滬教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期二次函數(shù)復(fù)習(xí)課

滬教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期二次函數(shù)復(fù)習(xí)課CATALOGUE目錄二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)圖像變換及性質(zhì)二次函數(shù)最值問(wèn)題求解策略二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用二次函數(shù)綜合復(fù)習(xí)與提高01二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)

二次函數(shù)定義及表達(dá)式二次函數(shù)定義形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。二次函數(shù)的一般形式$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$是常數(shù)，且$aneq0$。二次函數(shù)的頂點(diǎn)式$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是頂點(diǎn)坐標(biāo)。123二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸為$x=-frac{2a}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。二次函數(shù)圖像當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。拋物線開(kāi)口方向令$y=0$可求得拋物線與$x$軸的交點(diǎn)，即二次方程的根；令$x=0$可求得拋物線與$y$軸的交點(diǎn)，即$y=c$。拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)判別式與根的關(guān)系當(dāng)$Delta>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，即拋物線與$x$軸無(wú)交點(diǎn)。當(dāng)$Delta=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（即一個(gè)重根）；判別式定義：對(duì)于二次方程$ax^2+bx+c=0$，其判別式為$Delta=b^2-4ac$。判別式與根的關(guān)系02二次函數(shù)與一元二次方程通過(guò)配方將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，進(jìn)而求解。配方法公式法因式分解法利用一元二次方程的求根公式進(jìn)行求解。將一元二次方程進(jìn)行因式分解，得到兩個(gè)一元一次方程，分別求解。030201一元二次方程求解方法二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）與一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）有密切關(guān)系。當(dāng)$y=0$時(shí)，二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程。二次函數(shù)的圖像（拋物線）與$x$軸的交點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)一元二次方程的根。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)對(duì)應(yīng)的一元二次方程求解得到。二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系利潤(rùn)問(wèn)題如求解商品銷售的最大利潤(rùn)問(wèn)題，可以通過(guò)建立二次函數(shù)模型并轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的根來(lái)解決。面積問(wèn)題如求解矩形、三角形等圖形的面積最大值或最小值問(wèn)題，可以通過(guò)建立二次函數(shù)模型并轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的根來(lái)解決。運(yùn)動(dòng)問(wèn)題如求解物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最值問(wèn)題（如最大高度、最小速度等），可以通過(guò)建立二次函數(shù)模型并轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的根來(lái)解決。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題舉例03二次函數(shù)圖像變換及性質(zhì)將二次函數(shù)圖像在平面內(nèi)沿某一方向移動(dòng)一定的距離，得到新的圖像。平移變換定義平移不改變二次函數(shù)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。平移性質(zhì)左加右減，上加下減。即圖像向左（右）平移，解析式中的x用x+a(a>0)或x-a(a<0)替換；圖像向上（下）平移，解析式中的y用y+b(b>0)或y-b(b<0)替換。平移規(guī)律平移變換及性質(zhì)對(duì)稱變換定義將二次函數(shù)圖像關(guān)于某一直線或點(diǎn)進(jìn)行對(duì)稱，得到新的圖像。對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱不改變二次函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，但頂點(diǎn)坐標(biāo)會(huì)發(fā)生變化。對(duì)稱規(guī)律關(guān)于x軸對(duì)稱，解析式中的y用-y替換；關(guān)于y軸對(duì)稱，解析式中的x用-x替換；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解析式中的x和y分別用-x和-y替換。對(duì)稱變換及性質(zhì)伸縮變換定義將二次函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)按照一定比例進(jìn)行伸縮，得到新的圖像。伸縮性質(zhì)伸縮不改變二次函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，但頂點(diǎn)坐標(biāo)和圖像的寬窄會(huì)發(fā)生變化。伸縮規(guī)律橫坐標(biāo)伸縮，解析式中的x用ax(a>1)或ax(0<a<1)替換；縱坐標(biāo)伸縮，解析式中的y用by(b>1)或by(0<b<1)替換。當(dāng)a>1時(shí)，圖像橫向壓縮；當(dāng)0<a<1時(shí)，圖像橫向拉伸。當(dāng)b>1時(shí)，圖像縱向拉伸；當(dāng)0<b<1時(shí)，圖像縱向壓縮。伸縮變換及性質(zhì)04二次函數(shù)最值問(wèn)題求解策略將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和區(qū)間范圍確定最值。配方法畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象在區(qū)間內(nèi)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定最值。圖象法判斷二次函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值。單調(diào)性法區(qū)間內(nèi)最值問(wèn)題求解方法直接使用二次函數(shù)的最值公式求解。公式法通過(guò)配方將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，從而直接得出最值。配方法無(wú)約束條件下最值問(wèn)題求解方法將約束條件代入二次函數(shù)中消元，轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的最值問(wèn)題求解。消元法利用判別式判斷二次函數(shù)在約束條件下的最值情況，結(jié)合不等式性質(zhì)求解。判別式法將二次函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，利用線性規(guī)劃的方法求解。線性規(guī)劃法約束條件下最值問(wèn)題求解方法05二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用確定拋物線頂點(diǎn)01利用頂點(diǎn)式$y=a(x-h)^2+k$可以直接確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)$(h,k)$。判斷拋物線開(kāi)口方向02通過(guò)觀察頂點(diǎn)式中的系數(shù)$a$，可以判斷拋物線的開(kāi)口方向。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。求解最值問(wèn)題03對(duì)于開(kāi)口向上的拋物線，其最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處；對(duì)于開(kāi)口向下的拋物線，其最大值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處。利用頂點(diǎn)式可以方便地求解這類最值問(wèn)題。拋物線頂點(diǎn)式在幾何圖形中應(yīng)用求解交點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)將拋物線方程$y=ax^2+bx+c$與其他函數(shù)或直線方程聯(lián)立，可以求解出交點(diǎn)的坐標(biāo)。判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)通過(guò)觀察交點(diǎn)式的判別式$Delta=b^2-4ac$，可以判斷拋物線與直線或其他函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)$Delta>0$時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)。求解與坐標(biāo)軸交點(diǎn)令$x=0$可求得拋物線與$y$軸的交點(diǎn)；令$y=0$并解方程可得拋物線與$x$軸的交點(diǎn)。010203拋物線交點(diǎn)式在幾何圖形中應(yīng)用拋物線其他性質(zhì)在幾何圖形中應(yīng)用拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍與縱坐標(biāo)之和。利用這一性質(zhì)，可以求解一些與切線相關(guān)的問(wèn)題。切線性質(zhì)拋物線關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱。利用這一性質(zhì)，可以方便地求解一些與對(duì)稱性相關(guān)的問(wèn)題。對(duì)稱性對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線$y^2=4px$（$p>0$），其準(zhǔn)線方程為$x=-p$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(p,0)$。利用準(zhǔn)線和焦點(diǎn)的性質(zhì)，可以求解一些與距離和角度相關(guān)的問(wèn)題。準(zhǔn)線和焦點(diǎn)06二次函數(shù)綜合復(fù)習(xí)與提高03二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系理解二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，掌握通過(guò)解方程求函數(shù)值的方法。01二次函數(shù)的概念及性質(zhì)回顧二次函數(shù)的定義，理解其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等基本概念，掌握其圖像和性質(zhì)。02二次函數(shù)的解析式掌握二次函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，理解各參數(shù)的含義，能夠根據(jù)不同的條件選擇適當(dāng)?shù)慕馕鍪?。知識(shí)點(diǎn)回顧與總結(jié)典型例題一典型例題二典型例題三經(jīng)典例題解析與討論求二次函數(shù)的解析式。通過(guò)已知條件列方程，解出參數(shù)值，得到函數(shù)的解析式。判斷二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)情況。通過(guò)判別式判斷方程的根的情況，從而確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置。利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題。根據(jù)函數(shù)的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定函數(shù)的最大值或最小值。探究二次函數(shù)圖像的平移和伸縮變換。理解圖像的平移和伸縮變換規(guī)律，能夠根據(jù)不同的變