【課件】三角函數(shù)的概念說(shuō)課課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

三角函數(shù)的概念

“天津之眼”創(chuàng)設(shè)情境，明確背景創(chuàng)設(shè)情境，明確背景思考1、我們是借助于什么來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)P的位置的？思考2、為了更好地體現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，我們是在哪里討論角的？思考3、如何建系可簡(jiǎn)化問(wèn)題？問(wèn)題1.如圖，單位圓☉O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如何建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況？角的大小變化在直角坐標(biāo)系中以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系追問(wèn)：任意給定一個(gè)角，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？分析具體事例，歸納共同特征方法一：根據(jù)銳角三角函數(shù)求坐標(biāo)方法二：根據(jù)直角三角形的性質(zhì),結(jié)合勾股定理求坐標(biāo)問(wèn)題2：當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？如何求解？點(diǎn)P是唯一確定的嗎？問(wèn)題3：用同樣的方法求當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又分別是什么？它們是唯一確定的嗎？M分析具體實(shí)例，歸納共同特征問(wèn)題4：通過(guò)觀察視頻，你有什么發(fā)現(xiàn)？這里有幾個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足函數(shù)的定義嗎？生成概念問(wèn)題5：如何給函數(shù)命名？設(shè)

是一個(gè)任意角，,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域是什么？問(wèn)題6：

是一個(gè)函數(shù)嗎？若是，自變量是什么？函數(shù)值又是什么？這個(gè)函數(shù)的定義域如何求解？問(wèn)題7：我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)。根據(jù)以上分析，你能給三角函數(shù)下個(gè)統(tǒng)一的定義嗎？三角函數(shù)是以角度為自變量，以角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)。生成概念概念應(yīng)用例1

利用三角函數(shù)的定義求

的正弦、余弦和正切值。方法總結(jié)：作圖求坐標(biāo)根據(jù)定義寫(xiě)函數(shù)值小試身手αsinαcosαtanα根據(jù)定義求出下列三角函數(shù)值問(wèn)題8：根據(jù)以上計(jì)算，銳角三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)之間有什么聯(lián)系？100-10-101000概念拓廣

A(1,0)xyO·Q(x,y)思考1：三角函數(shù)的定義中的點(diǎn)P是角終邊上的哪個(gè)點(diǎn)？如何找到那個(gè)點(diǎn)？思考2：如何求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)？解析：通過(guò)作圖，得思考3：上述過(guò)程我們用了什么方法？當(dāng)P(x,y)為角α終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）時(shí)，你能用同樣的方法求出角α的三個(gè)三角函數(shù)值嗎？概念拓廣例2

如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)(異于原點(diǎn))，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，。求證：(x,y)證明：作圖，可得如何去絕對(duì)值呢？同理可得：思考1：通過(guò)例2的證明，角α的三角函數(shù)值是否與終邊上的點(diǎn)的位置有關(guān)？思考2：例2實(shí)際上給出了任意角三角函數(shù)的另一個(gè)概念，而且這種概念與已有的概念是等價(jià)的，你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述一下這種定義嗎？設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為(x,y),則概念拓廣概念應(yīng)用知識(shí)上：思想方法上：歸納總結(jié)α三角函數(shù)模型(x,y)單位圓任意點(diǎn)推廣從特殊到一般，從具體到抽象，數(shù)形結(jié)合布置作業(yè)：1、利用三角函數(shù)定義求出所有特殊角的三角函數(shù)值，以表格的形式呈現(xiàn)；2、課本180頁(yè)2，3，4；184頁(yè)習(xí)題2基礎(chǔ)題（必做）拓展延伸：（選做）三角函數(shù)的概念教學(xué)闡釋教材分析學(xué)情分析教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)過(guò)程教學(xué)思想教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析教法學(xué)法一、教材分析

本節(jié)課是人教A版必修一第五章第二節(jié)的第一課時(shí)，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了任意角和弧度制的基礎(chǔ)上，通過(guò)繼續(xù)研究單位圓周運(yùn)動(dòng)上點(diǎn)的位置與角度的關(guān)系，得出了三角函數(shù)的概念。它既是任意角和弧度制的延續(xù)，又是后面研究誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)，在整個(gè)章節(jié)起著承上啟下的作用。二、教學(xué)思想

本節(jié)課是概念新授課，概念的形成應(yīng)按“事實(shí)-概念”的路徑，即學(xué)生要經(jīng)歷“背景-研究對(duì)象-對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)-定義”的過(guò)程，在此過(guò)程中體現(xiàn)了“從特殊到一般”“從具體到抽象”以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。三、學(xué)情分析知識(shí)上，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，對(duì)三角函數(shù)的形式有了初步了解，但對(duì)于三角函數(shù)周期性的認(rèn)識(shí)存在欠缺。能力上，學(xué)生已具備了解直角三角形的基本運(yùn)算能力和歸納概括能力，以及抽象思維能力。四、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析1.教學(xué)目標(biāo)(1)了解三角函數(shù)的背景，體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系(2)經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：(1)學(xué)生能如了解指、對(duì)、冪等基本初等函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景那樣，知道三角函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)工具，能體會(huì)到圓周運(yùn)動(dòng)在周而復(fù)始變化現(xiàn)象中的代表性。(2)學(xué)生在經(jīng)歷“周期現(xiàn)象-圓周運(yùn)動(dòng)-單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”的抽象活動(dòng)中，明確研究的問(wèn)題，使研究對(duì)象簡(jiǎn)單化、本質(zhì)化；學(xué)生能分析單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中涉及的量及其相互關(guān)系，獲得對(duì)應(yīng)關(guān)系并抽象出三角函數(shù)的概念；能根據(jù)定義求給定角的三角函數(shù)值。五、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)任意角的正弦、余弦、正切的定義；重點(diǎn)影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素分析；三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及三角函數(shù)定義方式的理解。難點(diǎn)0102六、教法學(xué)法根據(jù)以上教材分析和學(xué)情分析，本節(jié)課將采用問(wèn)答式，小組討論式的教學(xué)方法，合理利用多媒體和導(dǎo)學(xué)案的教學(xué)手段，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生動(dòng)形象，并提高課堂有效性。學(xué)法指導(dǎo)：指導(dǎo)學(xué)生利用自主探究與合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，利用問(wèn)答式分散難點(diǎn)，達(dá)成目標(biāo)。七、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，明確背景首先介紹生活中的“周而復(fù)始”的變化現(xiàn)象，引出圓周運(yùn)動(dòng)是這類(lèi)現(xiàn)象的代表設(shè)計(jì)意圖：為本節(jié)課提供生活實(shí)例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣。問(wèn)題1.如圖，單位圓☉O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如何建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況？思考1、我們是借助于什么來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)P的位置的？思考2、為了更好地體現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，我們是在哪里討論角的？思考3、如何建系可簡(jiǎn)化問(wèn)題？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題1明確本節(jié)課的研究任務(wù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)三個(gè)思考題逐步為建立數(shù)學(xué)模型做準(zhǔn)備（二）分析具體實(shí)例，歸納共同特征問(wèn)題2：當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？如何求解？點(diǎn)P是唯一確定的嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，讓學(xué)生體會(huì)點(diǎn)P的坐標(biāo)的唯一確定性。同時(shí)掌握求點(diǎn)坐標(biāo)的兩種計(jì)算方法：利用銳角三角函數(shù)直接求，或者根據(jù)直角三角形的性質(zhì)。通過(guò)該過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。問(wèn)題3：用同樣的方法求當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又分別是什么？它們是唯一確定的嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟練求點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算方法，并通過(guò)更多的實(shí)例感受角和點(diǎn)的坐標(biāo)的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。追問(wèn)：任意給定一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？問(wèn)題4：通過(guò)觀察視頻，你有什么發(fā)現(xiàn)？這里有幾個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足函數(shù)的定義嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“追問(wèn)”將特殊拓展到一般，從具體轉(zhuǎn)化為抽象。通過(guò)問(wèn)題4引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)任意角與點(diǎn)的坐標(biāo)的唯一確定性找出兩對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而自然而然的得出三角函數(shù)的概念，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

以上四個(gè)問(wèn)題都是以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為指向，從特殊到一般，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是角α的函數(shù)，為給出三角函數(shù)的定義作好準(zhǔn)備。培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力和數(shù)學(xué)抽象的能力。（三）生成概念問(wèn)題5：如何給函數(shù)命名？設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比銳角三角函數(shù)的命名方式，理解任意角的三角函數(shù)的符號(hào)表示，引導(dǎo)學(xué)生在新知識(shí)與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)間建立聯(lián)系。然后讓學(xué)生閱讀概念，并標(biāo)記出關(guān)鍵詞設(shè)計(jì)意圖：標(biāo)出關(guān)鍵詞可以幫助學(xué)生加深理解三角函數(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力和提取信息的能力。問(wèn)題6：

是一個(gè)函數(shù)嗎？若是，自變量是什么？函數(shù)值又是什么？這個(gè)函數(shù)的定義域如何求解？為了回答該問(wèn)題，我采取的是“先獨(dú)立思考，然后小組內(nèi)比較結(jié)果并討論”。設(shè)計(jì)意圖是通過(guò)討論分享組內(nèi)每個(gè)人的理解方式和方法。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題6，讓學(xué)生進(jìn)一步明確在三角函數(shù)中，角α是自變量，終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值是函數(shù)值，加深理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，突破本節(jié)課難點(diǎn)。問(wèn)題7：我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)。根據(jù)以上分析，你能用自然語(yǔ)言給三角函數(shù)下個(gè)統(tǒng)一的定義嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納共性，得出三角函數(shù)概念的本質(zhì)特征：三角函數(shù)是角度與坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)，是“幾何元素間的對(duì)應(yīng)”，三角函數(shù)值是通過(guò)求交點(diǎn)的坐標(biāo)得到的。（四）概念應(yīng)用例1

利用三角函數(shù)的定義求

的正弦、余弦和正切值。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟：作圖-求坐標(biāo)-根據(jù)定義寫(xiě)出函數(shù)值，并得到答案。αsinαcosαtanα課堂練習(xí)設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義的理解情況。（五）概念拓廣

思考1：三角函數(shù)的定義中的點(diǎn)P是角終邊上的哪個(gè)點(diǎn)？如何找到那個(gè)點(diǎn)？思考2：如何求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)？思考3：上述過(guò)程我們用了什么方法？當(dāng)P(x,y)為角α終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）時(shí)，你能用同樣的方法求出角α的三個(gè)三角函數(shù)值嗎？設(shè)計(jì)意圖：該問(wèn)題的解決是通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，逐步突破難點(diǎn)，最終得到答案。該問(wèn)題是為得出“終邊上任意點(diǎn)”定義的三角函數(shù)概念作鋪墊的。通過(guò)求終邊過(guò)點(diǎn)P的三角函數(shù)值，學(xué)生可以得出利用三角函數(shù)的定義和三角形相似的方法，求出已知終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)的三角函數(shù)值。這為證明“終邊上任意點(diǎn)”的三角函數(shù)概念提供了方法和思路，同時(shí)也可自然而然的引出三角函數(shù)的另一個(gè)概念。例2

如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)(異于原點(diǎn))，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，。求證：思考1：通過(guò)例2的證明，角α的三角函數(shù)值是否與終邊上的點(diǎn)的位置有關(guān)？思考2：例2實(shí)際上給出了任意角三角函數(shù)的另一個(gè)概念，而且這種概念與已有的概念是等價(jià)的，你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述一下這種定義嗎？設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，得到“終邊上任意點(diǎn)”定義的三角函數(shù)，將單位圓周運(yùn)動(dòng)拓展到所有的圓周運(yùn)動(dòng)，使學(xué)生理解了三角函數(shù)是描述圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，達(dá)成目標(biāo)。最后通過(guò)“概念應(yīng)用”中的練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)“任意角”定義的三角函數(shù)的應(yīng)用能力。(六)歸納小結(jié)知識(shí)上：思想方法上：α