解析2021屆江西省上饒市高考二模數(shù)學(xué)（理）試卷

絕密★啟用前

2021屆江西省上饒市高考二模數(shù)學(xué)（理）

試題

注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3,4},集合3={小<3},則AC|B=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.[1,2]D.（1,3）

答案：A

利用交集的定義可求得集合4nB.

解：因?yàn)榧螦={1,2,3,4},集合8={x|x<3},則403={1,2}.

故選：A.

2.復(fù)數(shù)z滿足z-i=l+2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：D

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，可求出z=t^=2-i,從而可求出z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)

1

的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得到答案.

解：由題意，z=9=（l+2i）i=2—i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,-1）,

i-1

在第四象限.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.

3.等比數(shù)列{4}中，%=4,生4=64,則%=（）

A.2夜B.8C.16D.32

答案：C

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，由a2a6=64,得到a2a6=a3a5=64求解.

解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{q}中，a2a6=64,

所以44=%%=64,

又因?yàn)?=4，

所以4=16,

故選：C

4.大擺錘是一種大型游樂設(shè)備（如圖），游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘

以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn)，座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在

電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).假設(shè)小明坐在點(diǎn)A處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸08在平面

a內(nèi)繞點(diǎn)。左右擺動(dòng)，平面a與水平地面垂直，03擺動(dòng)的過程中，點(diǎn)A在平面/內(nèi)

繞點(diǎn)3作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持0B,尸，BG。,設(shè)OB=3AB,在“大擺錘”啟

動(dòng)后，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.僅與水平地面所成銳角記為。，直線0B與水平地面所成角記為6,則6+5為定

值；

B.點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)；

C.可能在某個(gè)時(shí)刻，AB±a；

D.直線OA與平面a所成角的余弦值的最大值為題.

10

答案：D

TT

設(shè)a□，=/，由可確定5+6=5,知A正確；

由0A=\]0B2+AB2知OA為定值，知B正確；

若cn，=/，當(dāng)AB_L/時(shí)，由線面垂直的判定可知AB,a,知C正確；

當(dāng)ABua時(shí)，OAua,則所成角最小為0,知D錯(cuò)誤.

解：對(duì)于A,作出簡(jiǎn)圖如下，其中=則/與水平地面所成角即為夕與水平地面

所成角,

o

7T

\-OBip,1&/3,.-.OB±l,則b+e=5,A正確；

對(duì)于B,???點(diǎn)A在平面夕內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持。3，萬，

/.OA=y/OB2+AB21又為定值，.?.04為定值，

.??點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)，B正確；

對(duì)于C,?.?08J■夕，ABu/?,.?.AB_LO3,若。口尸=/，則當(dāng)AB_L/時(shí)，A3，a,

C正確；

對(duì)于I）,當(dāng)AButz時(shí)，直線OA與平面a所成角為0,所成角取得最小值，

二直線OA與平面a所成角的余弦值的最大值為1，D錯(cuò)誤.

故選：D.

5.函數(shù)/（x）=sin（2x+?）的圖象（）

A.關(guān)于點(diǎn)（一§,0）對(duì)稱

B.可由函數(shù)丁=4112彳的圖象向左平移今個(gè)單位得到

6

C.關(guān)于直線*=把57r對(duì)稱

12

D.可由函數(shù)丁=4112》的圖象向左平移專個(gè)單位得到

答案：D

利用代入檢驗(yàn)法可知AC錯(cuò)誤；根據(jù)三角函數(shù)平移變換可知B錯(cuò)誤，D正確.

解：對(duì)于A,當(dāng)％=時(shí)，2x+工=—2，不是/（x）的對(duì)稱中心，A錯(cuò)

362\3J

誤；

對(duì)于B,將曠=sin2x向左平移方個(gè)單位得y=sin|2卜+'|=sin（2x+g）,B錯(cuò)

誤;

5ITTT5TT

對(duì)于c,當(dāng)工=》時(shí)，2》+々=乃，.”=方不是/（x）的對(duì)稱軸，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,將丁=sin2x向左平移3個(gè)單位得丁=sin2卜+'J=sin（2x+（,D正

確.

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：判斷是否為正弦型函數(shù)y=Asin（Q）x+s）的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和單

調(diào)區(qū)間時(shí)，通常采用代入檢驗(yàn)的方式，即將大的取值代入5+9,整體對(duì)應(yīng)丫=5皿方的

對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間，由此求得結(jié)果.

x+y>A

6.變量x,>滿足約束條件y-x?2,則z=￡的最大值為（）

x

x<4

3

A.-B.2C.3D.5

2

答案：C

由約束條件可得可行域，將問題轉(zhuǎn)化為（x,y）與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率最大值的求解，由

數(shù)形結(jié)合的方式可得結(jié)果.

解：由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：

由圖象可知，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率最大,

x+y=4x=\

由《.c得：\,即A（l,3）,...%g=3,即z=?的最大值為3.

[y-x=23=3

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：線性規(guī)劃問題中幾種常見形式有:

Cl7

①截距型：z=ax+hy,將問題轉(zhuǎn)化為y=-一+一在丁軸截距的問題；

hb

②斜率型：z=T,將問題轉(zhuǎn)化為（x,y）與（。,。）連線斜率的問題；

x-a

③兩點(diǎn)間距離型：z=（X—a）2+（y—，將問題轉(zhuǎn)化為（x,y）與（。,。）兩點(diǎn)間距離的

平方的問題；

④點(diǎn)到直線距離型：z=|Ar+為+。，將問題轉(zhuǎn)化為（x,y）到直線Ax+By+C=O的

距離的,42+52倍的問題.

X

7.函數(shù)/（幻二\~泊2^^^^^的部分圖象大致為（）

先利用奇偶性排除部分選項(xiàng)，再由xeO,1^時(shí)，函數(shù)值的符號(hào)判斷.

解：因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的定義域?yàn)镽且

1-21

八一x)=1^hC°s(r)?cos%=-/(%)

1+2*

所以函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，故排除BC,

1-2V

又XC吟時(shí)，2*>l,cosx>0,所以=~.cosx<0,故排除A.

故選：D.

8.在邊長(zhǎng)為4的正方形儂》內(nèi)部任取一點(diǎn)〃，則滿足Z4MB為銳角的概率為（）

答案：A

先根據(jù)為直角時(shí)，得到點(diǎn)M在以為直徑的圓周上，然后確定當(dāng)為銳

角時(shí)，點(diǎn)材所在的區(qū)域，分別求得面積，代入公式求解.

解：當(dāng)為直角時(shí)，點(diǎn)材在以46為直徑的圓周上，此時(shí)，半圓的面積為2"，

因?yàn)閆AMB為銳角，所以點(diǎn)材在正方形內(nèi)與圓周以外的部分，

如圖所示陰影部分：

1二O

所以滿足為銳角的概率為〃=上1=1—￡.

168

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.函數(shù)/(x)=2sinx-x(x>0)的所有極大值點(diǎn)從小到大排成數(shù)列｛4｝,設(shè)S“是數(shù)

列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則COSS2021=()

11

A.1B.—C.--D.0

22

答案：B

求導(dǎo)數(shù)確定極大值點(diǎn)，得見，然后由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得S“，再計(jì)算cosS2M.

解：在/(x)=2sinx-x,先在xeR時(shí)討論時(shí)極值點(diǎn).

1JI

由已知/'(X)=2cosx-l由2cos%—1=0得cosx=—,x=2k7r+—或

23

x=2k兀——,keZ,

3

7T7T

易知當(dāng)2&萬---<x<2&萬■)—(ZeZ)時(shí)，f(x)>。,當(dāng)

33

TTTT

2k7V+-<X<2(k+l)7T--(k&Z)時(shí)，f\x)<0,所以/(x)的極大值點(diǎn)是

33

x=2k兀H■一,keZ,

3

TTjr

所以%=2(〃—1)乃+§,｛4｝是等差數(shù)列，公差。=2%,首項(xiàng)為4=1,

S2⑼=2021x弓+〃(；Dx2乃=673萬+菖+〃(〃—1)萬，〃(八一1)是偶數(shù)，

--..c/2萬、8兀、711

所以COSd202|=COS(7+=COS(2?一耳)=COSy=—.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)，考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，余

弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式.解題關(guān)鍵是掌握極值的定義，注意極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)的區(qū)別.

10.如圖，4B是圓。的一條直徑且43=2,故是圓。的一條弦，且￡尸=1，點(diǎn)P

在線段族上，則麗.麗的最小值是（）

A.—

2

答案：B

oruur

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，得到PA-P8=P。-1,再由圓的性質(zhì)，得到|pq的

最小值，即可得出結(jié)果.

解：由題意可得，

麗?麗=（而+礪）?即+礪）=（而+麗?悶-西）

T珂_研=網(wǎng)

為使10H最小，只需OPLEF,根據(jù)圓的性質(zhì)可得，此時(shí)P為EF中點(diǎn)時(shí)；

又EF=l，因此PO

所以西?而的最小值為

故選：B.

11.雙曲線￡：三一/=1（。>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸2，A和3為雙曲線上關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且A在第一象限.連結(jié)A用并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)2，連結(jié)若

△8鳥P是等邊三角形，則雙曲線后的離心率為（）

B.曬C.V19

答案：D

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可知四邊形A￡B6為平行四邊形，設(shè)忸閭=忙閭=|4用=〃，利用雙

曲線定義可用〃，a表示出|Ag|,|P^|，在△AP6中，利用余弦定理可構(gòu)造方程得到

。之間關(guān)系；在4月入心中，利用余弦定理可化簡(jiǎn)得到關(guān)于a,c的齊次方程，由此求

得離心率.

?.,4,8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱且。為耳弱中點(diǎn)，，四邊形入為平行四邊形，

27rTC

又△8月尸為等邊三角形，.?.48鳥4=萬一/8鳥尸=7，.?.N￡A居=彳；

設(shè)忸月|=|P閭=|然|=〃，由雙曲線定義知：|4閭=〃—2a,忸制=〃+2”，

在△APG中，由余弦定理得：歸耳『=|46「+|4川一2|4用卜目《?2,

即（〃+2a）~=a?+（2“-2a）~—“（2〃一2a）,解得：〃=5a；

在△耳Ag中，由余弦定理得：⑶鳥「=|斗4f+|A6『一24國(guó).[4鳥|cosg,

即4c2=25/+9。2-15/=19/，..e2=^-=—,解得：e=^^~.

a242

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線離心率的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系,

利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于。的齊次方程，從而求得離心率的大小.

12.對(duì)任意x〉0,不等式如W匚+。111彳+263(622.718283)恒成立，則正實(shí)數(shù)”的

X

取值范圍是()

z2--j-

A.(0,/1B.0,—C.—,eD.一,—

'」I2ee2

\」J-1L」

答案：A

先將原不等式化為C—ain4+2e3N0,令r=4，設(shè)/(f)=f-alnr+2e3(后e),

XXX

對(duì)其求導(dǎo)，討論0<Q<e,兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法分別判斷函數(shù)單調(diào)性，求

出對(duì)應(yīng)的最小值，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.

解：由

xx

ax<eF4zlnx+2^3<=>e--balnx-ax+Z/>0

xx

ex%exex.

—F6/Inx-aIncx+2。20---ciIn—I_2e'20,

xxx

令r=￡,設(shè)/?)=-aln，+2?(de),則/(“疝，NO即可，

X

又r(f)=I_g=*(fNe).

tt

(1)當(dāng)0<a<e時(shí)，/'(r)NO恒成立，.?.y=/a)(rNe)是增函數(shù)，

故/(f)min=/(e)=e-a+2J20,q4e+2e3，又0<aWe,所以0<a?e.

(2)當(dāng)a>e時(shí)，>=/?)在卜,4)上遞減，在［a,+oo)上遞增，

i

故/(Omin=f(a)=a-a\na+2e>0,

設(shè)g(a)=a-alna+2^*(a>e),故g(a)20即可，而g'(a)=-lna,顯然

g'(a)<0,

/.y=g(a)在［e,+oo)上遞減,又8卜3)="-03111/+2/=。,

而g(a)iO,所以g(a)Ng,)所以e<a4e3.

綜上可知0<a?e或e<a〈e3,即OvaKe?.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：思路點(diǎn)睛：

由不等式恒成立(或能成立)求參數(shù)時(shí)，一般可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參

數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根

據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)

果.

二、填空題

13.曲線y=(x+l)e'在點(diǎn)(0,1)處的切線的方程為.

答案：y=2x+l

解：,.，yf-(x+2)ex:.k=2:.y-l=2x,y=2x+l

14.若(2%—1)'=。0+。]1+。212+…+%『，貝!]%+%+/+…+%=.

答案：2

分別令X=0,x=1得到〃()和。()+4+%/---卜％'即得q+4+。3T--卜”7

解：由(2x—I)7=%+ci^x+2廠+…+a7f可知,

令X=0得，。0=-1，

令X=1得，。0+4+。2+。3+…+=1，

解得4+%+。3+…+%=2.

故答案為：2.

15.過拋物線尸=21的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB，CD,且

|AB|+|CD|=/l|AB|-|CD|,則;I的值為.

曜品1

答案：T

2

利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式表示出|A3|,|CD|,然后計(jì)算；L

解：焦點(diǎn)為F(J,O),P=l,

TTTT

設(shè)直線AB的傾斜角為e,直線co的斜率角為e+—或

22

顯然。。一時(shí)，記人=tanO,直線AB方程為y=k(x--),設(shè)A。1,y),B(x,%),

22

由卜二小一3得心2.?

r+2)x+—=0>

4

y2=2x

milr+2L

則玉+%2=——，中2二：一,

4

11k2+2,c2

所以A5=A尸|+3尸|二中■+%+—+1—2+

2-2k02k2

c2c2cos232

=2+——=2+——--二

tan-0sin~0sin20'

2P____2p

一2P\CD\=

做一QTsin2，口上萬、cos20,

產(chǎn)5

,11sin2ecos2e11

*,~\AB\\CD\~2p2P~2p~2'

故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，AB是拋物線V=2px的過焦點(diǎn)的

弦，直線A8的傾斜角為6,則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|人身=西+/+〃=二?7；.焦點(diǎn)弦還有許多

sin6

2

性質(zhì)，如x,x2=—,yty2=-p等等.

4

16.點(diǎn)M為正方體ABCD-ABCR的內(nèi)切球。球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為gC；上一點(diǎn),

2NB產(chǎn)NC1,DM1BN,若球。的體積為36萬，則動(dòng)點(diǎn)用的軌跡長(zhǎng)度為

在8月取點(diǎn)P,使2BP=PB「證明BN_L平面DCP，從而得點(diǎn)M的軌跡為平面DCP

與球。的截面圓周，因此求出球半徑和球心到截面的距離，然后利用截面圓性質(zhì)可得球

面圓半徑后可得其周長(zhǎng).題中球心到截面的距離利用體積法求解.球。半徑利用球的體

積公式計(jì)算可得.

解：解：如圖，在取點(diǎn)尸，使2BP=PB],連接CP,DP，BN,

因?yàn)镹C[=2NB1,可得4BCP陞4B\BN,則ZBCP=ZB{BN,所以

NNBC+NBCP=ZNBC+NNBB[=90°

所以

又￡>C_L平面3CGB1,BNu平面BCG旦，所以DC工BN,同理DCJ_CP,

因?yàn)閛cncp=c，DC,CPU平面。CP,

所以BN_L平面。CP,

則點(diǎn)M的軌跡為平面DCP與球。的截面圓周，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則上萬?3=36"，解得a=6,連接。。，OP,OC,

3⑴

如圖，在對(duì)角面3。。片中,

=—X—x65/2x6=65/2，

,△ODP=5=5%q32

C到平面ODP的距離即C到平面DBBR的距離為注a=3及，

2

VJODP=；又6邑3丘=12,

又CP=/+ga2=半.=2而,5=1X2V10X6=6A/10,

ADCP設(shè)。到平面

0cp的距離為〃，則％_。4=憶-。。，〃=與&=上叵

6V105

得o到平面￡>CP的距離為,

5

所以截面圓的半徑r=[32-iT

則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為2萬XA55=8叵不,

55

故答案為：兇51.

5

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間的幾何體中的軌跡問題，解題關(guān)系是確定平面

DCP,得點(diǎn)〃的軌跡為平面。CP與球。的截面圓周，為了求截面圓半徑，需求得球

半徑和球心到截面的距離，這個(gè)距離我們利用體積法求解.

二、解答題

17.請(qǐng)?jiān)冖贇v，②c=2,③2sinA=5sinC這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，將下面問

題補(bǔ)充完整，并作答.

問題：在AAHC中，a,b,。分別是角A,B,C的對(duì)邊，且

cosAcosC=asinBsinC——b,計(jì)算△ABC的面積.

2

答案：條件選擇見解析；AASC的面積為述.

2

根據(jù)8cosAcosC=asinBsinC—Lz7,利用正弦定理結(jié)合兩角差的余弦公式求得角

2

B,(1)若選①人=炳，②c=2,利用余弦定理求得“，代入三角形面積公式求解;

(2)若選②c=2,③2sinA=5sinC,利用正弦定理求得。，代入三角形面積公式

求解；(3)若選①b=③2sinA=5sinC,利用正弦定理求得。，代入三角形

面積公式求解.

解：Z?cosAcosC=?sinBsinC-■-Z?,

2

sinBcosAcosC=sinAsinBsinC--sinB,

2

因?yàn)閟inBwO.所以cosAcosC-sinAsinC=--,

2

即cos(A+C)——，

2

因?yàn)锳+C=%—5,

所以cos(4+C)=-cosB=--,

即cosB=—,

2

因?yàn)?v8<?.

TT

所以8=一.

3

(1)若選①Z?=M，②C=2,

b1=cr+c2-2accosB，

???a2-2a-15=0?

即a=5或。=一3(舍),

所以△ABC的面積S=—acsinB=—x5x2x—^-=.

2222

(2)若選②c=2,③2sinA=5sinC,

由2sinA=5sinC,得2a=5c,

又：c=2,；.a=5.

所以△ABC的面積S=—acsin=—x5x2x—=,

2222

(3)若選①b二曬,③2sinA=5sinC,

由2sinA=5sinC,得2a=5c,

b1=a1+c2-2?ccosB-c2=4)

即c=2,a=°c=5.

2

所以△A6C的面積S=—4/csinB=—x5x2x^-=.

2222

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：有關(guān)三角形面積問題的求解方法：(D靈活運(yùn)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊

角轉(zhuǎn)化；(2)合理運(yùn)用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的正弦、

余弦公式、二倍角公式等.

18.某市小型機(jī)動(dòng)車駕照“科二”考試中共有5項(xiàng)考查項(xiàng)目，分別記作①、②、③、④、

⑤.

(1)某教練將所帶6名學(xué)員的“科二”模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(如表所示)，從恰有2

項(xiàng)成績(jī)不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補(bǔ)測(cè)(只測(cè)不合格的項(xiàng)目)，求補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類不

超過3項(xiàng)的概率.

科目

①②③④⑤

學(xué)員

(1)VVV

(2)VVV

(3)VVV

(4)VVV

(5)VVVV

(6)VV

注“J”表示合格，空白表示不合格

（2）“科二”考試中，學(xué)員需繳納150元的報(bào)名費(fèi)，并進(jìn)行第一輪測(cè)試（按①、②、③、

④、⑤的順序進(jìn)行），如果某項(xiàng)目不合格，可免費(fèi)再進(jìn)行1輪補(bǔ)測(cè)；若第一輪補(bǔ)測(cè)中仍有

不合格的項(xiàng)目，可選擇“是否補(bǔ)考”；若選擇補(bǔ)考，則需另外繳納300元補(bǔ)考費(fèi)，并獲

得最多2輪補(bǔ)測(cè)機(jī)會(huì)，否則考試結(jié)束.（注：每一輪補(bǔ)測(cè)都按①，②，③，④，⑤的順序

全部重新測(cè)試，學(xué)員在同一輪補(bǔ)測(cè)中5個(gè)項(xiàng)目均合格，則可通過“科二”考試）.每人最

多只能補(bǔ)考1次.學(xué)員甲每輪測(cè)試或補(bǔ)測(cè)通過①、②、③.④、⑤各項(xiàng)測(cè)試的概率依次為1、

54

1、1、二.二，且他遇到“是否補(bǔ)考”的決斷時(shí)會(huì)選擇補(bǔ)考.

求：（i）學(xué)員甲能通過“科二”考試的概率；

（ii）學(xué)員甲繳納的考試費(fèi)用X的數(shù)學(xué)期望.

~、2、，.、80一550，一、

答案：（1）—；（2）（i）——；（ii）c（元）?

3813

（1）易知學(xué)員1,2,4,6恰有兩項(xiàng)不合格，列舉出任意抽出2人的所有可能數(shù)，然后

找出補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類不超過3的可能數(shù)，代入古典概型概率求解；

（2）先求得學(xué)員甲在每1輪測(cè)試（或補(bǔ)測(cè)）中通過的概率①若學(xué)員甲沒通過“科二，則

第1輪考試與3次補(bǔ)測(cè)均未能完成5項(xiàng)測(cè)試，再利用對(duì)立事件的概率求解；②分該學(xué)員

通過第一輪考試，或未通過第一次考試但通過第1輪補(bǔ)測(cè)時(shí)X=150,其他情況時(shí)均有

X=450,再求得其相應(yīng)概率，列出分布列，再求期望；

解：（1）根據(jù)題意，學(xué)員1,2,4,6恰有兩項(xiàng)不合格,

從中任意抽出2人，所有可能的情況如下：

項(xiàng)目

補(bǔ)測(cè)編號(hào)項(xiàng)數(shù)

學(xué)員

(1)(2)②③⑤3

(1)(4)②③④⑤4

(1)(6)③④⑤3

(2)(4)②④⑤3

(2)(6)②③④⑤4

(4)(6)②③④3

由表可知，全部6種可能的情況中，有4種情況補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類不超過3,

42

故所求概率為=7=-；

63

(2)由題意可知，學(xué)員甲在每1輪測(cè)試(或補(bǔ)測(cè))中通過的概率為：

,,,542

〃=lxlxlx—X—=一.

653

①由題意，若學(xué)員甲沒通過“科二”考試，

當(dāng)且僅當(dāng)其第1輪考試與3次補(bǔ)測(cè)均未能完成5項(xiàng)測(cè)試，相應(yīng)概率為f1],

⑴81

1QH

故學(xué)員甲能通過“科二”考試的概率為1--,

8181

②根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng)該學(xué)員通過第一輪考試，或未通過第一次考試但通過第1輪補(bǔ)測(cè)

2(2、28

時(shí)X=150,P(X=150)=§+[l-§Jx§=g,

其他情況時(shí)均有X=450,

P(X=450)=1-P(X=150)=g,

故X的分布列為：

X150450

8

P

99

故E(X)=150x§+450x,=^阮).

993

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：(1)求解離散型隨機(jī)變量才的分布列的步驟：①理解/的意義，寫出

彳可能取的全部值；②求才取每個(gè)值的概率；③寫出X的分布列.(2)求離散型隨機(jī)變

量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、

古典概型等知識(shí).

19.已知正的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)D,E分別是AB,AC上的三等分點(diǎn)(點(diǎn)E靠近

點(diǎn)A,點(diǎn)?？拷c(diǎn)3)(如圖1),將沿。E折起到△AOE的位置，使二面角

4—DE—8的平面角為90。，連接AC(如圖2).

AA

(D求證：4后，平面3。七。；

(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使得直線P4與平面4EC所成的角為60。？若存

在，求出CP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案：(1)證明見解析；(2)存在，CP=3.

2

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，先確定AAT史是以"E4為直角的直角三角形，即。E_LAE；

再由面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明線面垂直；

(2)先假設(shè)存在；由(1)得到AE、DE、CE兩兩垂直，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立

空間直角坐標(biāo)系，作尸H//x軸，交y軸與點(diǎn)〃，設(shè)CP=2a,分別得出直線的方向

向量以及平面的法向量，由線面角列出方程求解，即可得出結(jié)果.

21

解：(1)..?正AABC的邊長(zhǎng)為3,且4。=-48=2,AE=—AC=1,

33

△ADE中，ZDAE=6O°,則AE=ADcosNZME,所以△?1￡)￡是以NDE4為直

角的直角三角形，即￡>E_LAE；則OE_LCE

沿DE折疊后，仍有DEtCE；

所以4,EC為二面角4一。二一8的平面角；

因?yàn)槎娼茿-OE—B成直二面角，平面ADEJ.平面BCOE,Z^EC=90°,

又?.?平面ADED平面3cDE=￡>E,AEu平面ADE,A.E1DE,

：.AE_L平面BCE。；

(2)假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)尸，使直線PA與平面AEC所成的角為60°.

由(1)可得，A|E、DE、C￡兩兩垂直，以點(diǎn)￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系E-xyz.

fZ

作尸”//x軸，交y軸與點(diǎn)”，設(shè)CP=2a,

則xp=2a-sin60°=6a,yP=2-2a-cos60°=2-a,

故尸（島,2—。,0）,又4（0,0,1）,.?.印=（3,2—。,—11

因?yàn)槠矫鍭EC即是yEz所在平面，所以X軸與平面4EC垂直,

不妨取平面AtEC的一個(gè)法向量為n=(1,0,0)，

,ruuir

〃TPV3同5

由sin60°=r得丁=/,,,解得2a=一.

卜?向u2

"?A/2+(2-?)+12

所以存在這樣的點(diǎn)P,且CP=』.

2

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：

立體幾何體中空間角的求法：

(1)定義法：根據(jù)空間角(異面直線所成角、線面角、二面角)的定義，通過作輔助

線，在幾何體中作出空間角，再解對(duì)應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；

(2)空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法

向量，通過計(jì)算向量夾角(兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾

角、兩平面的法向量夾角)的余弦值，來求空間角即可.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X”中，AB為半圓A08的直徑，。為圓心，且A(-4,0),

B(4,0),G為線段。。的中點(diǎn)；曲線C過點(diǎn)G,動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持

|PA|+|P@的值不變.

（2）過點(diǎn)8的直線/與曲線。交于M、N兩點(diǎn)，與。。所在直線交于E點(diǎn)，

EM^A,MB,麗=4而，求證：4+4為定值.

22

答案：（1）—+^-=1；（2）證明見解析.

204

（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持1PAl+|PB|的值不變，且點(diǎn)G在曲線C上，得

到|/科+歸目>|4邳，利用橢圓的定義求解；

⑵設(shè)由麗麗，

￡（0,%），N（x2,y2）,8（4,0）,:=4EN=2^NB,

分別求得點(diǎn)"、N的坐標(biāo)，點(diǎn)MM在橢圓上，代入橢圓方程求解.

解：⑴因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在曲線。上運(yùn)動(dòng)且保持|~4|+|P8］的值不變，且點(diǎn)G在曲線C上,

|E4|+1PB|=|G4|+1GB|=275+275=475>|AB|=8,

P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，

且a=26，c=4,

?*-h2=a2—c2=4?

22

所以曲線c的方程為￡-+2=i.

204

（2）設(shè)磯0,%），M（%，X），N（w，%），3（4,0）,

由EM=4麗得（％,y—%）=4（4—%一y），

=2y=—

1+2,，/]+4

2

由于點(diǎn)M在橢圓上，故I=20,

1+4

整理得4/1：+404+20-5/=0,

由麗=%而同理可得4#+404+20—5〉；=0,

%是方程4/+40》+20—=0的兩個(gè)根，

4+4=_1o.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是由麗=4礪，的=4而，分別求得點(diǎn)M、

力的坐標(biāo)，由點(diǎn)以”在橢圓上，代入橢圓方程，構(gòu)造方程，利用韋達(dá)定理而得解.

21.已知函數(shù)函x)=2e*sinx.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)記g(x)=/(x)-?x,0<?<6,試討論g(x)在(0,〃)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)

據(jù)：e2?4.8)

(IT37r1

答案：(1)單調(diào)遞增區(qū)間為一1+2版■,彳+2攵萬伏EZ),單調(diào)遞減區(qū)間為

(3兀7萬、

|q-+2火肛-^-+2匕rK^wZ)；(2)答案見解析.

(1)求得/'(x)=2怎'sin(x+?),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求得g<x)=e"(sinx+cosx)-。，令〃(%)=/(%),求得”(x)=2e"cosx,

求得函數(shù)/?(x)的單調(diào)性，得出g'(x)在上遞增，在(I，乃)上遞減，結(jié)合

JT

g'(0)，g'(5)，gS)，分2—a20和2<a<6b兩種情況討論，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理,

即可求解.

解：⑴/(x)=2exsinx,定義域?yàn)镽.

f'(x)=2ex(sinx+cosx)=2形e*sin[x+,

由/'(x)>0,解得sin[x+?)>0,可得2k%<x+?<2&；T+萬(AeZ),

JT3冗

解得2k兀<x<2k7i+——(&wZ),

44

由/'(x)v0,解得sin[x+?]<0,可得2匕^+7<%+(<2%乃+2%(攵wZ),

37r74

解得2k兀H----<x<-----F2k冗(kGZ).

44

(n37r\

/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為I--+2k7T,-+2k7TUkeZ),單調(diào)遞減區(qū)間為

1,+2左7,"^+2%%）（左GZ）.

(2)由已知以了)=26代抽了一0￥,，g*(x)=2ex(sinx+cosx)—a,令力(x)=g'(x)，

則/?'(X)=4e'cos尤.：xe(O,不)，,當(dāng)時(shí)，A'(x)>0；當(dāng)乃］時(shí)，

〃'(x)<0,.?.〃(x)在(0,/)上單調(diào)遞增，在(會(huì)萬)上單調(diào)遞減，即g'(x)在(o.?上

單調(diào)遞增，在(|,%］上單調(diào)遞減.

g'(0)=2-a,g=2e2-a>0,g\7r)=-2e,T-a<0.

①當(dāng)2-a"時(shí)，即0<aW2時(shí)，g'(0)20,.?.孤使得g'(xo)=。，

.?.當(dāng)XG(O,X())時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)為?事,乃)時(shí),g'(x)<0,二g(x)在(0,與)上單

調(diào)遞增，(七，萬)上單調(diào)遞減.?.?g(o)=o,，g(%)>0.又；g(?)=一。萬<0,??.由

零點(diǎn)存在性定理可得，此時(shí)g(x)在(0,乃)上僅有一個(gè)零點(diǎn).

②若2<a<6時(shí)，g'(0)=2-a<0,又?.『、)在(。馬上單調(diào)遞增,在g“上

單調(diào)遞減，而-。>0,.?與玉萬)，使得g'(xJ=0,

g'(X2)=0,且當(dāng)xe(O,%)、%€(馬,〃)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)xe(石,％2)時(shí)，

g'(x)>0..\g(x)在(0,%)和(電，乃)上單調(diào)遞減,在(3,7)上單調(diào)遞增.

、(兀、￡rr￡

:g(0)=0,g(A］)<0,Vg\—\=2e2~—a>2e2-3^>0,/.g(x,)>0,

又；g(乃)=一。?<0,由零點(diǎn)存在性定理可得，g(x)在(%,工2)和(工2,萬)內(nèi)各有一個(gè)

零點(diǎn)，即此時(shí)g(x)在((),乃)上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)0<a?2時(shí)，g(x)在(0,萬)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)2<a<6時(shí)，g(x)在

（0,〃）上有兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：

函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解

法為從/（X）中分離參數(shù)，