彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第四版)-第二章-課后作業(yè)題答案

第二章平面問題的根本理論【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。 圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，假設(shè)為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式〔2-15〕?！窘獯稹繄D2-17：上〔y=0〕左(x=0)右〔x=b〕0-11-100000代入公式〔2-15〕得①在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：②在小邊界上，能精確滿足以下應(yīng)力邊界條件：③在小邊界上，能精確滿足以下位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，那么有：⑵圖2-18①上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式〔2-15〕(s)(s)0-1001-0，，，②在=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有③在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如下圖，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故【2-16】設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求【解答】由公式〔2-6〕及，得(a)(d)【2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計(jì)，在全部邊界上〔包括孔口邊界上〕受有均勻壓力q。試證及能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答?！窘獯稹俊?〕將應(yīng)力分量，和體力分量分別帶入平衡微分方程、相容方程〔a〕〔b〕顯然滿足〔a〕〔b〕〔2〕對(duì)于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式〔2-15〕，且，那么有所以。對(duì)于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。〔3〕對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程〔2-12〕，得形變分量，〔d〕將〔d〕式中形變分量代入幾何方程〔2-8〕，得〔e〕前兩式積分得到〔f〕其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式〔f〕代入式〔e〕的第三式，得等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)，于是有積分后得代入式〔f〕得位移分量〔g〕其中為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式〔g〕可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解答?！?-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F〔圖2-22〕，體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力，然后證明這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式是否就表示正確的解答?！窘獯稹俊?〕矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式彎應(yīng)力；該截面上的剪力為，剪應(yīng)力為取擠壓應(yīng)力〔2〕將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn)第一式：第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程?！?〕將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程滿足相容方程〔4〕考察邊界條件①在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)0-1000100代入公式〔2-15〕，得②在次要邊界x=0上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩滿足應(yīng)力邊界條件③在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是