二項分布與poission分布

第一節(jié)二項分布Binomialdistribution2/12/20241第五章常用概率分布(二)二項分布(binomialdistribution)的引入在隨機現(xiàn)象中，最例如：藥物毒理實驗（生存、死亡）新藥療效（有效、無效）生化檢測（陽性、陰性）、調(diào)查疾病情況（患病、未患病）描述這類問題，常用離散型隨機變量的分布—二項分布2/12/20242第五章常用概率分布(二)摸球?qū)嶒炓粋€袋子里有5個乒乓球，其中2個黃球，3個白球。摸球游戲，每一次摸到黃球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。這個實驗有三個特點：一是各次摸球是彼此獨立的；二是每次摸球只有二種可能的結(jié)果，或黃球或白球；三是每次摸到黃球（或摸到白球）的概率是固定的。具備這三點，

n次中有x次摸到黃球（或白球）的概率分布就是二項分布。2/12/20243第五章常用概率分布(二)二項分布(binomialdistribution)的定義Bernoulli試驗：只有兩個互斥結(jié)果A和的隨機事件。n次獨立、重復(fù)的Bernoulli試驗需滿足下列條件每次試驗只有兩個互斥的結(jié)果獨立：指各次試驗出現(xiàn)的結(jié)果之間是無關(guān)的重復(fù)：每次試驗的條件不變2/12/20244第五章常用概率分布(二)二項分布(binomialdistribution)的定義任意一次試驗中，只有事件A發(fā)生和不發(fā)生兩種結(jié)果，發(fā)生和不發(fā)生的概率分別是：

和1－

若在相同的條件下，進行n次獨立重復(fù)試驗，用x表示這n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)那么x服從二項分布，記做x～B(n，

)，也叫Bernolli分布。2/12/20245第五章常用概率分布(二)二項分布(binomialdistribution)例5-1用針灸治療頭痛，假定結(jié)果不是有效就是無效，每一例有效的概率為π。某醫(yī)生用此方法治療頭痛患者5例，2例有效的概率是多少？

2/12/20246第五章常用概率分布(二)二項分布(binomialdistribution)的概念如果每個觀察對象陽性結(jié)果的發(fā)生概率均為

，陰性結(jié)果的發(fā)生概率均為（1－

）；而且各個觀察對象的結(jié)果是相互獨立的，那么，重復(fù)觀察n個人，發(fā)生陽性結(jié)果的人數(shù)X的概率分布為二項分布，記作B（n，π）。二項分布的概率函數(shù)P(X)

公式為2/12/20247第五章常用概率分布(二)二項分布(binomialdistribution)的概念臨床上用針灸治療某型頭痛，有效的概率為60%，現(xiàn)以該法治療3例，其中2例有效的概率是多大？本例

=0.6，隨機治療3例，有效例數(shù)為2的概率為

表1治療3例可能的有效例數(shù)及其概率有效人數(shù)(x)Cnx

x(1－

)n-x出現(xiàn)該結(jié)果概率P(x)010.60=10.4×0.4×0.40.064130.60.4×0.40.288230.6×0.60.40.432310.6×0.6×0.60.400.2162/12/20248第五章常用概率分布(二)二項分布如果隨機變量Ｘ服從二項分布，記為：恒有2/12/20249第五章常用概率分布(二)二、二項分布的適用條件每次實驗只會出現(xiàn)兩種對立的可能結(jié)果之一

（結(jié)果對立）每次實驗出現(xiàn)某種結(jié)果的概率固定不變，即每次實驗條件不變；

（概率固定）每次實驗相互獨立

（相互獨立）2/12/202410第五章常用概率分布(二)三、二項分布的特征二項分布的圖形：取決于兩個參數(shù)（n，π)π=0.5時（n=6，n=10，n=15，n=20，n=50）

2/12/202411第五章常用概率分布(二)三、二項分布的特征二項分布的圖形：取決于兩個參數(shù)（n,π)π≠0.5時（0.2，n=6，n=10，n=15，n=20，n=30，

n=50

）2/12/202412第五章常用概率分布(二)三、二項分布的特征二項分布的正態(tài)近似性條件n較大,π不接近0也不接近1時(nπ和n(1-π)均≥5)Ｘ～Ｂ（n，π）近似正態(tài)分布N(nπ,nπ(1-π))可利用正態(tài)分布原理解決二項分布的問題2/12/202413第五章常用概率分布(二)三、二項分布的特征二項分布的均數(shù)和標準差若x～Ｂ（n，π）Ｘ的總體均數(shù)為：μ=nπＸ的總體方差為σ2=nπ(1-π)Ｘ的總體標準差為2/12/202414第五章常用概率分布(二)三、二項分布的特征二項分布的均數(shù)和標準差若x～Ｂ（n，π）若以p表示陽性率，則p的取值可為0、1/n、2/n、…、k/n、…、n/n,則樣本率p的總體均數(shù)為樣本率p的總體方差為樣本率p的總體標準差為2/12/202415第五章常用概率分布(二)四、二項分布的應(yīng)用Ｘ～Ｂ（ｎ，π），計算恰有k例“陽性”的概率：例5-3如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當(dāng)?shù)?50人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大？2/12/202416第五章常用概率分布(二)四、二項分布的應(yīng)用Ｘ～Ｂ（ｎ，π）,

計算累積概率出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)至多為k次的概率出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)至少為k次的概率2/12/202417第五章常用概率分布(二)二項分布根據(jù)公式（4-10）至多有2名感染鉤蟲的概率為至少有2名感染鉤蟲的概率為2/12/202418第五章常用概率分布(二)四、二項分布的應(yīng)用當(dāng)n相當(dāng)大時，只要p不太靠近0或1，特別是當(dāng)nπ和n(1－π)都大于5時，二項分布B（n，π）近似正態(tài)分布。(a)k(b)kk-0.5k+0.5(c)kk-0.5k+0.5

圖

二項分布連續(xù)性校正和正態(tài)近似示意圖（a）概率函數(shù)直條圖；（b）連續(xù)性校正直方圖；（c）正態(tài)近似圖2/12/202419第五章常用概率分布(二)四、二項分布的應(yīng)用利用二項分布的正態(tài)近似性條件，可簡化計算2/12/202420第五章常用概率分布(二)四、二項分布的應(yīng)用二項分布的實際應(yīng)用廣泛：預(yù)測、管理決策、疾病的家族聚集性等例：新生兒窒息在非順產(chǎn)嬰兒中會經(jīng)常出現(xiàn)。據(jù)北京幾家醫(yī)院的記載，1070例住院新生兒中有107例發(fā)生新生兒窒息。搶救新生兒需要長時間使用呼吸機。如果一家醫(yī)院每天平均接受10名新生兒，那么該醫(yī)院需準備多少臺呼吸機，才能保證90％以上的概率夠用？2/12/202421第五章常用概率分布(二)四、二項分布的應(yīng)用例：現(xiàn)用同類設(shè)備300臺，各臺設(shè)備工作是相互獨立的，且發(fā)生故障的概率都為0.01，在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理。問至少需要配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時能及時維修的概率大于0.99？2/12/202422第五章常用概率分布(二)第二節(jié)Poisson分布Poisson分布的概念Poisson分布的適用條件Poisson分布的特征Poisson分布的應(yīng)用2/12/202423第五章常用概率分布(二)一、Poisson分布的概念Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述單位時間、面積、空間范圍內(nèi)某種罕見事件的發(fā)生數(shù)。Poisson分布的概念（Poisson

distribution):若隨機變量Ｘ在單位時間、面積、空間發(fā)生0、1、2、…、k、…次的概率為：則稱隨機變量Ｘ服從以λ為參數(shù)的Poisson分布,記為Ｘ～P(λ)或Ｘ～Π(λ)2/12/202424第五章常用概率分布(二)一、Poisson分布的概念單位時間、單位空間內(nèi)某事件的發(fā)生數(shù)單位人群（較大）中某稀有事件的發(fā)生數(shù)放射性物質(zhì)每分鐘放射的脈沖數(shù)每ml水中大腸菌群數(shù)、每升空氣中粉塵數(shù)、每1萬個細胞中有多少個發(fā)生突變某地每天的交通事故數(shù)、某工礦企業(yè)每天的工傷人數(shù)足球比賽每場的進球數(shù)生物：每平方公里有多少植物2/12/202425第五章常用概率分布(二)二、Poisson分布的適用條件結(jié)果對立概率固定相互獨立Poisson分布還要求

或（1－

）接近于0或1（例如<0.001或>0.999）Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率

（或未發(fā)生的概率1－

）很小，而觀察例數(shù)n很大時的二項分布

2/12/202426第五章常用概率分布(二)二、Poisson分布的適用條件醫(yī)學(xué)現(xiàn)象中，服從Poisson分布：單位時間接受到的放射性物質(zhì)的發(fā)射線數(shù)；在單位容積水中大腸桿菌的數(shù)量粉塵在單位空間的分布一定的大人群中某種非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)野外單位空間中某種昆蟲數(shù)或野生動物數(shù)2/12/202427第五章常用概率分布(二)二、Poisson分布的適用條件醫(yī)學(xué)現(xiàn)象中，不服從Poisson分布：在單位容積牛奶中的細菌數(shù)丁螺在繁殖期成窩狀分布傳染性疾病在人群中的分布2/12/202428第五章常用概率分布(二)三、Poisson分布的圖形特征Poisson分布的圖形取決于參數(shù)λ2/12/202429第五章常用概率分布(二)三、Poisson分布的圖形特征Poisson分布的圖形取決于參數(shù)λ2/12/202430第五章常用概率分布(二)三、Poisson分布的圖形特征Poisson分布的圖形取決于參數(shù)λ2/12/202431第五章常用概率分布(二)四、Poisson分布的特征Poisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等即λ=σ2利用此特征，判斷某種未知分布是否服從Poisson分布當(dāng)λ≥20時，Poisson分布近似正態(tài)分布N(λ,λ)

利用正態(tài)分布原理解決Poisson分布問題

2/12/202432第五章常用概率分布(二)四、Poisson分布的特征Poisson分布具有可加性：以較小的度量單位，觀察某一現(xiàn)象的發(fā)生數(shù)時，如果它呈Poisson分布，那么把若干個小單位合并為一個大單位后，其總計數(shù)亦呈Poisson分布?？杉有允纠?已知某放射性物質(zhì)每10分鐘放射脈沖數(shù)呈Poisson分布，5次測量的結(jié)果，分別為35、34、36、38、34次，那么50分鐘放射脈沖數(shù)(總計為177次)亦呈一Poisson分布。因此

Poisson分布資料可利用可加性原理使

≥50，然后用正態(tài)近似法處理之。

2/12/202433第五章常用概率分布(二)四、Poisson分布的特征Poisson分布是二項分布的極限形式二項分布中，當(dāng)

很小，比如

<0.05，而n很大，二項分布逼近Poisson分布。且：其中

=n

。n愈大，近似程度愈好。如果某些現(xiàn)象的發(fā)生率

甚少，而樣本例數(shù)n甚多時，二項分布常用Poisson分布來簡化運算。

2/12/202434第五章常用概率分布(二)四、Poisson分布的特征Poisson分布遞推公式

2/12/202435第五章常用概率分布(二)五、Poisson分布的應(yīng)用Ｘ～P(λ)，計算恰有ｋ例罕見事件發(fā)生的概率據(jù)以往經(jīng)驗，新生兒染色體異常率為1%，試用Poisson分布的原