（人教A版2019必修第一冊）高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練 5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第2課時：二倍角的正弦、余弦、正切公式）（精講）（原卷版+解析）

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第2課時：二倍角的正弦、余弦、正切公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：利用二倍角公式解決給角求值問題重點題型二：利用二倍角公式求角重點題型三：利用二倍角公式解決條件求值問題重點題型四：二倍角公式在三角形中的應(yīng)用重點題型五：二倍角公式與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③知識點二：降冪公式①②第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·四川成都·高一期末（文））（

）A． B． C． D．2．（2022·福建福州·高二期末）（

）A． B． C． D．3．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知，則_________.4．（2022·廣西貴港·高二期末（文））已知，則______.5．（2022·上?！つM預(yù)測）函數(shù)的周期為___________；第四部分：第四部分：典型例題剖析重點題型一：利用二倍角公式解決給角求值問題典型例題例題1．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高一期末）求值：_______．例題2．（多選）（2022·江蘇·興化市楚水實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）下列化簡結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．例題3．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）的值為（

）A． B． C． D．例題4．（2022·四川涼山·高一期中（理））求的值為（

）A． B． C． D．同類題型演練1．（2022·河南宋基信陽實驗中學(xué)高二階段練習(xí)（理））（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．3．（2022·河南鄭州·高二階段練習(xí)（理））（

）A． B． C． D．4．（2022·河南南陽·高一期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B．C． D．重點題型二：利用二倍角公式求角典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，為銳角，，．(1)求的值；(2)求的值．同類題型演練1．（2022·湖南岳陽·高一期末）已知，為銳角，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.重點題型三：利用二倍角公式解決條件求值問題典型例題例題1．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，且是第二象限角，則（

）A． B． C． D．例題2．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．例題3．（2022·北京·匯文中學(xué)高一期中）若，則（

）A． B． C． D．例題4．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則___________.例題5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知．(1)求的值；(2)求的值．同類題型演練1．（2022·貴州黔西·高二期末（文））已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·福建省詔安縣橋東中學(xué)高二期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·陜西·長安一中高一期末）若，則（

）A． B． C． D．4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一期中）已知，則__________.5．（2022·四川成都·高一期末（文））已知，則______．6．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知(1)求；(2)求的值.重點題型四：二倍角公式在三角形中的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高一單元測試）在中，，A．（1）求的值；（2）若，求的值．例題2．（2022·北京海淀·高一期末）底與腰（或腰與底）之比為黃金分割比的等腰三角形稱為黃金三角形，其中頂角為36°的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形．據(jù)此可得的值是（

）A． B． C． D．同類題型演練1．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二階段練習(xí)）公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派利用頂角為的等腰三角形研究黃金分割，如圖，在中，的角平分線交于，依此圖形可求得（

）A． B． C． D．重點題型五：二倍角公式與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合典型例題例題1．（2022·四川·成都外國語學(xué)校高一階段練習(xí)（理））十七世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過“幾何學(xué)里面有兩件寶，一個是勾股定理，一個是黃金分割，如果把勾股定理比作金礦的話，那么可以把黃金分割比作磚石”，黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形），如圖所示的五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，在其中一個黃金中，，根據(jù)這些信息可得（

）A． B．C． D．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值為（

）A． B． C． D．同類題型演練1．（2022·陜西漢中·高一期末）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sin表示．若實數(shù)n滿足，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．2．（2022·遼寧營口·高一期末）被譽(yù)為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用．0.618就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成2sin18°，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．第五部分：高第五部分：高考（模擬）題體驗1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知是角的終邊上一點，則（

）A． B． C． D．2．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，則__________．3．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，則_________.4．（2022·浙江·三模）已知，則__________，__________．5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第2課時：二倍角的正弦、余弦、正切公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：利用二倍角公式解決給角求值問題重點題型二：利用二倍角公式求角重點題型三：利用二倍角公式解決條件求值問題重點題型四：二倍角公式在三角形中的應(yīng)用重點題型五：二倍角公式與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③知識點二：降冪公式①②第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·四川成都·高一期末（文））（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：.故選：D2．（2022·福建福州·高二期末）（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】故選：D.3．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知，則_________.【答案】【詳解】.故答案為：.4．（2022·廣西貴港·高二期末（文））已知，則______.【答案】【詳解】因為，所以，則.故答案為：5．（2022·上海·模擬預(yù)測）函數(shù)的周期為___________；【答案】【詳解】,所以的周期為：故答案為：.第四部分：第四部分：典型例題剖析重點題型一：利用二倍角公式解決給角求值問題典型例題例題1．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高一期末）求值：_______．【答案】【詳解】由題意得.故答案為：例題2．（多選）（2022·江蘇·興化市楚水實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）下列化簡結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD.例題3．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：；故選：A例題4．（2022·四川涼山·高一期中（理））求的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.同類題型演練1．（2022·河南宋基信陽實驗中學(xué)高二階段練習(xí)（理））（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由余弦的倍角公式，可得.故選：D.2．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A3．（2022·河南鄭州·高二階段練習(xí)（理））（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B4．（2022·河南南陽·高一期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】原式.故選：D.重點題型二：利用二倍角公式求角典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，為銳角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)(1)解：因為，所以.(2)解：因為，為銳角，且，可得，所以，,又由且，可得，，因為，為銳角，可得，所以．同類題型演練1．（2022·湖南岳陽·高一期末）已知，為銳角，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)；(2)；(3).(1);(2)因為為銳角，且，所以，，所以.(3)由知，，因為，為銳角，，所以，，又，為銳角，∴，故.重點題型三：利用二倍角公式解決條件求值問題典型例題例題1．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，且是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，則．故選：B例題2．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】,解得故選：C例題3．（2022·北京·匯文中學(xué)高一期中）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】兩邊平方得：，解得：故選：B例題4．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則___________.【答案】【詳解】.故答案為：.例題5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)（1）因為，，且，得，，，，，從而．（2）．同類題型演練1．（2022·貴州黔西·高二期末（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為，所以.故選：C.2．（2022·福建省詔安縣橋東中學(xué)高二期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】平方得：，即，解得：故選：A3．（2022·陜西·長安一中高一期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，顯然，故，故選：A4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一期中）已知，則__________.【答案】【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，，即所以，故答案為：.5．（2022·四川成都·高一期末（文））已知，則______．【答案】【詳解】因，所以故答案為：6．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知(1)求；(2)求的值.【答案】(1)；(2).（1）由，所以；（2）重點題型四：二倍角公式在三角形中的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高一單元測試）在中，，A．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由，，則，所以．（2）由，則為銳角，又，所以，所以．例題2．（2022·北京海淀·高一期末）底與腰（或腰與底）之比為黃金分割比的等腰三角形稱為黃金三角形，其中頂角為36°的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形．據(jù)此可得的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，為一個黃金三角形，其中，為的中點，根據(jù)題意可知，則，即，又，則，解得，所以.故選：B.同類題型演練1．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二階段練習(xí)）公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派利用頂角為的等腰三角形研究黃金分割，如圖，在中，的角平分線交于，依此圖形可求得（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，故，設(shè)，，由，.故選：D.重點題型五：二倍角公式與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合典型例題例題1．（2022·四川·成都外國語學(xué)校高一階段練習(xí)（理））十七世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過“幾何學(xué)里面有兩件寶，一個是勾股定理，一個是黃金分割，如果把勾股定理比作金礦的話，那么可以把黃金分割比作磚石”，黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形），如圖所示的五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，在其中一個黃金中，，根據(jù)這些信息可得（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】取BC的中點D，連接AD，則由三線合一知：，且，，由余弦的二倍角公式得：.故選：A例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意大正方形邊長為5，小正方形邊長為1，所以，又，且