM=2?2t，∴12×(2?2t)×3=1∴t=23當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)O的右側(cè)時(shí)，OM=2t?2，∴12×(2t?2)×3=1∴t=43綜上所述,若△OME的面積為2，t的值為23或4②當(dāng)點(diǎn)M在BO上，即0?t<1時(shí)，△OME為鈍角三角形不能成為直角三角形；當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，△OME不構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)M在OA上，即1?t?5時(shí)，如圖3,當(dāng)∠OME=90°時(shí)，∵OE=AE，∴OM=12OA∴2t?2=4，∴t=3，OM=4；如圖4,當(dāng)∠OEM=90°時(shí)，作EH⊥OA于H，∵OE2∴52+∴t=338，OM=254綜上所述,符合要求時(shí)t=3，OM=4或t=338，OM=254．【答案】（1）?3；4；4（2）解：當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AB的下方時(shí)，如圖1?1中，延長(zhǎng)BC交y軸于E（0，4），連接AE.設(shè)D（0，m）.∵S△ABD＝S△AED＋S△BDE?S△ABE＝S△ABC，∴12×（4?m）×3＋12×（4?m）×4?12×4×4＝∴m＝47當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AB的上方時(shí)，如圖1?2中，連接OB，設(shè)D（0，m）.∵S△ABD＝S△ADO＋S△ODB?S△ABO＝S△ABC，∴12×m×3＋12×m×4?12×3×4＝∴m＝207綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，207）或（0，47（3）n＜?5或n＞?15．【答案】（1）解：設(shè)AD=2x，BD=3x，CD=4x，則AB=AD+BD=2x+3x=5x，在Rt△BCD中，BC=BD2∴AB=BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=160cm2，而x＞0∴x=4cm，則BD=12cm，AD=8cm，CD=16cm，AB=BC=20cm.由運(yùn)動(dòng)知，AM=2t，BN=2t，①當(dāng)MN∥AC時(shí)，AM=NC，

即2t=20-2t，解得t=5；當(dāng)DN∥AC時(shí)，AD=CN，

∴8=20-2t，解得：t=6；∴若△DMN的邊與AC平行時(shí)，t值為5或6.②存在，理由：Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)M在AD上，即0≤t＜4時(shí)，△MDE為鈍角三角形，但DM＜DE＜ME，不存在等腰三角形；Ⅱ、當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，不能構(gòu)成三角形Ⅲ、當(dāng)點(diǎn)M在DB上，即4＜t≤10時(shí)，△MDE為等腰三角形，有3種可能.∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴DE=12當(dāng)MD=ME=2t-8，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直AB于F，∵E為BC中點(diǎn)，∴ED=EB，∴DF=BF=12BD=6cm∴EF=12CD=∵AM=2t，AF=AD+DF=8+6=14，∴FM=2t-14在Rt△EFM中，（2t-8）2-（2t-14）2=82，∴t=496當(dāng)DE=DM，則2t-8=10，

∴t=9；當(dāng)ED=EM，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則2t-8=12，∴t=10；綜上所述，符合要求的t值為496或9或6．【答案】（1）解：∵BD是Rt△ABC的中線(xiàn)

∴S△ABD=12S△ABC=12×12×8×6=12

∵DE是△ABD的中線(xiàn)

（2）解：∵四邊形DCFH與四邊形BEGH的面積相等

∴S四邊形DCFH+S△DHG=S四邊形BEGH+S△DHG

即S梯形DCFG=S△BDE=6

∵DG是△ACF的中位線(xiàn)

∴CF=2DG

∵S梯形DCFG=DG+CF×DC2=3DG×42=6

∴DG=1

∴CF=2DG=2，BF=BC-CF=4（3）解：①如圖，當(dāng)⊙F與DE相切時(shí)，⊙F與線(xiàn)段DE有且只有一個(gè)交點(diǎn)

此時(shí)⊙F的半徑BF=DC=4

∴CF=2，DG=1

∵DG//BC

∴DHBH=DGBF=14

②如圖，當(dāng)⊙F經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，⊙F與線(xiàn)段DE有且只有一個(gè)交點(diǎn)，連接FD,作FM⊥DE

設(shè)⊙F半徑為r，則FD=FM=r

∴CF=6-r

易知四邊形DCFM為矩形

∴DM=CF=6-r，F(xiàn)M=DC=4

在Rt△DFM中，DF2=FM2+DM2

即r2=42+(6-r)2

解得r=133

∴CF=6-r=53

在Rt△ACF中，AF2=AC2+CF2

∴AF=82+532=6013

∵G為AF的中點(diǎn)

∴FG=12AF=6016

在Rt△FGM中，GF2=FM2+GM2

∴GM=60162-42=56???????

∴DG=DM-GM=537．【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x+10=2x，解得x=10；（2）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM=t，AN=AB–BN=10–2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=10–2t，解得t=103∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)103秒后，可得到等邊三角形△AMN（3）解：當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知10秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在點(diǎn)C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵AC=AB∠C=∠B∠AMC=∠ANB∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，∴CM=y–10，NB=30–2y，CM=NB，y–10=30–2y，解得：y=403∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰△AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4038．【答案】（1）解：由題意知，AQ＝2t，BP＝t，∵△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，∴∠A＝60°，AB＝6，∴AP＝AB﹣BP＝6﹣t，∵AP＝3AQ，∴6﹣t＝3×2t，∴t＝67即：t＝67秒時(shí)，AP＝（2）解：由（1）知，∠A＝60°，AQ＝2t，AP＝6﹣t，∵△APQ為直角三角形，①當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，AQ＝2AP，∴2t＝2（6﹣t），∴t＝3秒，②當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，AP＝2AQ，∴6﹣t＝2×2t，∴t＝65即：t＝3秒或65秒時(shí)，△APQ（3）解：由題意知，AQ＝2t，BP＝t，∴AP＝6﹣t，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠C＝60°，∵QD∥AB，∴∠PDQ＝∠BPD，∠QDB＝∠A＝60°，∴△CDQ是等邊三角形，∴CD＝CQ，∴BD＝AQ＝2t，∵△BDP與△PDQ相似，∴①當(dāng)△BPD∽△PDQ時(shí)，∴∠B＝∠DPQ＝60°，∴∠APQ＝∠BDP，∵∠A＝∠B，∴△APQ∽△BDP，∴APBD=∴6-t2t=∴t＝65②當(dāng)△BPQ∽△QDP時(shí)，∴∠B＝∠DQP＝60°，∵DQ∥AB，∴∠APQ＝DQP＝60°，∵∠A＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴AP＝AQ，∴6﹣t＝2t，∴t＝2秒，即：t＝65秒或2秒時(shí)，△BDP與△PDQ9．【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，∵AB＝CA∴△ABQ≌△CAP（SAS）（2）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠QMC不變.理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°（3）解：解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°?∠PAC＝180°?60°＝120°10．【答案】（1）解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則OC=a∵A（2，2），B（6，2），∴AB=4，梯形OABC的高h(yuǎn)=2∵梯形OABC的面積為12∴12（AB+OC）h=12，即12（4+a）×2=12∴C（8，0）；（2）解：不變，理由如下：∵A（2，2），B（6，2），∴AB∥x軸，∴∠OPA=∠BAP（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∠OEA=∠BAE（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AE平分∠PAB，∴∠BAE=∠EAP，∴∠BAP=2∠OEA，即∠OPA=2∠OEA；（3）解：∵AB∥x軸，∴∠ODA=∠DAB（（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等））當(dāng)∠ODA=∠OAE時(shí)，則有∠DAB=∠OAE，（等量代換），∴∠DAE+∠EAB=∠OAD+∠DAE，∴∠EAB=∠OAD，而AD、AE分別平分∠OAP和∠PAB，∴∠OAD=又∵∠AOC=44°∠OAB+∠AOC=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∴∠OAB=180°－∠AOC=136°，∴∠OAD=1411．【答案】（1）解：根據(jù)題意知BQ=2t，AP=t，∴QC=BC-BQ=16-2t，BP=AB-AP=12-t根據(jù)三角形的面積公式，得1212t2解得t1==5，故當(dāng)t為5或7時(shí)，△PBQ的面積等于35cm（2）解：設(shè)t秒后，PQ的長(zhǎng)度等于82PQ5t解得t1=4故當(dāng)t為45或4時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于8（3）解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，兩三角形相似①當(dāng)BPBA=BQBC時(shí)，解得：x=24②當(dāng)BPBC=BQBA時(shí)，解得：x=36∴經(jīng)過(guò)245秒或3611秒，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與12．【答案】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0，6)，

∴OB=6，OA=8，

∴AB=OA2+OB2=（2）解：當(dāng)PB=PO時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，PC⊥x軸于點(diǎn)C，

∴OD=12OB=3，∠PBO=∠POB，

∵∠POB+∠POA=90°，∠PAO+∠PBO=90°，

∴∠POA=∠PAO，

∴PA=PO=PB=12AB=5，

∴OC=12OA=4，

設(shè)OM=x，

在Rt△PDM和Rt△BPM中

PM2=MB2-BP2=DM2+DP2，

∴（6+x）2-52=（3+x）2+42

解之：x=73，

∴點(diǎn)M（0，-73）；

當(dāng)BP=PO=6時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，PC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，

∴AP=AB-BP=10-6=4

易證四邊形PDOC是矩形，

∴DO=PC，DP=OC，

∵S△AOB=12OB·OA=12AB·OE，

∴6×8=10OE，

解之：OE=4.8，

∵S△BOP=12OB·DP=12BP·OE，

∴PD=OE=OC=4.8，

∴CA=8-4.8=3.2，

在Rt△PCA中

PC2+3.22=42，

解之：PC=OD=2.4，

在Rt△PDM和Rt△BPM中

PM2=MB2-BP2=DM2+DP2，

∴（6+x）2-62=4.82+（2.4+x）2，

解之：x=4，

∴點(diǎn)M（0，-4）；

當(dāng)OP=OB=6時(shí)，如圖，

∴∠OBP=∠BPO，

∵M(jìn)P⊥AB，

∴∠BPO+∠OPM=90°，

∵∠BMP+∠OBP=90°，

∴∠OMP=∠OPM，

∴OM=OP=6，

∴點(diǎn)M（0，（3）解：當(dāng)點(diǎn)P′在OA上時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6），

∴點(diǎn)N（4，3），BN=5，

由（2）可知OE=4.8，NF=3，

∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著線(xiàn)段BA以5個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴BP=5t，

∵S△BOP=12OB·GP=12BP·OE

∴6PG=4.8×5t

解之：PG=4t，

∴BG2=（5t）2-（4t）2，

解之：BG=3t，

∴OG=6-3t，PN=BN-BP=5-5t，

∵點(diǎn)P和點(diǎn)P′關(guān)于ON對(duì)稱(chēng)，

∴PN=P′N(xiāo)=5-5t，S△PON=S△P′ON，

∴12×4.85-5t=12OP'×3

解之：OP=OP′=8-8t，

在Rt△OPG中，

PG2+OG2=OP2即（4t）2+（6-3t）2=（8-8t）2

解之：t1=1439，t2=2（舍去），

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，此時(shí)點(diǎn)P，P′，N13．【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴CE平分∠ACB，AE=BE，∴∠BCE=30°∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°∵∠ABC=∠D+∠BED，∴∠BED=30°∴∠D=∠BED，∴BD=BE．∴AE=DB．（2）解：AE=DB；理由：過(guò)點(diǎn)E作EF//BC交AC于點(diǎn)F.如圖2所示：∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=即∠AEF=∠AFE=∠A=60°∴△AEF是等邊三角形．∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF．在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=EC∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴DB=EF，∴AE=BD．14．【答案】（1）解：①當(dāng)ΔBPQ∽ΔBAC時(shí)，∵BPBA=BQBC，BP=3t，QC=2t，AB=10cm，∴8-2t10=∴t=3223②當(dāng)ΔBPQ∽ΔBCA時(shí)，∵BPBC=∴3t10=∴t=2011，∴t=3223或2011時(shí)，ΔBPQ（2）解：如圖所示，過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=3t，PM=95BM=125t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴ΔACQ∽ΔCMP，∴ACCM=∴6解得：t=15．【答案】（1）①證明：∵∠B＝90°，∴∠BAD+∠BDA＝90°，∵∠ADE＝90°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，∴∠BAD+∠EDC＝90°，∴∠BAD＝∠EDC；②證法1：如圖1，在AB上取點(diǎn)F，使得BF＝BD，連接DF，∵BF＝BD，∠B＝90°，∴∠BFD＝45°，∴∠AFD＝135°，∵BA＝BC，∴AF＝CD，在△ADF和△DEC中，AF=CD∠BAD=∠CDEAD=DE∴△ADF≌△DEC，（SAS），∴∠DCE＝∠AFD＝135°；證法2：如圖2，以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點(diǎn)F，連接DF，∴DC＝DF，∠DFC＝∠DCF，∵∠B＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∠DFC＝45°，∴∠DFC＝90°，∠AFD＝135°，∵∠ADE＝∠FDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC，在△ADF≌△CDE中，AD=DE∠ADF=∠EDCDF=DC∴△ADF≌△CDE，（SAS），∴∠AFD＝∠DCE＝135°；證法3：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∴∠EF