(人教A版2019選擇性必修第一冊)高二數(shù)學(xué)上冊數(shù)學(xué)同步精講 3.3.1拋物線及其標準方程（精練）（原卷版+解析）

3.3.1拋物線及其標準方程（精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·北京平谷·高二期末）拋物線的焦點到其準線的距離是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·北京·清華附中高二階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，則點的橫坐標為（

）A．6 B．5 C．4 D．23．（2022·河南洛陽·高二階段練習(xí)（理））拋物線經(jīng)過點（1，2），則此拋物線焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．4．（2022·全國·高二）設(shè)拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（

）A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線5．（2022·四川遂寧·高二期末（理））已知圓與拋物線的準線相切，則（

）A． B． C．4 D．86．（2022·北京二中高二期末）已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在C上，直線PF交y軸于點Q，若，則點P到準線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上一點，直線AF交拋物線C的準線l于點B，且，則（

）A． B．4 C． D．68．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相交于，兩點，且與軸相交于點，若，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）已知拋物線焦點與雙曲線的一個焦點重合，點在拋物線上，則下列說法錯誤的是（

）A．雙曲線的離心率為2B．C．雙曲線的漸近線為D．點P到拋物線焦點的距離為610．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）點到拋物線的準線的距離為2，則a的值可以為（

）A． B． C． D．三、填空題11．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是拋物線上的一個動點為拋物線的焦點，記點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．12．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（文））設(shè)是拋物線上的一個動點，為拋物線的焦點，若，則的最小值為_________．四、解答題13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求圓錐曲線的標準方程：(1)焦點為，，離心率為；(2)焦點為，，離心率為3：(3)拋物線的準線為；(4)橢圓與雙曲線有相同的焦點，且短軸長為2．14．（2022·江蘇·高二）已知點P與點的距離比它到直線的距離小2．(1)求點P的軌跡C的方程；(2)若軌跡C上有兩點A、B在第一象限，且，，求證：直線AB的斜率是．B能力提升1．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知拋物線的焦點為F，準線為l，A為C上的點，過A作l的垂線．垂足為B，若，則___________．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過F的直線交C于點A，B，交C的準線于點E，若，，則___________.3．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（文））已知拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和的最小值為2，則實數(shù)p的值為_____，4．（2022·全國·高二期末）一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時每隔4米用一個柱子支撐，則支柱的長度______米．C綜合素養(yǎng)1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線的頂點是坐標原點O，對稱軸為x軸，焦點為F，拋物線上的點A的橫坐標為2，且，求此拋物線的方程.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件分別求拋物線的標準方程.(1)拋物線的焦點是雙曲線的左頂點;(2)拋物線的焦點F在x軸上，直線與拋物線交于點A，|AF|=5.3.3.1拋物線及其標準方程（精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·北京平谷·高二期末）拋物線的焦點到其準線的距離是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A解：拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離；故選：A2．（2022·北京·清華附中高二階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，則點的橫坐標為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C解：設(shè)點的橫坐標為，拋物線的準線方程為，點在拋物線上，，，．故選：C．3．（2022·河南洛陽·高二階段練習(xí)（理））拋物線經(jīng)過點（1，2），則此拋物線焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D因為拋物線經(jīng)過點（1，2），所以，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離等于.故選：D4．（2022·全國·高二）設(shè)拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（

）A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】A如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：A.5．（2022·四川遂寧·高二期末（理））已知圓與拋物線的準線相切，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】C因為圓的圓心為，半徑為，拋物線的準線為，所以，∴，故選：C.6．（2022·北京二中高二期末）已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在C上，直線PF交y軸于點Q，若，則點P到準線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C解：由拋物線，可知，準線的方程為，過點作軸的垂線，垂足為，因為，所以，所以，所以點到準線的距離為．故選：C．7．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上一點，直線AF交拋物線C的準線l于點B，且，則（

）A． B．4 C． D．6【答案】D由題意可知，過點作交于點，直線交軸于點,如圖所示由，得，即.在中，，由，得，即，所以,即,所以,由拋物線的定義知，.故選：D.8．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相交于，兩點，且與軸相交于點，若，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D解：過點，分別作拋物線準線的垂線，，垂足分別為，，且，與軸分別相交于，，則，得．（相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用）由拋物線的定義知，，則，解得，故選：D．二、多選題9．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）已知拋物線焦點與雙曲線的一個焦點重合，點在拋物線上，則下列說法錯誤的是（

）A．雙曲線的離心率為2B．C．雙曲線的漸近線為D．點P到拋物線焦點的距離為6【答案】CD焦點坐標為，離心率，A正確；的焦點坐標為，故，解得：，B正確；雙曲線漸近線方程為，C錯誤；點在拋物線上，故點P點拋物線焦點的距離為，故D錯誤.故選：CD10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）點到拋物線的準線的距離為2，則a的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】AB拋物線的準線方程為，因為點到拋物線的準線的距離為2，所以，解得或，故選AB．三、填空題11．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是拋物線上的一個動點為拋物線的焦點，記點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．【答案】##【詳解】如圖所示，過點作垂直于直線，垂足為點，由拋物線的定義可得，所以點到直線的距離為，所以當且僅當三點共線時，取到最小值，即．如圖所示，過點作直線垂直于直線，垂足為點，由拋物線的定義可得點到直線的距離為，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，即，因此．故答案為：12．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（文））設(shè)是拋物線上的一個動點，為拋物線的焦點，若，則的最小值為_________．【答案】3解：拋物線，所以焦點為，準線方程為，當時，所以，因為，所以點在拋物線內(nèi)部，如圖，過作準線的垂線垂足為，交拋物線于，由拋物線的定義，可知，故．即當、、三點共線時，距離之和最小值為3．故答案為：．四、解答題13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求圓錐曲線的標準方程：(1)焦點為，，離心率為；(2)焦點為，，離心率為3：(3)拋物線的準線為；(4)橢圓與雙曲線有相同的焦點，且短軸長為2．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).(1)由題可知，圓錐曲線為橢圓，可設(shè)方程為，則，∴，所以橢圓的標準方程為.(2)由題可知，圓錐曲線為雙曲線，可設(shè)方程為，則，∴，所以雙曲線的標準方程為.(3)∵拋物線的準線方程為，即，∴拋物線的標準方程為.(4)∵雙曲線的焦點為，設(shè)橢圓的標準方程為，∴，∴，∴橢圓的標準方程為14．（2022·江蘇·高二）已知點P與點的距離比它到直線的距離小2．(1)求點P的軌跡C的方程；(2)若軌跡C上有兩點A、B在第一象限，且，，求證：直線AB的斜率是．【答案】(1)；(2)證明見詳解．(1)因為點P與點的距離比它到直線的距離小2，則點P與點的距離與它到直線的距離相等，所以點P的軌跡C是以為焦點以直線為準線的拋物線，故軌跡C的方程為；(2)設(shè)在準線上的投影分別為，并連接，過點作交于點因為，又，則又，所以；故直線AB的斜率是.B能力提升1．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知拋物線的焦點為F，準線為l，A為C上的點，過A作l的垂線．垂足為B，若，則___________．【答案】##如圖，拋物線的準線與軸交點為，由已知得，，，又，則，在軸上方，，所以，，所以軸，從而是正方形，．故答案為：．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過F的直線交C于點A，B，交C的準線于點E，若，，則___________.【答案】3過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為M，N，準線與y軸的交點為G，則，.因為，所以，所以，所以，所以，即.故答案為：33．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（文））已知拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和的最小值為2，則實數(shù)p的值為_____，【答案】6因為拋物線上的點到y(tǒng)軸的距離等于到準線的距離減去，而由拋物線的定義知點到準線的距離等于到焦點的距離，所以只需點到Q與到焦點F的距離之和最小，如圖所示：當P，Q，F(xiàn)共線時，到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和最小，因為點到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和的最小值為2，所以，即，解得.故答案為：4．（2022·全國·高二期末）一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時每隔4米用一個柱子支撐，則支柱的長度______米．【答案】3.84.##建立如圖所示的直角坐標系,使拋物線的焦點在y軸上.可設(shè)拋物線的標準方程為：.因為橋的跨度米，拱高米，所以,代入標準方程得：，解得：，所以拋物線的標準方程為把點的橫坐標-2代入,得，解得：，支柱的長度為(米).即支柱的長度為3.84(米).故答案為：3.84.C綜合素養(yǎng)1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線的頂點是坐標原點O，對稱軸為x軸，焦點為F，拋物線上的點A的橫坐標為2，且，求此拋物線的方程.【答案】依題意可知，拋物線開口向右，設(shè)拋物線方程為，設(shè)，，由于，所以，解得，所以拋物線方