高數(shù)積分總結(jié)

第四章一元函數(shù)的積分及其應(yīng)用第一節(jié)不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F(x)=/(x)或dF(x)=f(x)dx，則稱F(x)為/(x)的一個(gè)原函數(shù)定義2?函數(shù)f(X)的全體原函數(shù)F(x)+C叫做/(x)的不定積分,，記為：Jf(x)dx=F(x)+C其中/(x)叫做被積函數(shù)f(x)dx叫做被積表達(dá)式C叫做積分常數(shù)“J”叫做積分號(hào)二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1.不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即(Jf(x)dx)=f(x)；dJf(x)dx=f(x)dx性質(zhì)2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即J八x)dx=f(x)+C,或Jdf(x)=f(x)+C性質(zhì)3.非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來，即Jkf(x)dx=kJf(x)dx(k豐0)性質(zhì)4.兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即基本積分公式(2)Jx卩dx= 1Jf(x)土g(x)]dx=J基本積分公式(2)Jx卩dx= 1(3)Jhx=In|x|+Cx(4)Jexdx=ex+C(5)Jaxdx=Q+Clna(6)Jcosxdx=sinx+C(7)Jsinxdx=—cosx+C(8)Jsec2xdx=tanx+C(9)Jcsc2xdx=—cotx+C(10)Jsecxtanxdx=secx+C(11)Jcscxcotxdx=—cscx+C(12)Jsecxdx=ln|secx+tanx|+C(13)Jescxdx=ln|cscx—cotx|+C(14)J dx一arctanx+C1+x2(15)J1 dxarcsinx+C1—x2(16)J dx一arcsinx+C—x2(1)Jkdx=kx+C (k為常數(shù))xP+l+C(卩H—1)|!+1

三、換元積分法和分部積分法定理1.設(shè)申(x)可導(dǎo)，并且Jf(u)du=F(u)+C.則有Jf[e(x)]<p，(x)dx湊微刀Jf[Q(x)]d?(x)之"-9"衛(wèi)Jf(u)duF(u)+C代回"=Q(x)F(Q(x))+C該方法叫第一換元積分法(integrationbysubstitution)，也稱湊微分法.定理2.設(shè)x=Q(t)是可微函數(shù)且Q(t)豐0，若f(Q(t))Q'(t)具有原函數(shù)F(t)，則Jf(xJf(x)dxx=Q(t)換元Jf[q(t)]Q〈t)dt積分F(t)+C、J：XF「Q—1(x)]+C.L」 回代「 」該方法叫第二換元積分法選取u及v'(或dv)的原則:1)v容易求得；2)Ju'vd選取u及v'(或dv)的原則:解題技巧：選取u及v'的一般方法：把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積，按“反對(duì)幕指三”的順序，前者為u后者為v'.第二節(jié)定積分概念一、 原函數(shù)與不定積分的概念二、 定積分的定義和存在定理三、 定積分的幾何意義與定積分的性質(zhì)1．定積分的幾何意義2.定積分的性質(zhì)性質(zhì)1.Jb[f(x)+a性質(zhì)2.Jbkf(x)dx=kJbf(x)dx(k是常數(shù)).aa性質(zhì)3.Jbf(x)dx二"(x)dx+Jbf(x)dx.TOC\o"1-5"\h\za a c性質(zhì)4.Jbf(x)dx=Jbdx=b-a.aa推論1?如果在［a,b］上，f(x)<g(x),則jbf(x)dx<\bg(x)dx(a〈b).a a推論2.jbf(x)dx<Jb|f(x)|dxa a性質(zhì)5.jbf(x)dx>0 (a<b).a性質(zhì)6.設(shè)M與m分別是函數(shù)f(x)在［a,b］上的最大值及最小值，則m(b―a)<jbf(x)dx<M(b—a) (a<b).性質(zhì)7.(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在積分區(qū)間［a，b］］上至少存在一點(diǎn)g，使下式成立：jbf(x)dx=f(g)(b-a)(a<g<b)a可積的充分條件:定理1.函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］可積.定理2.函數(shù)f(x)在［a,b］上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在［a,b］可積.第三節(jié)微積分基本公式一、微積分基本公式變上限函數(shù)定義1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,bJ上連續(xù)，則它在［a,b］任意一個(gè)子區(qū)間［a,x］上可積，則Q(x)=jxf(t)dx (a<x<b)xa是上限變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為積分上限函數(shù)，也稱為變上限函數(shù).微積分基本公式定理2.jbf(x)dx二F(b)—F(a)a定積分的換元積分法定理3.jbf(x)dx=『fKp(t)dta a注：設(shè)f(x)在［―a,a］上連續(xù)，證明若f(x)在［—a,a］為偶函數(shù)，則jaf(x)dx=2jaf(x)dx；—a 0若f(x)在［—a,a］上為奇函數(shù)，則jaf(x)dx=0.—a定積分的分部積分法定理4.jbudv=［uv］b—jbvdua aa第四節(jié)定積分的應(yīng)用(這點(diǎn)跟高中無異，于是乎就偷懶了=v=~)一、 定積分的微元法AdA其實(shí)質(zhì)是找出的微元 的微分表達(dá)式.二