清華微積分高等數(shù)學課件第一講函數(shù)

清華微積分高等數(shù)學課件第一講函數(shù)目錄函數(shù)概念與性質基本初等函數(shù)函數(shù)的極限與連續(xù)性函數(shù)的導數(shù)與微分函數(shù)的積分與定積分函數(shù)在實際問題中的應用01函數(shù)概念與性質函數(shù)定義及表示方法函數(shù)定義設$x$和$y$是兩個變量，$D$是實數(shù)集的某個子集，若對于$D$中的每一個$x$值，按照某種對應法則$f$，總有唯一確定的$y$值與它對應，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$。解析法用含有數(shù)學表達式的等式來表示兩個變量之間的函數(shù)關系的方法叫做解析法。列表法用列表的方法來表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法叫做列表法。圖象法在平面直角坐標系中，用圖象來表示函數(shù)關系的方法叫做圖象法。單調性一般地，設函數(shù)$f(x)$的定義域為$D$，如果對于定義域$D$內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值$x_1,x_2$，當$x_1<x_2$時都有$f(x_1)<f(x_2)$，那么就說$f(x)$在此區(qū)間上是增函數(shù)。增函數(shù)減函數(shù)一般地，設函數(shù)$f(x)$的定義域為$D$，如果對于定義域$D$內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值$x_1,x_2$，當$x_1<x_2$時都有$f(x_1)>f(x_2)$，那么就說$f(x)$在此區(qū)間上是減函數(shù)。函數(shù)的單調性是指函數(shù)在某一區(qū)間內函數(shù)值隨自變量增大而增大（或減?。┑男再|。函數(shù)性質：單調性、奇偶性、周期性函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)圖象關于原點或y軸對稱的性質。奇偶性一般地，如果對于函數(shù)$f(x)$的定義域內任意一個$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么函數(shù)$f(x)$就叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)$f(x)$的定義域內任意一個$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么函數(shù)$f(x)$就叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)010203函數(shù)性質：單調性、奇偶性、周期性函數(shù)的周期性是指函數(shù)圖象呈現(xiàn)周期性的變化。周期性一般地，如果存在一個非零常數(shù)$T$，使得對于函數(shù)$f(x)$的定義域內的每一個$x$值，都有$f(x+T)=f(x)$，那么函數(shù)$f(x)$就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)$T$是這個函數(shù)的周期。周期函數(shù)函數(shù)性質：單調性、奇偶性、周期性反函數(shù)設函數(shù)$y=f(x)$的定義域是$D_f$，值域是$A_f$，如果對于值域$A_f$中的每一個$y$值，在定義域$D_f$中總有唯一確定的$x$值與它對應，且滿足對應關系的互換性，即這種對應關系構成了一個從值域到定義域的新函數(shù)，則稱這個新函數(shù)為原函數(shù)的反函數(shù)。復合函數(shù)設函數(shù)$y=f(u)$的定義域為$D_u$，值域為$M_u$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域為$D_x$，值域為$M_x$，且使得$M_xcapD_uneqvarnothing$，則根據(jù)對應關系$u=g(x),y=f(u)$可以得出一個新的對應關系$y=f[g(x)]$，這種由兩個或兩個以上的基本初等函數(shù)復合而成的并且對應法則所表示的數(shù)學關系式是一個整體結構的數(shù)學表達式叫做復合函數(shù)。反函數(shù)與復合函數(shù)02基本初等函數(shù)定義01形如$y=x^a$（$a$為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。性質02冪函數(shù)的性質取決于指數(shù)$a$的值。當$a>0$時，冪函數(shù)在第一象限內單調遞增；當$a<0$時，冪函數(shù)在第一象限內單調遞減。圖形03冪函數(shù)的圖形因指數(shù)$a$的不同而不同。例如，$y=x^2$的圖形是一個上凸的拋物線，而$y=x^{-1}$的圖形是一個雙曲線。冪函數(shù)定義形如$y=a^x$（$a>0$且$aneq1$）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。其中，$a$是底數(shù)，$x$是指數(shù)。性質指數(shù)函數(shù)的值域為$(0,+infty)$，且當$a>1$時，函數(shù)單調遞增；當$0<a<1$時，函數(shù)單調遞減。圖形指數(shù)函數(shù)的圖形是一個上凸或下凸的曲線，具體形狀取決于底數(shù)$a$的值。例如，當$a=2$時，圖形是一個上凸的指數(shù)曲線；當$a=0.5$時，圖形是一個下凸的指數(shù)曲線。指數(shù)函數(shù)定義如果$a^x=N（a>0，且a≠1）$，那么數(shù)$x$叫做以$a$為底$N$的對數(shù)，記作$x=log_aN$，讀作以$a$為底$N$的對數(shù)，其中$a$叫做對數(shù)的底數(shù)，$N$叫做真數(shù)。性質對數(shù)函數(shù)的定義域為$(0,+infty)$，值域為全體實數(shù)。當?shù)讛?shù)大于1時，函數(shù)單調遞增；當?shù)讛?shù)小于1時，函數(shù)單調遞減。圖形對數(shù)函數(shù)的圖形是一個上凸或下凸的曲線，具體形狀取決于底數(shù)的值。例如，以10為底的對數(shù)函數(shù)圖形是一個上凸的曲線；以2為底的對數(shù)函數(shù)圖形也是一個上凸的曲線，但比前者更為陡峭。對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)包括正弦函數(shù)$sinx$、余弦函數(shù)$cosx$、正切函數(shù)$tanx$等。這些函數(shù)的自變量是角度（通常用弧度表示），因變量是比值或長度等。反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，包括反正弦函數(shù)$arcsinx$、反余弦函數(shù)$arccosx$、反正切函數(shù)$arctanx$等。這些函數(shù)的自變量是比值或長度等，因變量是角度（通常用弧度表示）。性質與圖形三角函數(shù)與反三角函數(shù)具有周期性、奇偶性、單調性等性質，并且它們的圖形都是波浪形的曲線。例如，正弦函數(shù)的圖形是一個周期性的波浪形曲線；反正弦函數(shù)的圖形則是一個單調遞增的曲線。三角函數(shù)與反三角函數(shù)03函數(shù)的極限與連續(xù)性當自變量趨近于某個值時，函數(shù)值趨近于一個確定的值，這個確定的值就是函數(shù)的極限。極限的定義唯一性、局部有界性、保號性、四則運算法則等。極限的性質函數(shù)在某一點處的左右極限分別表示函數(shù)從左側和右側趨近于該點時的極限值。左右極限極限概念及性質無窮小量的定義無窮小量的性質無窮大量的定義無窮大量的性質無窮小量與無窮大量當自變量趨近于某個值時，函數(shù)值趨近于0，這個函數(shù)就是無窮小量。當自變量趨近于某個值時，函數(shù)值趨近于無窮大，這個函數(shù)就是無窮大量。有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量，無窮小量與有界量的乘積是無窮小量。無窮大量與有界量的乘積仍是無窮大量，兩個無窮大量的和、差、積不一定仍是無窮大量。ABCD連續(xù)函數(shù)的定義如果函數(shù)在某一點處的極限值等于函數(shù)在該點的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點連續(xù)。一致連續(xù)如果函數(shù)在定義域內的任意兩個點之間的函數(shù)值之差可以小于任意給定的正數(shù)，則稱函數(shù)在定義域內一致連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合運算等結果仍是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的性質連續(xù)函數(shù)在定義域內具有局部有界性、保號性、最大值最小值定理、零點定理等。連續(xù)函數(shù)及其性質04函數(shù)的導數(shù)與微分導數(shù)的定義導數(shù)描述了函數(shù)在某一點處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導數(shù)的計算方法通過求極限的方式計算導數(shù)，包括使用定義法、公式法、鏈式法則、乘積法則等。導數(shù)的幾何意義導數(shù)在幾何上表示曲線在某一點處的切線斜率，可以用來研究函數(shù)的單調性、極值等問題。導數(shù)概念及計算方法高階導數(shù)的定義高階導數(shù)是指對函數(shù)進行多次求導得到的導數(shù)，反映了函數(shù)更高層次的變化特征。高階導數(shù)的計算方法通過對函數(shù)進行連續(xù)求導得到高階導數(shù)，需要注意求導的順序和法則。高階導數(shù)的應用高階導數(shù)在研究函數(shù)的凹凸性、拐點等問題中有重要應用。高階導數(shù)微分的定義微分是函數(shù)在某一點處的局部變化量，可以表示為函數(shù)值與自變量增量之間的線性關系。微分的計算方法通過求導數(shù)得到微分，即函數(shù)的微分等于其導數(shù)與自變量增量的乘積。微分的應用微分在近似計算、誤差估計、優(yōu)化問題等領域有廣泛應用，如牛頓迭代法、梯度下降法等。微分概念及應用03020105函數(shù)的積分與定積分不定積分的定義不定積分概念及計算方法不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導數(shù)的過程，表示為一個帶有積分號的表達式。不定積分的性質不定積分具有線性性、可加性和常數(shù)倍性等基本性質。通過湊微分、換元法、分部積分等方法求解不定積分。不定積分的計算方法定積分的定義定積分是求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的積分值，表示為一個帶有上下限的積分號。定積分的計算方法通過牛頓-萊布尼茲公式、換元法、分部積分等方法求解定積分。定積分的性質定積分具有可加性、保號性、絕對值不等式、估值定理等性質。定積分概念及性質微積分基本定理的應用通過微積分基本定理可以簡化復雜函數(shù)的積分計算，如求解三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的積分。微積分在解決實際問題中的應用微積分在物理學、經(jīng)濟學、工程學等領域有著廣泛的應用，如求解速度、加速度、邊際效應等問題。微積分基本定理微積分基本定理揭示了微分與積分之間的內在聯(lián)系，包括牛頓-萊布尼茲公式和微積分學基本定理。微積分基本定理及應用06函數(shù)在實際問題中的應用供需函數(shù)模型描述商品或服務的供給量與需求量之間的關系，通過價格等變量建立函數(shù)關系。成本函數(shù)模型表示生產某種產品所需的成本與生產數(shù)量之間的關系，常用于企業(yè)的成本分析和決策。收益函數(shù)模型描述產品銷售收入與銷售數(shù)量之間的關系，用于分析企業(yè)的盈利狀況。經(jīng)濟問題中的函數(shù)模型動力學函數(shù)模型表示物體受力與運動狀態(tài)之間的函數(shù)關系，如牛頓第二定律描述的力與加速度的關系。熱力學函數(shù)模型描述熱量、溫度、內能等熱力學量之間的函數(shù)關系，如熱力學第一定律描述的熱量與內能的關系。運動學函數(shù)模型描述物體的位置、速度和加速度等運動學量之間的函數(shù)關系，如位移與時間的關系、速