高量6-01多個(gè)角動(dòng)量耦合

２００４年１１月第六章多個(gè)角動(dòng)量耦合2/8/20241引言●構(gòu)造原子和原子核等全同多粒子體系的波函數(shù)，要求：１、具有一定的交換對(duì)稱性２、是角動(dòng)量算符的本征態(tài)●涉及不同耦合方式之間的關(guān)系（如L-S耦合、j-j耦合），將碰到四個(gè)角動(dòng)量的耦合●解決此類問題涉及多個(gè)角動(dòng)量的耦合，其基礎(chǔ)是兩個(gè)和三個(gè)角動(dòng)量的耦合●定位：應(yīng)用上十分重要的技術(shù)性問題2/8/20242§6.1

三個(gè)角動(dòng)量耦合——Racah系數(shù)，6-j符號(hào)RacahCoefficient;6-jSymbol2/8/20243一、Racah系數(shù)；與C-G系數(shù)之關(guān)系●三角動(dòng)量耦合有次序問題，Racah系數(shù)由此而來●考慮彼此對(duì)易且獨(dú)立的三個(gè)角動(dòng)量已知▲三角動(dòng)量相加有三種方式2/8/20244一、Racah系數(shù)；與C-G系數(shù)之關(guān)系●(1a)對(duì)應(yīng)的共同本征函數(shù)●(1b)對(duì)應(yīng)的共同本征函數(shù)2/8/20245一、Racah系數(shù)；與C-G系數(shù)之關(guān)系●兩個(gè)表象通過一個(gè)幺正變換相聯(lián)系▲綜合以上各式可得U為C-G系數(shù)乘積組合而成，因而為實(shí)數(shù)●稱U為重耦合(recoupling)系數(shù)2/8/20246一、Racah系數(shù)；與C-G系數(shù)之關(guān)系●U與所有磁量子數(shù)無關(guān)1、已求和，U與之無關(guān)2、證明與m無關(guān)。以升降算符作用于變換式→→m不同對(duì)應(yīng)的變換系數(shù)相同2/8/20247一、Racah系數(shù)；與C-G系數(shù)之關(guān)系●變換系數(shù)的幺正性由→●逆變換2/8/20248一、Racah系數(shù)；與C-G系數(shù)之關(guān)系●定義Racah系數(shù)●解析表達(dá)式2/8/20249二、Racah系數(shù)的解析表達(dá)式▲三角關(guān)系Racah系數(shù)包含四個(gè)C-G系數(shù)→四個(gè)三角關(guān)系2/8/202410三、Racah系數(shù)的對(duì)稱性●由C-G系數(shù)對(duì)稱性而來在量子數(shù)交換時(shí)，必須保持四個(gè)三角關(guān)系▲三角關(guān)系圖形一個(gè)圖形對(duì)應(yīng)一個(gè)Racah系數(shù)規(guī)定圖中彎形箭頭的次序?yàn)镽acah系數(shù)中角量子數(shù)的排列次序，共24個(gè)圖形2/8/202411三、Racah系數(shù)的對(duì)稱性●兩種交換對(duì)稱性▲分號(hào)兩邊量子數(shù)間無交換的W都相等▲分號(hào)兩邊量子數(shù)有交換的W相差一相因子2/8/202412三、Racah系數(shù)的對(duì)稱性●完全版2/8/202413四、6-j符號(hào)●Wigner引進(jìn)▲對(duì)稱性更高，在下列變換下值不變→任意兩列交換；任意兩列上下兩行交換▲事實(shí)上，對(duì)應(yīng)24個(gè)W的6-j

符號(hào)全相等2/8/202414五、Racah

系數(shù)求和公式●C-G系數(shù)與Racah系數(shù)間求和公式2/8/202415五、Racah

系數(shù)求和公式●證明把展開式代入變換關(guān)系→→2/8/202416五、Racah

系數(shù)求和公式以左矢作用于兩邊→以作用上式兩邊得(1)以作用得(2)2/8/202417五、Racah

系數(shù)求和公式●Racah系數(shù)間求和公式—（1）用Racah系數(shù)表示2/8/202418五、Racah

系數(shù)求和公式●Racah系數(shù)間求和公式—（2）用Racah系數(shù)表示2/8/202419五、Racah

系數(shù)求和公式●證明兩個(gè)求和公式要用到的關(guān)系式１→２↓以及2/8/202420五、Racah

系數(shù)求和公式●（1）式的證明2/8/202421五、Racah

系數(shù)求和公式●（1）式的證明（續(xù)）將后兩式代入第一式，注意到↓，即得（1）2/8/202422六、Racah

系數(shù)基本應(yīng)用●用于計(jì)算不可約張量算符矩陣元—１2/8/202423六、Racah

系數(shù)基本應(yīng)用●用于計(jì)算不可約張量算符矩陣元—２2/8/202424六、Racah

系數(shù)基本應(yīng)用●具體例子——計(jì)算電子角動(dòng)量平均值利用2/8/202425六、Racah

系數(shù)基本應(yīng)用●計(jì)算電子角動(dòng)量平均值（續(xù)）亦可利用一階張量投影定理計(jì)算2/8/202426六、Racah

系數(shù)基本應(yīng)用●具體例子——計(jì)算氦核電四極矩設(shè)氦核處于態(tài)電四極算符因2/8/202427§6.2

矢量球函數(shù)及梯度公式VectorSphericalFunction2/8/202428一、矢量球函數(shù)●矢量函數(shù)描述S=1的粒子2/8/202429一、矢量球函數(shù)●總角動(dòng)量本征函數(shù)稱為矢量球函數(shù)2/8/202430一、矢量球函數(shù)●梯度公式2/8/202431§6.3

四個(gè)角動(dòng)量耦合—9-j符號(hào)9-jSymbol2/8/202432一、考慮四個(gè)角動(dòng)量的耦合●考慮兩種耦合次序——對(duì)應(yīng)兩個(gè)表象力學(xué)量完全集共同本征函數(shù)展開式2/8/202433一、考慮四個(gè)角動(dòng)量的耦合●變換系數(shù)與9-j符號(hào)與C-G系數(shù)的關(guān)系2/8/202434一、考慮四個(gè)角動(dòng)量的耦合●9-j符號(hào)與6-j符號(hào)的關(guān)系1)2)2/8/202435一、9-j符號(hào)的對(duì)稱性●9-j符號(hào)與3-j符號(hào)的關(guān)系2/8/202436二、9-j符號(hào)的對(duì)稱性●由3-j符號(hào)的對(duì)稱性得9-j符號(hào)的對(duì)稱性1)行列轉(zhuǎn)置，9-j符號(hào)值不變2)任意行或列作偶數(shù)次交換，9-j符號(hào)值不變2)任意行或列作奇數(shù)次交換，9-j符號(hào)值差一因子→2/8/202437三、9-j符號(hào)的應(yīng)用●由j-j耦合變到L-S耦合要用到9-j符號(hào)2/8/202438２００４年１１月第七章二次量子化方法2/8/202439引言通常的波動(dòng)力學(xué)方法處理全同粒子體系麻煩→發(fā)展了二次量子化方法引進(jìn)粒子占有數(shù)表象2/8/202440§7.1

中心場近似CentralFieldApproximation2/8/202441二、中心場近似●多粒子系統(tǒng)的哈密頓量例：原子序數(shù)為z的原