廣東佛山市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

年度廣東佛山市重點(diǎn)中學(xué)高三1月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．設(shè)集合A={x|x2－4<0}，B={－2，－1，0，1，2}，則A∩B=（）A．{－2，2}B．{－1，0}C．{－1，0，1}D．{0，1}2．若復(fù)數(shù)，則（）A．2iB．－2iC．4iD．－4i3．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則該橢圓的離心率為（）A．B．C．D．4．設(shè)，是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則cos〈，〉=（）A．B．C．D．5．若函數(shù)f（x）=log3（4＋m·3x－m2）在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．（－4，1）B．（0，1）C．（－1，4）D．（0，4）6．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“S3=3a2”是“{an}為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7過圓x2＋y2=4上一點(diǎn)P作圓O：x2＋y2=m2（m>0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，則實(shí)數(shù)m=（）A．B．C．1D．28．已知tanα＋tanβ=3，sin（α＋β）=2sinαsinβ，則tan（α＋β）=（）A．4B．6C．D．－6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．有一組從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn－1，xn（n≥4），若將第1個(gè)數(shù)據(jù)減1，最后一個(gè)數(shù)據(jù)加2，其余數(shù)據(jù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)x1－1，x2，…，xn－1，xn＋2，則下列統(tǒng)計(jì)量中，相比原來的數(shù)據(jù)變大的是（）A．極差B．中位數(shù)C．平均數(shù)D．方差10．某大型商場(chǎng)開業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費(fèi)滿100元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為本商場(chǎng)現(xiàn)金購(gòu)物卡，可用于以后在該商場(chǎng)消費(fèi)，抽獎(jiǎng)結(jié)果共分5個(gè)等級(jí)，等級(jí)x與購(gòu)物卡的面值y（元）的關(guān)系式為y=eax＋b＋k，若3等獎(jiǎng)比4等獎(jiǎng)的面值多100元，比5等獎(jiǎng)的面值多120元，且4等獎(jiǎng)的面值是5等獎(jiǎng)的面值的3倍，則（）A．a(chǎn)=－ln5B．k=15C．1等獎(jiǎng)的面值為3130元D．3等獎(jiǎng)的面值為130元11．已知函數(shù)y=f（x）在R上可導(dǎo)且f（0）=1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足（x＋1）[f′（x）－f（x）]>0，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)g（x）在（－∞，－1）上為增函數(shù)B．－1是函數(shù)g（x）的極小值點(diǎn)C．函數(shù)g（x）必有2個(gè)零點(diǎn)D．e2f（e）>eef（2）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)5個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報(bào)名競(jìng)賽課程，由于精力和時(shí)間限制，每人只能選擇其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法種數(shù)為________．13．函數(shù)的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為x1，x2，…，xn，…，若，則xn的值可以是________．（寫出符合條件的一個(gè)值即可）14．如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，B是山坡SA上一點(diǎn)，且AB=2km．現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為________km．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，在①；②；③sin2B＋sin2C－sinBsinC=sin2A這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的補(bǔ)充條件，并解答下面問題：（1）求角A的大??；（2）若，求△ABC的面積．16.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，，AB=1，E，F(xiàn)分別為A1C，BB1的中點(diǎn)，且EF⊥平面AA1C1C.（1）求棱BC的長(zhǎng)度；（2）若BB1⊥A1B1，且，求二面角B1－A1F－C的正弦值．17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)g（x）=f（x）－x的零點(diǎn)；（2）證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)k，存在x0>0，當(dāng)x∈（x0，＋∞）時(shí)，恒有．18．已知?jiǎng)訄AP經(jīng)過點(diǎn)，并且與圓B：相切，記圓心P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若動(dòng)圓Q的圓心在曲線C上，定直線l：x=t與圓Q相切，切點(diǎn)記為M，是否存在常數(shù)m使得|QB|=m|QM|？若存在，求m及直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．已知函數(shù).（1）若a=1，求f（x）的極值；（2）若f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，x3，x1<x2<x3，且，求實(shí)數(shù)a的最小值．?dāng)?shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．答案C解析∵A={x|x2－4<0}={x|－2<x<2}，∴A∩B={－1，0，1}．故選C.2．答案D解析∵．故選D．3．答案B解析因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且m=32=9，所以該橢圓的離心率為.故選B.4．答案A解析因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，又，所以，所以．故選A.5．答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log3（4＋m·3x－m2）在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以y=4＋m·3x－m2在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，且y=4＋m·3x－m2>0在[1，＋∞）上恒成立，所以解得0<m<4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，4）．故選D.6．答案B解析若{an}為等差數(shù)列，則S3=a1＋a2＋a3=3a2；取a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，顯然有S3=3a2，而a4－a3=2≠a3－a2，即數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．所以“S3=3a2”是“{an}為等差數(shù)列”的必要不充分條件．故選B.7．答案C解析取圓x2＋y2=4上任意一點(diǎn)P，過P作圓O：x2＋y2=m2（m>0）的兩條切線PA，PB，當(dāng)時(shí)，，又OA⊥AP，|OP|=2，則，所以實(shí)數(shù)m=|OA|=1.故選C.8．答案D解析由sin（α＋β）=2sinαsinβ，得sinαcosβ＋cosαsinβ=2sinαsinβ，則，所以，則，所以，所以．故選D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．答案ACD解析極差比原數(shù)據(jù)大3，故A正確；中位數(shù)不變，故B錯(cuò)誤；設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，，所以平均數(shù)變大，故C正確；因?yàn)樽钚〉臄?shù)據(jù)變小，最大的數(shù)據(jù)變大，其余數(shù)據(jù)不變，顯然新數(shù)據(jù)較原數(shù)據(jù)相對(duì)于各自的平均值波動(dòng)變大，由方差的意義易知方差也變大了，故D正確．故選ACD．10．答案ACD解析由題意可知，4等獎(jiǎng)比5等獎(jiǎng)的面值多20元，因?yàn)?00÷20=5，所以，則a=－ln5，A正確；由（e3a＋b＋k）－（e4a＋b＋k）=e3a＋b（1－ea）=100，可知e3a＋b=125，因?yàn)?等獎(jiǎng)的面值是5等獎(jiǎng)的面值的3倍，所以e4a＋b＋k=3（e5a＋b＋k），解得k=5，B錯(cuò)誤；則3等獎(jiǎng)的面值為e3a＋b＋k=125＋5=130元，D正確；由ea＋b＋k=e3a＋b·e－2a＋k=125×25＋5=3130，故1等獎(jiǎng)的面值為3130元，C正確．故選ACD．11．答案BD解析，當(dāng)x>－1時(shí)，f′（x）－f（x）>0，故g（x）在（－1，＋∞）上為增函數(shù)；當(dāng)x<－1時(shí)，f′（x）－f（x）<0，故g（x）在（－∞，－1）上為減函數(shù)，故－1是函數(shù)g（x）的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確．若g（－1）=0，則y=g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，若g（－1）>0，則y=g（x）沒有零點(diǎn)，C錯(cuò)誤．g（x）在（－1，＋∞）上為增函數(shù)，則g（2）<g（e），即，化簡(jiǎn)得e2f（e）>eef（2），D正確．故選BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．答案96解析由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程，則有Ceq\o\al(2,4)=6種情況，剩下2名同學(xué)在選擇物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)四個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程時(shí)有4×4=16種情況，所以恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法種數(shù)為6×16=96．13．答案（答案不唯一）解析由題意得，∴T=π，∵ω>0，∴，∴，令，k∈Z，即，k∈Z，∴（n=1，2，3，…），對(duì)n取特殊值即可，取n=1，得；取n=2，得；…．（答案不唯一）14．答案3.6解析由題意得母線，底面圓周長(zhǎng)為2πr=4π，所以展開圖的圓心角，如圖，，由點(diǎn)S向AB引垂線，點(diǎn)H為垂足，此時(shí)SH為點(diǎn)S和線段AB上的點(diǎn)的連線的最小值，即點(diǎn)H為公路的最高點(diǎn)，HB段即為下坡路段，則SB2=BH·AB，即36=10·BH，得BH=3．6km，即下坡路段長(zhǎng)為3．6km．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解（1）選①：，由正弦定理得，因?yàn)镃∈（0，π），所以sinC≠0，所以，即，又A∈（0，π），所以.選②：，因?yàn)閏os（B＋C）=cos（π－A）=－cosA，所以，即，又A∈（0，π），所以.選③：sin2B＋sin2C－sinBsinC=sin2A，由正弦定理得b2＋c2－bc=a2，由余弦定理得，又A∈（0，π），所以.（2）由（1）可知，，又，由余弦定理得，解得bc=3，由三角形面積公式可得．16.解（1）取AC的中點(diǎn)D，連接ED，BD，∵D，E分別為AC，A1C的中點(diǎn)，∴DE∥AA1，，又ABC－A1B1C1為三棱柱，且F為BB1的中點(diǎn)，∴BF∥AA1，，∴DE綊BF，∴四邊形DEFB為平行四邊形，∴EF∥DB，又EF⊥平面AA1C1C，∴DB⊥平面AA1C1C，又AC?平面AA1C1C，∴DB⊥AC，又D為AC的中點(diǎn)，∴△ABC為等腰三角形，∴BC=AB=1.（2）由（1）可知，BC=AB=1，且，∴AB2＋BC2=AC2，∴AB⊥BC，∴，且A1B1⊥B1C1，∵EF⊥平面AA1C1C，A1C?平面AA1C1C，∴EF⊥A1C，∴，解得A1C=2，由（1）知DB⊥平面AA1C1C，AA1?平面AA1C1C，∴DB⊥AA1，又AA1∥BB1，∴DB⊥BB1，又BB1⊥A1B1，AB∥A1B1，∴BB1⊥AB，又AB∩DB=B，AB，DB?平面ABC，∴BB1⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴BB1⊥AC，又AA1∥BB1，∴AA1⊥AC，∴△AA1C為直角三角形，∴.以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系B1xyz，如圖所示，則，可得．設(shè)平面A1FC的法向量為，則令y=1，則，∴．平面B1A1F的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角B1－A1F－C的平面角為θ，θ∈（0，π），可得，∴，故二面角B1－A1F－C的正弦值為．17．解（1），定義域?yàn)椋?，＋∞），，所以函數(shù)g（x）是（0，＋∞）上的減函數(shù)，而g（1）=0，所以函數(shù)g（x）的零點(diǎn)是1.（2）證明：由（1）可知，當(dāng)x>1時(shí)，g（x）<0，即，因此有，進(jìn)而有，當(dāng)k>0時(shí)，等價(jià)于，等價(jià)于，設(shè)三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為x0，所以當(dāng)x∈（x0，＋∞）時(shí)，恒有．18．解（1）圓B的圓心為，半徑為4，設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓B內(nèi)，如圖，則|PA|=R，|PB|=4－R，所以，即圓心P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即，故，則，所以曲線C的方程為.（2）存在常數(shù)m使得|QB|=m|QM|.理由如下：設(shè)Q（x0，y0），則，所以，|QM|=|x0－t|，假設(shè)存在常數(shù)m使得|QB|=m|QM|，則對(duì)于任意的x0∈[－2，2]恒成立，即對(duì)于任意的x0∈[－2，2]恒成立，所以．即存在常數(shù)使得|QB|=m|QM|，此時(shí)直線l的方程為.19．解（1）當(dāng)a=1時(shí)，，所以.記q（x）=ex－1－x，則q′（x）=ex－1－1，當(dāng)0<x<1時(shí)，q′（x）<0，q（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，q′（x）>0，q（x）單調(diào)遞增，所以q（x）≥q（1）=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，即ex－1－x≥0，所以x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（0，1）1（1，＋∞）f′（x）－0＋f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f（x）的極小值為f（1）=0，無極大值．（2），①當(dāng)a≤1時(shí)，由（1）可知，ex－1－x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號(hào)，所以當(dāng)x>0時(shí)，ex－1－ax≥ex－1－x≥0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，舍去．②當(dāng)a>1時(shí)，記r（x）=ex－1－ax，r′（x）=ex－1－a，所以當(dāng)0<x<lna＋1時(shí)，r′（x）<0，r（x）單調(diào)遞