新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第一冊

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算[課標(biāo)解讀]1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運(yùn)算律.3.可以用數(shù)量積證明垂直，求解角度和長度．教材要點(diǎn)要點(diǎn)一空間向量的夾角1．夾角的定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作________．狀元隨筆關(guān)鍵是起點(diǎn)相同！2．夾角的范圍空間任意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0，π].特別地，當(dāng)θ＝0時，兩向量同向共線；當(dāng)θ＝________時，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝π2時，兩向量________，記作________狀元隨筆兩個向量的夾角是唯一確定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．要點(diǎn)二空間向量數(shù)量積1．概念：已知兩個非零向量a，b，則__________叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．狀元隨筆(1)兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量．(2)零向量與任意向量的數(shù)量積等于零．2．投影向量：向量a向向量b投影，得到c＝____________，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．3．性質(zhì)a⊥b?______，|a|2＝________,__|a|＝________，cos〈a，b〉＝____________4．運(yùn)算律λ(a·b)＝________，a·b＝________(交換律)．a(chǎn)·(b＋c)＝________(分配律)．狀元隨筆特別提醒：不滿足結(jié)合律(a·b)·c＝a·(b·c)．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cos〈a，b〉·bb.((2)對于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．()(3)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c.()(4)在△ABC中，〈AB，CB〉＝∠B.(2．(多選)設(shè)a，b為空間中的兩個非零向量，則下列各式正確的是()A．a(chǎn)2＝|a|2B．a(chǎn)·bC．(a·b)2＝a2·b2D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b23．在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是()A．AB與A'C'B．C．AB與A'D'D．4．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則a·(b＋c)A．1B．0C．－1D．－25．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．題型1數(shù)量積的運(yùn)算例1如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求值：①EF·BA；②EF·BD；③EF·DC；④AB·CD.方法歸納計算空間向量數(shù)量積的2種方法鞏固訓(xùn)練1如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1，求：1AB2AB3AC題型2用數(shù)量積求角度例2如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．方法歸納利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟鞏固訓(xùn)練2如圖，在正方ABCD-A1B1C1D1中，求BC1與題型3用數(shù)量積判斷或證明垂直問題例3已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC.方法歸納利用向量數(shù)量積判斷或證明垂直問題的策略鞏固訓(xùn)練3已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD與BC的位置關(guān)系為________．(填“平行”或“垂直”)題型4用數(shù)量積求長度例4如圖，已知?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，則PC的長為________．方法歸納求解長度問題時，先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝a·鞏固訓(xùn)練4在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長．易錯辨析混淆向量的夾角與空間角例5如圖所示，在平面角為120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求線段CD的長．解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB＝0，BD·AB＝0.∵二面角α-AB-β的平面角為120°，∴〈CA，BD〉＝180°－120°∴CD2＝(CA+AB+BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2BD·AB＝3×62＋2×62×cos60°易錯警示易錯原因糾錯心得本題易錯的地方是混淆二面角的平面角與向量夾角的概念，而誤認(rèn)為向量CA，BD的夾角〈CA，BD〉＝120°，得到錯誤答案CD利用數(shù)量積的性質(zhì)求解有關(guān)平面或空間中角的問題時，要特別注意向量的夾角與所求角的區(qū)別與聯(lián)系，切不可忽略角的取值范圍而盲目套用．利用向量求二面角的平面角時，一般不能保證所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的補(bǔ)角，這時要結(jié)合實際圖形對所求的角進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚?．1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一1．〈a，b〉2．π垂直a⊥b要點(diǎn)二1．|a||b|cos〈a，b〉2.|a|cos〈a，b〉bb3.a·b＝0a·aa·aa·bab4.(λa)·bb·[基礎(chǔ)自測]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．答案：AD3．解析：因為AB＝A'B'，所以AB與A'C'的夾角為45°，故A正確；因為AB＝A'B'，所以AB與C'A'的夾角為135°，故B不正確；因為AB＝A'B'，所以AB與A'D'答案：A4．解析：由題意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，所以a⊥b，a⊥c，所以a·b＝0，a·c＝0，所以a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.答案：B5．解析：∵cos〈a，b〉＝a·bab＝∴〈a，b〉＝2π答案：2題型探究·課堂解透例1解析：①EF·BA＝12BD＝12|BD||BA|cos〈BD＝12cos60°＝1②EF·BD＝12BD·BD＝12|BD|2③EF·DC＝12BD·DC＝12|BD|·|DC|·cos〈BD，DC〉＝④AB·CD＝AB·(AD-＝AB·AD-AB＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉＝cos60°鞏固訓(xùn)練1解析：1∵AB2AB·DC13AC·DA1＝例2解析：不妨設(shè)棱長為2，則AB1＝BB1－cos〈AB1＝0-2+2答案：0鞏固訓(xùn)練2解析：不妨設(shè)正方體的棱長為1，則BC1·AC＝(BC＝(AD+＝AD·AB＝0＋AD2＋0＋0＝AD2＝又因為|BC1|＝2，|AC|所以cos〈BC1，AC〉＝BC因為〈BC1，AC〉∈[0，π]，所以〈BC即BC1與AC夾角的大小為例3證明：連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又設(shè)OA＝a，OB＝b，OC＝c，則|a|＝|b|＝|c|.又OG＝12＝1＝14(a＋b＋c)，BC＝c－b∴OG·BC＝14(a＋b＋c)·(c－b＝14(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c＝14(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝∴OG⊥BC，即OG⊥BC.鞏固訓(xùn)練3解析：∵AD·BC＝(AB+BD)·(AC-AB)＝AB·AC+BD＝AB·(AC-AB-BD)＝AB·∴AD與BC垂直．答案：垂直例4解析：∵PC＝PA+∴|PC|2＝PC·PC＝(PA+AD+DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2PA·DC＋2AD·DC＝