高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)（35）：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題

難點(diǎn)35高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[。力]上的最大最小值，

或利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際應(yīng)用問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的

方法使復(fù)雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點(diǎn).本節(jié)內(nèi)容主要

是指導(dǎo)考生對(duì)這種方法的應(yīng)用.

?難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知AxAf+c,且/[/(X)]=^x2+l)

⑴設(shè)g(x)4'[7(x)],求g(x)的解析式；

⑵設(shè)0(x)=g(x)—X/(X),試問：是否存在實(shí)數(shù)4,使0(x)在(一8,—1)內(nèi)為減函

數(shù)，且在

(-1,0)內(nèi)是增函數(shù).

?案例探究

[例1]已知/0￥)=0『+/?」+。矛(。h0)在X=±1時(shí)取得極值，且1.

(1)試求常數(shù)4、6C的值；

(2)試判斷4±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由.

命題意圖：利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)

性質(zhì)方面的繼續(xù)深入.是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，通過對(duì)函數(shù)極值的判定，可使

學(xué)生加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：解題的成功要靠正確思路的選擇.本題從逆向思維的角度出發(fā)，

根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化.

這是解答本題的閃光點(diǎn).

錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用/'(土1)=0的隱含條件，因而

造成了解決問題的最大思維障礙.

技巧與方法：考查函數(shù)/(X)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極

值，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x=±l所確定的相等關(guān)系式，運(yùn)

用待定系數(shù)法求值.

解：(iy,(x)=3ax1+2bx+c

'.'x=±1是函數(shù)"r)的極值點(diǎn)，

.*.%=+1是方程(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得M

￡=_1②

3a

又式1)=—1,?*.a+b+c=—1,

③

由①②③解得a=—,h-O,c=—,

22

(2y(x)=1x3—|x,

(x)=5/_=5(X_i)(x+1)

當(dāng)xV-l或x>l時(shí)，f'(x)>0

當(dāng)一IVxVl時(shí),f'(x)<0

...函數(shù)/(X)在(一8,—1)和(l,+8)上是增函數(shù)，在(一1,1)上是減函數(shù).

當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)取得極大值式-1)=1,

當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)取得極小值式1)=-1.

［例2］在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠

在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的8處，乙廠到河岸的垂足。與A相距50

km,兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分

別為每千米3a元和5a元，間供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？

命題意圖：學(xué)習(xí)的目的，就是要會(huì)實(shí)際應(yīng)用，本題主要是考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)

知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)，思想方法以及能力.

知識(shí)依托：解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問題

情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式

化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.

錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是如何把實(shí)際問題中所涉及的兒個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系

式.

技巧與方法：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖

形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)

系.

解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段A。上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)

最省，設(shè)C點(diǎn)距。點(diǎn)xkm,則

"：BD=40,AC=50-x,

：.BC=ylBD2+CD2=>Jx2+402

又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有：

>-30(5a—x)+5a>Jx2+402(0<x<50)

y'=-3a+/=，令y'=0,解得x=30

VA-2+402

在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義，

函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時(shí)AC=50—x=20(km)

二供水站建在4、。之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省.

解法二：設(shè)NBCZ)=。，則BC=—,CD=40cot。,(0<^<-),.,MC=50-40cot

sin。2

e

設(shè)總的水管費(fèi)用為A，),依題意，有

f(J)=3a(50—40?cot，)+5a?上

sin。

?，//TjxAr.(5-3cos-sin-(5-3cos0)?(sin0\3-5cos0

.?/(G)=40Q?--------------------------------------------=40a--------——

sin?。sin2^

令/(，)=0,得cos

根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)cos時(shí)，函數(shù)取得最小值，止匕時(shí)Sin9=+??.

cote=3,

4

.?.AC=50—40cot〃=20(km),即供水站建在A、。之間距甲廠20km處，可使

水管費(fèi)用最省.

?錦囊妙計(jì)

1月x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若/(x)>0,則於)是增函數(shù)；若/'(x)〈0,則/U)

是減函數(shù).

2.求函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)先求導(dǎo)，然后令曠=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，(導(dǎo)數(shù)為

0的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)，例如：)=?,當(dāng)x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)是0,但非極值點(diǎn))，導(dǎo)數(shù)

為o的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，取決于這個(gè)點(diǎn)左、右兩邊的增減性，即兩邊的y的符

號(hào)，若改變符號(hào)，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)；若不改變符號(hào)，則非極值點(diǎn)，一個(gè)函數(shù)的極

值點(diǎn)不一定在導(dǎo)數(shù)為o的點(diǎn)處取得，但可得函數(shù)的極值點(diǎn)一定導(dǎo)數(shù)為0.

3.可導(dǎo)函數(shù)的最值可通過他力)內(nèi)的極值和端點(diǎn)的函數(shù)值比較求得，但不可導(dǎo)

函數(shù)的極值有時(shí)可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得，因此，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和

導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，如廠風(fēng)在x=0處不可導(dǎo)，但它是最小值點(diǎn).

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)設(shè)大方可導(dǎo)，且(0)=0,又則/(0)()

.10X

A.可能不是人X)的極值B.一定是犬犬)的極值

C.一定是人幻的極小值D.等于0

2.(****)設(shè)函數(shù)f,,(x)=n2x2(1—x)"(n為正整數(shù))，則/“(x)在［0,1］上的最

大值為()

A.OB.1

C.(l一一—)"D.4('一)"i

2+〃n+2

二、填空題

★涵數(shù)m)=log“(3x2+5x—2)(a>0且aWl)的單調(diào)區(qū)間.

4.(★★★★)在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽?/p>

時(shí)它的面積最大.

三、解答題

5.(***1^*)設(shè)/(x)=af+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定。的取值范圍，并

求其單調(diào)區(qū)間.

6.(****)設(shè)x=l與x=2是函數(shù)/(x)=alrLY+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).

⑴試確定常數(shù)。和匕的值；

(2)試判斷x=l,x=2是函數(shù)段)的極大值還是極小值，并說明理由.

7.(*1***_)已知a、6為實(shí)數(shù)，且。>a>e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：

ab>ba.

8.(****)設(shè)關(guān)于x的方程2x?—ax—2=0的兩根為a、函數(shù)

“、4x-a

x+1

(1)求人。)?人￡)的值；

(2)證明?x)是［a,￡］上的增函數(shù)；

(3)當(dāng)。為何值時(shí)，/(x)在區(qū)間［。，￡］上的最大值與最小值之差最??？

［科普美文］新教材中的思維觀點(diǎn)

數(shù)學(xué)科學(xué)具有高度的綜合性、很強(qiáng)的實(shí)踐性，不斷的發(fā)展性，中學(xué)數(shù)學(xué)新教

材打破原教材的框架體系，新增添了工具性、實(shí)踐性很強(qiáng)的知識(shí)內(nèi)容，正是發(fā)展

的產(chǎn)物.新教材具有更高的綜合性和靈活多樣性，更具有朝氣與活力，因此，把

握新教材的脈搏，培養(yǎng)深刻嚴(yán)謹(jǐn)靈活的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)成為燃眉之需.

新教材提升與增添的內(nèi)容包括簡易邏輯、平面向量、空間向量、線性規(guī)劃、

概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、研究型課題與實(shí)習(xí)作業(yè)等，這使得新教材中的知識(shí)內(nèi)容立體

交叉，聯(lián)系更加密切，聯(lián)通的渠道更多，并且富含更高的實(shí)用性.因此在高考復(fù)

習(xí)中，要通過總結(jié)、編織科學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，求得對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通，揭示知識(shí)間

的內(nèi)在聯(lián)系.做到以下幾點(diǎn)：

一、深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，把立足點(diǎn)放在提高數(shù)學(xué)素質(zhì)上.數(shù)學(xué)的思想方

法是數(shù)學(xué)的精髓，只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)的知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析

問題與解決問題的能力，才能形成數(shù)學(xué)的素質(zhì).知識(shí)是能力的載體，領(lǐng)悟并逐步

學(xué)會(huì)運(yùn)用蘊(yùn)含在知識(shí)發(fā)生發(fā)展和深化過程中，貫穿在發(fā)現(xiàn)問題與解決問題過程中

的數(shù)學(xué)思想方法，是從根本上提高素質(zhì)，提高數(shù)學(xué)科能力的必由之路，只有通過

對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的不斷積累，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能從知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)化，不斷

提高學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)水平.

二、培養(yǎng)用化歸（轉(zhuǎn)化）思想處理數(shù)學(xué)問題的意識(shí).數(shù)學(xué)問題可看作是一系

列的知識(shí)形成的一個(gè)關(guān)系鏈.處理數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，就是實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的

轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化。雖然解決問題的過

程不盡相同,但就其思考方式來講，通常將待解決的問題通過一次又一次的轉(zhuǎn)化,

直至化歸為一類已解決或很容易解決的問題，從而求得原問題的解答.

三、提高用函數(shù)方程思想方法分析問題解決問題的能力.函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是

拋開所研究對(duì)象非數(shù)學(xué)的特性，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)，建立各變量之間固有的函

數(shù)關(guān)系.與這種思想相聯(lián)系的就是方程的思想，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將所求的量

（或與所求的量相關(guān)的量）設(shè)成未知數(shù)，用它來表示問題中的其他各量，根據(jù)題

中隱含的等量關(guān)系去列方程，以求得問題的解決.

數(shù)學(xué)思維是科學(xué)思維的核心，思維的基石在于邏輯推理，邏輯思維能力是數(shù)

學(xué)能力的核心，邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的基本方法.

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生認(rèn)為，學(xué)習(xí)有兩個(gè)過程：一個(gè)是“從薄到厚，

一個(gè)是從厚到薄”，前者是“量”的積累，后者是“質(zhì)”的飛躍.雄關(guān)漫道真如鐵,

而今邁步從頭越，只要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷積累，不斷探索，不斷創(chuàng)新，定能在

高考中取得驕人戰(zhàn)績！

參考答案

難點(diǎn)磁場

解：⑴由題意得/[/)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c

心+1)=(/+1猿+田.>W)]=A?+1)

/.(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,

x2+c=x2+1,C=1

：.f(x)=x2+l,g(x)=f[段)]=^x2+l)=(x2+l)2+l

(2)0(x)=g(x)—^f(x)=x4+(2—4)x，(2—1)

3

若滿足條件的4存在，貝(X)=4X+2(2-A)X

?函數(shù)0(x)在(-8,一i)上是減函數(shù)，

.?.當(dāng)xV—1時(shí)，O'(x)<0

即41+2(2—1)田<0對(duì)于工6(—8,—1)恒成立

2(2—4)>—4x2,

VX<-1,/.-4X2<-4

2(2—4)2—4,解得XW4

又函數(shù)0(x)在(一1,0)上是增函數(shù)

，當(dāng)一IVxVO時(shí)，4>'(x)>0

2

即4X+2(2-A)X>0對(duì)于xe(—1,0)恒成立

2(2—4)V—47,

*/-1<x<Q,：.-4<4X2<0

.*.2(2-4)或-4,解得424

故當(dāng)4=4時(shí)，0(x)在(-8,一1)上是減函數(shù)，在(一1,0)上是增函數(shù)，即滿足

條件的4存在.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：由1血￡慢=-1,故存在含有0的區(qū)間3份使當(dāng)xe(Q/MWO時(shí)

3。X

△2<0,于是當(dāng)工￡5,0)時(shí)/'(0)>0,當(dāng);^(0力)時(shí)，/(0)<0,這樣段)在5,0)上

X

單增，在(0力)上單減.

答案：B

2.解析："'f'?(x)=2xn2(1—x)"—n3x2(1—x),"-1x)""[2(1—"x)—,

令/'”(x)=0,得苫1=0,》2=1,%3=二一,易知力i(x)在工=二一時(shí)取得最大值，最大值

2+n2+n

加齊)=〃2(4尸(1———)"=4?(J-嚴(yán)

答案：D

二、3.解析:函數(shù)的定義域是或xV—2f(x)=產(chǎn)/.(3f+5x-2)'

33』+5x-2

=(6x+5)/ogae

"(3x-1)(x4-2)5

①若a>l,則當(dāng)x>；時(shí)，lo及e>0,6x+5>0,(3x-l)(x+2)>0,.\f(x)>0,.,.函

數(shù)網(wǎng)在當(dāng)

+8)上是增函數(shù)，x<—2時(shí)，/'(x)<0....函數(shù)段)在(一8,—2)上是減函數(shù).

②若0<a<l,則當(dāng)時(shí)，/'(了)<0,，/)在(1,+8)上是減函數(shù)，當(dāng)xV

一2時(shí)，/(x)>0,.\/(x)在(一8,—2)上是增函數(shù)

答案：(-8,-2)

A

4.解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x,高為

h,那么h=AO+BO=R+《R2—x2，解得//|\\

f=/?(2R—人),于是內(nèi)接三角形的面積為VI\/_

S=x-h=7(2/?/Z-/J2)-h=7(2/?/I3-/Z4),、一

從而5'=—1(2以3_〃4)-21(2劭3一〃4),

2

=1(2^3_r)T(6RM-4/)=h：(3R-2h)

27(2/?

令S，=。,解得人=孰由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間（。曲上列表如下:

3

h（O,|R）-R（；，2R）

2

S'4-0一

S增函數(shù)最大值減函數(shù)

由此表可知，當(dāng)X=3R時(shí)，等腰三角形面積最大.

2

答案：-R

2

三、5.解：f（x）=3ax2+l

若。>0/。）>0對(duì)》￡（-8,+8）恒成立，此時(shí)段）只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛

若4=0/'（》）=1>0,，X￡（—8,+8）段）也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾.

若（x）=3〃（x+i^）?此時(shí)八工）恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

V3MyP\a\

：.a<0且單調(diào)減區(qū)間為（一8,一^^）和（^^,+8）,單調(diào)增區(qū)間為（一

3\a\3\a\

6?解：/(x)=-+2bx+l

x

(1)由極值點(diǎn)的必要條件可知：/⑴4,(2)=0,即。+20+1=0,且晟+4"1=0,解

方程組可得a=——,b=———lor——x2+x

3636

(2?‘(x)=一|『一gx+l,當(dāng)xd(0,l)時(shí)，f(x)V0,當(dāng)xd(l,2)時(shí)，f(x)>0,

當(dāng)xd(2,+8)時(shí)，/(x)<0,故在x=l處函數(shù)/)取得極小值J在x=2處函數(shù)取得

6

極大值9-21rl2.

33

7.證法?：,”AaAe,?\要證。只要證設(shè)/(/?)=blna—

>e),則

f(h)=\n