（人教A版2019必修第一冊）高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末題型大總結(jié)（精講）（原卷版+解析）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末總結(jié)（精講）目錄第一部分：本章知識框架第二部分：典型例題剖析重點題型一：求函數(shù)的定義域重點題型二：求函數(shù)的值域重點題型三：分段函數(shù)重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用重點題型六：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小重點題型七：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法數(shù)形結(jié)合的思想分類討論的思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想函數(shù)與方程的思想第四部分：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理第一部分：本章知識框架第一部分：本章知識框架第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析重點題型一：求函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2022·北京東城·高二期末）函數(shù)的定義域為___________.例題2．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)高二期末（文））已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的定義域為A． B． C． D．例題4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)取值范圍是______.題型歸類練1．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）求函數(shù)的定義域．2．（2022·陜西·西安鐵一中濱河高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．3．（2022·福建三明·高二期末）“”是“函數(shù)的定義域為R”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．重點題型二：求函數(shù)的值域典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域為，求的取值范圍；(2)若函數(shù)值域為，求的取值范圍.例題3．（2022·新疆·烏市八中高二期末（文））設(shè)，，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型歸類練1．（多選）（2022·江蘇·高一）若函數(shù)的定義域為，值域為，則的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．3．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)對一切實數(shù)x、y都滿足，且，已知在上的值域為，則在R上的值域是（

）A．R B． C． D．5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)的值域為，則實數(shù)的值組成的集合是___________．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“孿生函數(shù)”共有______個.重點題型三：分段函數(shù)典型例題例題1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）已知，則=（

）A．3 B．5 C．7 D．9例題2．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，若，則實數(shù)＝（

）A． B． C．2 D．9例題3．（2022·四川巴中·高一期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)函數(shù)，若，則的值為（

）A． B． C． D．例題5．（2022·遼寧·撫順一中高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)，且在上的值域為，則的取值范圍為______．題型歸類練1．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知函數(shù)若，則（

）A．或1 B． C．1 D．32．（2022·新疆·三模（文））已知函數(shù)則，則（

）A．0或1 B．或1 C．0或 D．或3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時，，則的最大值是_________．4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若在上單調(diào)遞減，則________；若，則_________.5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)在－的最值.6．（多選）（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C．0 D．17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用典型例題例題1．（2022·四川自貢·高一期中）已知函數(shù)(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求的值；(3)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.例題2．（2022·江蘇·高一單元測試）設(shè)函數(shù)(1)畫出函數(shù)圖像（畫在答題卡上，標(biāo)出關(guān)鍵點坐標(biāo)）；例題3．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）已知函數(shù).(1)根據(jù)絕對值和分段函數(shù)知識，將寫成分段函數(shù)；(2)在下面的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域．（不要求證明）；(3)若在區(qū)間上，滿足，求實數(shù)的取值范圍.題型歸類練1．（2021·河北·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示.(1)請作出函數(shù)在上的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值.2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二期中（文））已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，(1)當(dāng)時，求解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的值域.3．（2021·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，(1)求的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)把函數(shù)圖象補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用角度1：單調(diào)性典型例題例題1．（2022·全國·高一）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若則實數(shù)的取值范圍是____．例題3．（2022·全國·高一）已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．角度2：最大（?。┲档湫屠}例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在上的最小值為______．例題2．（2022·全國·高一）已知函數(shù)(，)在時取得最小值，則＝________.例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_______．例題4．（2022·江蘇·高一）設(shè)函數(shù)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．角度3：奇偶性典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于_________對稱．例題2．（2022·湖南常德·高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則___．例題3．（2022·四川達(dá)州·高一期末（理））定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A． B．C． D．題型歸類練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.2．（2022·四川南充·高一期末）定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為___________.3．（2022·廣西桂林·高二開學(xué)考試（理））若函數(shù)在處取得最小值，則m＝（）A． B． C．4 D．54．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則在上的最大值為_____.6．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，若，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2022·貴州·凱里一中高一期中）函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍是____________．8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達(dá)式．10．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的值.重點題型六：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小典型例題例題1．（2022·云南·高二期末）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知偶函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．題型歸類練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·海淀實驗中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．符號不確定3．（2022·山東濟(jì)南·二模）若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．重點題型七：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式典型例題例題1．（2022·河北張家口·高一期末）設(shè)奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或例題2．（2022·河南南陽·高一期末）若定義域為R的函數(shù)滿足，且，，有，則的解集為（）A． B．C． D．題型歸類練1．（2022·山西·朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，若，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·赤壁市車埠高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法數(shù)形結(jié)合的思想1．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：①對任意的，且，都有成立；②.則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的整數(shù)解的個數(shù)是（

）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，則的解集為（

）A． B．C． D．4．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意的，且，都有，又，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．分類討論的思想1．二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值0.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，且在的最小值為，求的值.2．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象．(1)補(bǔ)充完整圖象并寫出函數(shù)的增區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的解析式；(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．3．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，解關(guān)于的不等式(2)函數(shù)在的最大值為0，最小值是-4，求實數(shù)和的值．轉(zhuǎn)化與化歸的思想1．已知函數(shù)f(x)對?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＜0時，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[1，2]時，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.2．已知定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的值及的解析式；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.函數(shù)與方程的思想1．已知函數(shù)．(1)解不等式：；(2)求函數(shù)的值域．2．求下列函數(shù)的值域：（1）；3．求下列兩個函數(shù)的值域：（1）；第四部分：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)第四部分：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象1．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)在x軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補(bǔ)全函數(shù)的圖象并求的值；(2)求函數(shù)的解析式．2．已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)抽象1．（多選）設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令，以下結(jié)論正確的有（

）A． B．函數(shù)為奇函數(shù)C． D．函數(shù)的值域為2．（多選）德國數(shù)學(xué)家狄里克雷在年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù).”這個定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個，都有一個確定的和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為，當(dāng)自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)家們對“函數(shù)是連續(xù)的”的認(rèn)識，也使數(shù)學(xué)家們更加認(rèn)可函數(shù)的對應(yīng)說定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．邏輯推理1．設(shè)，已知，．（1）若是奇函數(shù)，求的值；（2）當(dāng)時，證明：；（3）設(shè)對任意的，及任意的，存在實數(shù)滿足，求的范圍．2．設(shè)函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，并且滿足，（1）求和的值（2）如果，求的取值范圍第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末總結(jié)（精講）目錄第一部分：本章知識框架第二部分：典型例題剖析重點題型一：求函數(shù)的定義域重點題型二：求函數(shù)的值域重點題型三：分段函數(shù)重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用重點題型六：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小重點題型七：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法數(shù)形結(jié)合的思想分類討論的思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想函數(shù)與方程的思想第四部分：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理第一部分：本章知識框架第一部分：本章知識框架第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析重點題型一：求函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2022·北京東城·高二期末）函數(shù)的定義域為___________.【答案】由可知：，故，即函數(shù)的定義域為，故答案為：例題2．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)高二期末（文））已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C因為函數(shù)的定義域為，故，所以的定義域為，故函數(shù)中的需滿足：，故，故函數(shù)的定義域為.故選：C例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的定義域為A． B． C． D．【答案】B由題意，函數(shù)滿足，即，所以函數(shù)滿足且，解得，即函數(shù)的定義域為，故選B．例題4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)取值范圍是______.【答案】函數(shù)的定義域為，即恒成立.當(dāng)時，易知成立.當(dāng)時，需滿足：

綜上所述：故答案為題型歸類練1．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）求函數(shù)的定義域．【答案】由題意知，解得或，所以定義域為.2．（2022·陜西·西安鐵一中濱河高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C由條件可知：，所以，所以定義域為，故選：C.3．（2022·福建三明·高二期末）“”是“函數(shù)的定義域為R”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B因為函數(shù)的定義域為R，所以對任意恒成立.i.時，對任意恒成立；ii.時，只需，解得：；所以.記集合,.因為AB,所以“”是“函數(shù)的定義域為R”的充分不必要條件.故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．【答案】當(dāng)時，，即定義域為R；當(dāng)，要使的定義域為R，則在上恒成立，∴，解得，綜上，有，故答案為：重點題型二：求函數(shù)的值域典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解：（1）分式函數(shù)，定義域為，故，所有，故值域為；（2）函數(shù)中，分母，則，故值域為；（3）函數(shù)中，令得，易見函數(shù)和都是減函數(shù)，故函數(shù)在時是遞減的，故時，故值域為；（4），故值域為且；（5），而，，，，即，故值域為；（6）函數(shù)，定義域為，令，所以，所以，對稱軸方程為，所以時，函數(shù)，故值域為；（7）由題意得，解得，則，故，，，由y的非負(fù)性知，，故函數(shù)的值域為；（8）函數(shù)，定義域為，，故，即值域為；（9）函數(shù)，定義域為，故，所有，故值域為；（10）函數(shù)，令，則由知，，，根據(jù)對勾函數(shù)在遞減，在遞增,可知時，，故值域為.方法點睛：求函數(shù)值域常見方法：（1）單調(diào)性法：判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域（包括常見一次函數(shù)、二次函數(shù)、分式函數(shù)、對勾函數(shù)等）；（2）換元法：將復(fù)雜函數(shù)通過換元法轉(zhuǎn)化到常見函數(shù)上，結(jié)合圖象和單調(diào)性求解值域；（3）判別式法：分式函數(shù)分子分母的最高次冪為二次時，可整理成關(guān)于函數(shù)值的二次方程，方程有解，判別式大于等于零，即解得的取值范圍，得到值域.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域為，求的取值范圍；(2)若函數(shù)值域為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)函數(shù)定義域為，對任意都成立，當(dāng)時，顯然不恒成立，不合題意；當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，需滿足，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為(2)函數(shù)值域為，能取遍所有正數(shù)，1：，解得，2：，符合題意實數(shù)的取值范圍為例題3．（2022·新疆·烏市八中高二期末（文））設(shè)，，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C∵，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，即，所以，∴，故，又因為，且，．由遞增，可得，對于任意，總存在，使得成立，可得，可得∴．故選：C．題型歸類練1．（多選）（2022·江蘇·高一）若函數(shù)的定義域為，值域為，則的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC解：因為，開口向上，對稱軸為所以，當(dāng)和時，函數(shù)值為，當(dāng)時函數(shù)值為，因為函數(shù)的定義域為，值域為，所以，所以的值可能的選項是：ABC故選：ABC2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B令，則且又因為，所以，所以，即函數(shù)的值域為，故選：B.3．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】DA.當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；故錯誤；B.，故錯誤；C.，故錯誤；D.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故正確故選：D4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)對一切實數(shù)x、y都滿足，且，已知在上的值域為，則在R上的值域是（

）A．R B． C． D．【答案】C因為定義在R上的函數(shù)對一切實數(shù)x、y都滿足，且，令，可得，再令，可得，又在上的值域為，因此在上的值域為則在R上的值域是.故選：C5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)的值域為，則實數(shù)的值組成的集合是___________．【答案】因為函數(shù)的值域為[0，＋∞)，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋3，當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)，二次函數(shù)開口向下，有最大值，值域不為[0，＋∞)，不成立；當(dāng)，二次函數(shù)開口向上，要保證值域為[0，＋∞)，則最小值要小于等于0，解得a≥3.故答案為：[3，＋∞)6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“孿生函數(shù)”共有______個.【答案】9由題：函數(shù)解析式為，值域為，考慮集合則自變量必須在三個集合中每個集合里至少取一個元素形成定義域，在中至少取一個元素共3種取法，在中只有一種取法，在中至少取一個元素共3種取法，則由乘法原理得不同的定義域有種情況，所以“孿生函數(shù)”共有9個.故答案為：9重點題型三：分段函數(shù)典型例題例題1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）已知，則=（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B.故選：B例題2．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，若，則實數(shù)＝（

）A． B． C．2 D．9【答案】C函數(shù)，，則，即，解可得：.故選：C例題3．（2022·四川巴中·高一期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B因為且在上單調(diào)遞增，所以，解得，即故選：B例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)函數(shù)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A由題意，實數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，則且，可得，，所以，解得；當(dāng)時，則且，可得，，所以，此時無解，綜上可得，實數(shù)的值為.故選：A.例題5．（2022·遼寧·撫順一中高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)，且在上的值域為，則的取值范圍為______．【答案】由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為在上單調(diào)，所以或．若，則，故．當(dāng)時，令函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，則，即，不符合題意．若，則，故．當(dāng)時，令函數(shù)，根據(jù)對稱性可知，，則．故答案為：題型歸類練1．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知函數(shù)若，則（

）A．或1 B． C．1 D．3【答案】B根據(jù)題意得x≤1x2?1=8解得故選：B2．（2022·新疆·三模（文））已知函數(shù)則，則（

）A．0或1 B．或1 C．0或 D．或【答案】D當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，有，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，因此有，令，則，因此，或，當(dāng)時，即，顯然，因此，當(dāng)時，即，顯然，因此，綜上所述：或，故選：D3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時，，則的最大值是_________．【答案】

##由已知，，所以，當(dāng)時，由可得，所以，當(dāng)時，由可得，所以，等價于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若在上單調(diào)遞減，則________；若，則_________.【答案】

解：因為在上單調(diào)遞減即，解得：當(dāng)，即時，由得：，無解當(dāng)，即時，由得：，解得：或（舍去）所以故答案為：，.5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)在－的最值.【答案】最大值是，最小值是.在上遞增，對稱軸是，在上遞減，在上遞增，，，，，所以當(dāng)時，函數(shù)最大值是；當(dāng)時，函數(shù)最小值是.6．（多選）（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】AB解：由題意可得，解得，∴整數(shù)a的取值為或．故選：AB7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．【答案】(1)3或-2(2)(1)當(dāng)時，，解得或（舍去）；當(dāng)時，，解得.∴m的值為3或-2.(2)對任意實數(shù)，，，，解得.∴a的取值集合是.重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用典型例題例題1．（2022·四川自貢·高一期中）已知函數(shù)(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求的值；(3)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)圖像見解析；(2)；(3)和.(1)(2)；(3)由(1)得到的圖像可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.例題2．（2022·江蘇·高一單元測試）設(shè)函數(shù)(1)畫出函數(shù)圖像（畫在答題卡上，標(biāo)出關(guān)鍵點坐標(biāo)）；【答案】(1)圖象見解析；(2)答案見解析.(1)-2-101232323圖象如下圖示：例題3．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）已知函數(shù).(1)根據(jù)絕對值和分段函數(shù)知識，將寫成分段函數(shù)；(2)在下面的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域．（不要求證明）；(3)若在區(qū)間上，滿足，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)圖象見解析；單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間；值域為(3)(1).(2)的圖象如下圖所示：由圖可知：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，值域為：.(3)由（2）可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，由得，解得：.題型歸類練1．（2021·河北·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示.(1)請作出函數(shù)在上的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值.【答案】(1)答案見解析(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，最大值為2，最小值為-2.(1)畫圖如圖：(2)根據(jù)函數(shù)圖象，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，的最大值為2，的最小值為-2.2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二期中（文））已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，(1)當(dāng)時，求解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的值域.【答案】(1)(2)圖象見解析，值域為(1)當(dāng)時，，則，為上的偶函數(shù)，，即當(dāng)時，.(2)由（1）得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得圖象如下圖所示，的值域為.3．（2021·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，(1)求的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)把函數(shù)圖象補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)(3)圖象見解析；單調(diào)遞增區(qū)間為和(1)是上的奇函數(shù)，，，；(2)當(dāng)時，，，；又，；(3)圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為和.重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用角度1：單調(diào)性典型例題例題1．（2022·全國·高一）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】，解得.函數(shù)的對稱軸為，開口向下，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即且，即且，解得且或，即故答案為：.例題3．（2022·全國·高一）已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B依題意奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，，.故選：B角度2：最大（?。┲档湫屠}例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在上的最小值為______．【答案】0解:根據(jù)題意在上為增函數(shù)，則在上的最小值為．故答案為：0.例題2．（2022·全國·高一）已知函數(shù)(，)在時取得最小值，則＝________.【答案】36f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時取得最小值，由題意知＝3，∴a＝36.故答案為：例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_______．【答案】2設(shè)，則，所以原函數(shù)可化為：，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時，函數(shù)取最大值2.故答案為：2.例題4．（2022·江蘇·高一）設(shè)函數(shù)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】由，則，因為，所以，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，即實數(shù)m的取值范圍是，故答案為：角度3：奇偶性典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于_________對稱．【答案】原點要使函數(shù)有意義，則，得，解得或，則定義域關(guān)于原點對稱．此時，則函數(shù)，，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱例題2．（2022·湖南常德·高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則___．【答案】解：為奇函數(shù)，當(dāng)時，，.故答案為：.例題3．（2022·四川達(dá)州·高一期末（理））定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A因為為的偶函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，又當(dāng)或或時，，所以的解集為，故選：A.題型歸類練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.【答案】##函數(shù)是由函數(shù)和組成的復(fù)合函數(shù)，，解得或，函數(shù)的定義域是或，因為函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．故答案為：.2．（2022·四川南充·高一期末）定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】解：是定義在上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，即故可知，即可解得實數(shù)的取值范圍為.故答案為：3．（2022·廣西桂林·高二開學(xué)考試（理））若函數(shù)在處取得最小值，則m＝（）A． B． C．4 D．5【答案】C，∵，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴在x=4時，取得最小值，m=4；故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________．【答案】∵函數(shù)∴函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，為.故答案為：.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則在上的最大值為_____.【答案】∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，又∵，，∴，∴時，，設(shè)，則，則，則，即當(dāng)x＞0時，，∴f（x）在上單調(diào)遞減，∴在上的最大值為．故答案為：6．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，若，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在上的最大值是．，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在上的最小值是，若，，恒成立，則，即，所以，所以實數(shù)k的取值范圍是．故選:D．7．（2022·貴州·凱里一中高一期中）函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】因為所以是偶函數(shù)，作出的圖象如下：由得，，∴．故答案為：8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.【答案】因為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，則在上是增函數(shù)，且，不等式化為：或，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達(dá)式．【答案】，解析：以代替條件等式中的，則有，又，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，故．又，聯(lián)立可得，．10．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或(1)因為為冪函數(shù)

所以

因為為偶函數(shù)

所以故的解析式.(2)由（1）知，

當(dāng)即時，，即

當(dāng)即時，即

綜上所述：或重點題型六：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小典型例題例題1．（2022·云南·高二期末）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】C由題設(shè)，，又在上單調(diào)遞增，∴.故選：C.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知偶函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B因為為偶函數(shù)，所以，．又當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以，即．故選：B．題型歸類練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B為偶函數(shù)，；在上是減函數(shù)，，即.故選：B.2．（2022·北京·海淀實驗中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．符號不確定【答案】B因為函數(shù)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，所以由可得，所以，即，故選：B3．（2022·山東濟(jì)南·二模）若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B因為，所以二次函數(shù)的對稱軸為，又因為，所以，又，所以.故選：B.重點題型七：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式典型例題例題1．（2022·河北張家口·高一期末）設(shè)奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】D為奇函數(shù)，；又在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，；，即；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；的解集為或.故選：D.例題2．（2022·河南南陽·高一期末）若定義域為R的函數(shù)滿足，且，，有，則的解集為（）A． B．C． D．【答案】A由題設(shè)知：關(guān)于直線x＝2對稱且在上單調(diào)遞減．由，得：，所以，解得．故選：A題型歸類練1．（2022·山西·朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，若，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B因為的定義域為,關(guān)于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，故由可得，當(dāng)時，是增函數(shù)，所以，解得，故選：B2．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，而，因，則當(dāng)時，，即，解得，當(dāng)時，，即，解得，所以不等式的解集為.故選：B3．（2022·湖北·赤壁市車埠高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D當(dāng)時，的對稱軸為，故在上單調(diào)遞增.函數(shù)在x=0處連續(xù)又是定義域為的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.因為，由，可得，又因為在上單調(diào)遞增，所以有，解得.故選：D第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法數(shù)形結(jié)合的思想1．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：①對任意的，且，都有成立；②.則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A由題意得，偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且,作出函數(shù)的大致圖像如下：不等式等價于或，數(shù)形結(jié)合可知不等式的解集為：故選：A.2．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的整數(shù)解的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D根據(jù)題目描述，可得的大致圖像如上圖所示，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，，所以或或解得或．綜上，原不等式的解集為，即整數(shù)解的個數(shù)是．故選：D3．設(shè)函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A為上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)，，，在內(nèi)為減函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖像，由，得，由圖可知，不等式的解集為故選：A4．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意的，且，都有，又，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C由題可得函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，過點，由此作出函數(shù)圖像如下所以即看哪些點在二四象限或坐標(biāo)軸上故不等式的解為.故選：C.分類討論的思想1．二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值0.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，且在的最小值為，求的值.【答案】(1)(2)的值為或(1)依題意，二次函數(shù)，開口向上，對稱軸，所以，所以.(2)，開口向上，對稱軸，當(dāng)時，.當(dāng)時，（舍去）.當(dāng)時，.綜上所述，的值為或.2．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象．(1)補(bǔ)充完整圖象并寫出函數(shù)的增區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的解析式；(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)圖見解析，遞增區(qū)間為和(2)(3)(1)解：因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，由對稱性即可補(bǔ)充完整圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)的遞增區(qū)間為和；(2)解：根據(jù)題意，當(dāng)時，，所以，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，(3)解：當(dāng)時，，對稱軸為，當(dāng)，即時，在上遞增，所以；當(dāng)，即時，在上遞減，所以；當(dāng)，即時，在上遞減，在上遞增，所以，綜上，函數(shù)的最小值．3．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，解關(guān)于的不等式(2)函數(shù)在的最大值為0，最小值是-4，求實數(shù)和的值．【答案】(1)；(2)或.(1)不等式為，即，由可得；由可得或，故原不等式解集為.(2)因為由于，由題意或，若時，則，且或，當(dāng)時，，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，；若，則，且或當(dāng)時，，當(dāng)，符合題意；當(dāng)，與題設(shè)矛盾，故舍去；當(dāng)時，；綜上所述：或，符合題意.轉(zhuǎn)化與化歸的思想1．已知函數(shù)f(x)對?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＜0時，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[1，2]時，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)為奇函數(shù)，證明見解析；(2)函數(shù)為R上的減函數(shù)，證明見解析；(3)．(1)因為函數(shù)的定義域為R，令，所以，即，