北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義

整式乘法

拿大腦體量）

拿作業(yè)完成情況）

拿教學(xué)目標(biāo)）

1、掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的算理。

2、掌握積的乘方、哥的乘方等單項(xiàng)式乘法公式。

3、靈活運(yùn)用公式，簡(jiǎn)化計(jì)算。

拿趣味引元）

爭(zhēng)知識(shí)梳理）

1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，利用乘法交換律和結(jié)合律，把它們的系數(shù)、相同字母的哥分別相

乘，其余的字母連同它的指數(shù)不變，一起作為積的因式.

注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式，實(shí)際上是運(yùn)用了乘法結(jié)合律和同底數(shù)的幕的運(yùn)算法則完成的。

2、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)乘法分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)

式與單項(xiàng)式的乘法，然后再把所得的積相加.

3、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把

所得的積相加.

方法總結(jié)：在探究多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，是把某一個(gè)多項(xiàng)式看成一個(gè)整體，利用分配律

進(jìn)行計(jì)算，這里再一次說明了整體性思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

4、幕的運(yùn)算法則:

①同底數(shù)的募相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

_mon_cin+n

即：a-a=a(m,n為正整數(shù))

②箱的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

/cm、n八

BP：(a；=a(m、n為正整數(shù))

③積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

即：(a，b)=a-b行為正整數(shù))

④同底數(shù)的暴相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

m.小門一~m-n

a-a—CL(m>n,m>n為正整數(shù))

5、乘法的運(yùn)算律：

①乘法的結(jié)合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

②乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac

至典例講豆

1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，利用乘法交換律和結(jié)合律，把它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相

乘，其余的字母連同它的指數(shù)不變，一起作為積的因式.

注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式，實(shí)際上是運(yùn)用了乘法結(jié)合律和同底數(shù)的塞的運(yùn)算法則完成的。

【例1】計(jì)算:

2351

(1)(2xy)?(3Xy);(2)(-2ab)?(-3a);(3)(4X10)?(5X10);

練1、(-3aV)2?(-a:,b2)5

練2、(--a2bc'!),(—2c5),(1ab2c).

343

【例2】一種電子計(jì)算機(jī)每秒可做4X10,次運(yùn)算，它工作5X102秒，可做多少次運(yùn)算？

練4、下列計(jì)算正確的是()

A.3a2?2a2=5a2B.2a2?3a2=6a2

C.3a?4bJ12a2b2D.3a3?4a=12a12

練5、下列計(jì)算正確的是()

A.5y?4yx2=9x3y3

B.(-2xVz)(-4x"iy"T)=8x""產(chǎn)3

C.Lxy；(-xy)--xy

D.(-7ab3)(5ab2c)=-2abec

m

練6、若(a"bab)%用，則3m(n+l)的值為()

A.15B.8C.12D.10

2、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

【例3】計(jì)算：

222

(1)2ab(5ab+3ab);(2)(2ab-2ab)?lab;

32

(3)—6x(x—3y);(4)-2a2(lab+b2).

2

練7、計(jì)算：(-3x2+2x-6)%叫.

練8、計(jì)算：(3。/—4〃/)xl2a8

答案：^x3y2-^x2y2+xy236a3b2-4Sa2b3

【例4】計(jì)算：6mn2(2—1mn1)+(—1mn3)2.

32

分析：在混合運(yùn)算中，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng).

解：原式二61111?X2+6mn'?(—1mn1)+lm2n6

34

=12mn2-2m2n6+1m2n6

4

=12mn2-Zm2nb

4

m1

練9、計(jì)算(a'"?+a\a+3〃+加

練10、計(jì)算(J)+%.卜2-冗5)

【例5】(2015年雅禮中學(xué)期中)已知abJ—6,求一ab(a2b5—ab3—b)的值.

練11、(2015年南京金陵匯文中學(xué)期中)若(am+,bn+2)?(a2n1-b2")=a5-一則m+n的

值為()

A.1B.2C.3D.-3

3、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

【例6】計(jì)算：

(1)(1-x)(0.6—x)(2)(2x+y)(x—y)(3)(x-y)2

(4)(-2x+3)2(5)(x+2)(y+3)一(x+1)(y-2).

練12、計(jì)算：(1)(m+2n)(m—2n);(2)(2n+5)(n—3);

(3)(x+2y)(4)(ax+b)(cx+d).

想一想：由計(jì)算得到27X23=621,發(fā)現(xiàn)積的末兩位上的數(shù)21=7X3,前面的數(shù)6=2X(2+l).

換兩個(gè)數(shù)84X86=7224同樣具有這一特點(diǎn)，于是我們猜想：十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和

為10的兩位數(shù)的積是否也有這樣的規(guī)律？

【例7】計(jì)算：(1)32X38(2)54X56(3)73X77

4、綜合應(yīng)用

【例8】(2015年上海閔行二中期中)規(guī)律探索題

(1)研究下列等式：

①1X3+1=4=22;

②2X4+1=9=32;

③3X5+1=16=4,;

④4X6+1=25=5?…

你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，找出表示第n個(gè)等式的公式并證明.

(2)計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

(X—1)(x+1)=.

(x-1)(x2+x+l)=.

(X—1)(x3+x2+x+l)=.

(X—1)(xl+x3+x2+x+l)=.

(X—1)(x"+x"—1+…+x+l)=.

(3)已知A=987654321X123456789,B=987654322X123456788.

試比較A、B的大小.

拿當(dāng)堂檢測(cè))

1,下列各式計(jì)算正確的是()

(A)(-3?2^)(-2^2)=6aV(B)(-2X102)X(6X103)=-1-2X105

22322236

(C)-2a(^ab-b]=-ab-2ab(D)(-abJ=-ab

2.若X3y"l.x"，+"y2"+2=x9y9,則3m.4〃的值為()

(A)3(B)4(C)5(D)6

3.若(工+3)(工+加)=/+履-15,則A+根的值為()

(A)-7(B)5(C)_2(D)2

4.化簡(jiǎn)由-2/工-3)-3(/+2)的結(jié)果是()

(A)J\x(B)-1lx?6工2-81+12⑺)/_]

5.(2015重慶巴蜀中學(xué)期中)如圖是長(zhǎng)10cm,寬6cm的長(zhǎng)方形，在四個(gè)角剪去4個(gè)邊長(zhǎng)

為xcm的小正方形，按折痕做一個(gè)有底無蓋的長(zhǎng)方體盒子，這個(gè)盒子的容積是()

U——U

6』：

10

(A)(6-2或10-21)⑻工(6-斕1。-%)

(C)%(6-2^X10-2x)(D)尤(6-2x)(10-x)

6.若(ax-〃)(3x+4)=+cx+72，則3+b)x(-c)的值為()

(A)36(B)72(C)108(D)720

7.已知/+Q—3=O,那么/(a+4)的值是()

(A)9(B)_|2(C)-15(D)—18

8.將(1)中的梯形沿虛線剪開，拼成一個(gè)缺角的正方形，如圖(2)所示.根據(jù)這兩個(gè)圖

形的面積關(guān)系，下列式子成立的是()

(A)[a+b^a-b)=a2-b2⑻a2+2ab+b2=(tz+Z?)2

(C)a~-2ab+b2=(a-bf(D)(tz-Z?)2=a2-b2

b

⑵

爭(zhēng)當(dāng)堂總固

至家庭作為

9.若單項(xiàng)式_6x2y'"與」x"Ty3是同類項(xiàng)，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是.

"3"

10.己知=一3，則一-a/-b）=-----

1L若/+a+i=2，貝1」（5—4[6+。）=------

12.（2015年河師大附中學(xué)期中）觀察下列等式：lx（l+2）=『+2xl，

2x（2+2）=2?+2x2,3x（3+2）=3?+2x3，……，則第〃個(gè)等式可以表示為

13.一個(gè)多項(xiàng)式除以2/_卜商式為％_2,余式為x—l則這個(gè)多項(xiàng)式是.

14.已知位+”尤+8）（/-3x+q）展開后不含/與/的項(xiàng)，則?=--，q=-------

15.數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對(duì)(。力)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的數(shù):

(a—1)(〃一2)?現(xiàn)將數(shù)對(duì)(加,1)放入其中得到數(shù)“，再將數(shù)對(duì)(〃/w)放入其中后,得到的數(shù)

是.

16.已知Ikn?的土地上，一年內(nèi)從太陽(yáng)得到的能量相當(dāng)于燃燒1.3X10*km?煤所產(chǎn)生的

能量，那么我國(guó)9.6X10"km2的土地上，一年內(nèi)從太陽(yáng)得到的能量相當(dāng)于燃燒煤千克.

17.計(jì)算：(1)5加卜白從)卜|加,

⑵x(x-iXx+3)-x2(x+1)+3x-1

18.先化簡(jiǎn)下面的代數(shù)式，再求值：(a+2)(a—2)+a(4—a)，其中a=?+l?

19.解方程組：卜+5)。—4)="

3x-2y=-1

20.下面是小明和小紅的一段對(duì)話：

小明說：“我發(fā)現(xiàn)，對(duì)于代數(shù)式(x—l)(3x+2)-3x(x+3)+10x，當(dāng)尤=2008和

x=2009時(shí)，值居然是相等的

小紅說：“不可能，對(duì)于不同的值，應(yīng)該有不同的結(jié)果.”

在此問題中，你認(rèn)為誰(shuí)說的對(duì)呢？說明你的理由.

21.已知4=(2x+l)(x_l)_x(l_3y)，B=-x2+xy-\f且3A+6B的值與x無關(guān)，

求y的值.

乘法公式

至大腦體豆

學(xué)作業(yè)完成哂

學(xué)教學(xué)目豆

1、會(huì)用平方差公式(a+b)(a—?=進(jìn)行計(jì)算；

2、會(huì)用完全平方公式(。±切=/±2出?+〃進(jìn)行計(jì)算；

3、乘法公式的正向、逆向的靈活應(yīng)用.

拿趣味引元)

金知識(shí)梳理)

1.平方差公式

______________________________________________，這個(gè)公式叫做(乘法的)平方

差公式.

形如a+8的多項(xiàng)式與形如。一人的多項(xiàng)式相乘，由于

(a+b)(a—b)—ci~—uh+ab—h~~G~一h~,

所以對(duì)于具有與此相同形式的多項(xiàng)式相乘，可以直接寫出計(jì)算結(jié)果，即

(a+b)(a-b)=a2-b2.

2.平方差公式

__________________________________________，這個(gè)公式叫做(乘法的)平方

差公式.

形如(〃±。)2的多項(xiàng)式相乘，由于

(。+〃)2=(a+b)(a-b)=a2+ab+ab^-b2=a2+lab+b2,

3-b)2=(Q—b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,

所以對(duì)于具有與此相同形式的多項(xiàng)式相乘，可以直接寫出計(jì)算結(jié)果，即

(a+b)2=/+2ab+b2,

(a-b)2=a2-lab+b2.

3.添括號(hào)法則

乘法公式計(jì)算時(shí)，去括號(hào)法則，即

4+(/7+。)=。+/?+。；

a-(b+c)=a-b-c.

反過來，就得到添括號(hào)法則：

Q+Z?+C=Q+S+C)；

Q-h—c—ci—(b+c).

也就是說，添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都符號(hào);

如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都______符號(hào).

爭(zhēng)典例講組)

1、運(yùn)用平方差公式計(jì)算

【例1】(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(a+2b+3c)(a-2b-3c)

練1.已知-y2=3,求(x+y)“x-y)2的值.

2.利用平方差公式巧算

［例2］計(jì)算102X98.

練2.計(jì)算1OOLX99，

22

4

練3.計(jì)算(x+1)(/+l)(x-l)(x+1)

練4.(2015秋?岳麓區(qū)月考)計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1.

3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算

【例3】計(jì)算(1)(4/w+n)2；(2)(x+2y-3)(x-2y+3)

練6.若9/+4卜2=(3%+2歷2+加，則知為()

A.6xyB.-6xyC.\2xyD.-12xy

練7.(2015秋?啟東市期中)計(jì)算(2。+6-eV.

4.利用完全平方公式巧算

【例4】計(jì)算1022.

練8.若。+'=5,則〃+與的結(jié)果是

a礦

練9.(2014秋?濟(jì)南市期末)計(jì)算(。+1>(a—1y(6+1)2.

5.先化簡(jiǎn)再求值

11

【例5】計(jì)算4(〃?+〃尸-4(/〃+〃)(/〃一〃)+0—〃)2的值，其中/〃=一,〃=一

23

練10.當(dāng)a=l/=—2時(shí)，求[(a+^4+g—'份2](2〃一1。2)的值

222

練11.(2015秋?橋東區(qū)期末)若/+。4+“2〃=5,砧=2,求/+〃的值.

爭(zhēng)當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列各多項(xiàng)式相乘，可以利用平方差公式計(jì)算的是().

①{-2ab+5x)(-5x+2ab)②(一3%-y)(3x-y)

③(ab+c)(-ab-c)④(ax-y)(-ax-y)

A.?@B.②③C.③④D.@@

2.計(jì)算(3"2+，價(jià)(3/一_1?(9/+2_02)

224

3?計(jì)算(2a+3力(4a+56)(2。-3b)(4a-5b).

4.已知A=2x+y,3=2x—y,ii-MA2-B2.

5.求代數(shù)式(a+2b)(a—2b)+(a+2萬-一4出?的值，其中a=1乃=卡.

童當(dāng)堂總閱

爭(zhēng)家庭作證)

1.計(jì)算：(1)103X97(2)992

(3)2014-4028X2015+20152

2.計(jì)算：(5%-3)(5%+3)-3x(3%-7)

3.巧算：(1y)(1—-4-)(1--v),M(l----7)

22324220152

4.若x+y=-5,xy=6,則丁+丁=

5.計(jì)算(x-2y)2+2(x+2y)(x—2y)+(x+2y)2

6.計(jì)算：(a-b+cXa-b-c)

7.計(jì)算：(2?+1)2-(1-2G)2

8.解方程：（x——）2—（x+l）（x—1）=2

整式的除法

拿大腦體聚）

字作業(yè)完成情況）

童教學(xué)目豆

1.掌握化簡(jiǎn)約分的基本方法和計(jì)算；

2.掌握整式除法公式和計(jì)算；

3.會(huì)理解運(yùn)用一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

拿趣味引元）

爭(zhēng)知識(shí)梳理）

1.同底數(shù)幕的除法

同底數(shù)幕相除，不變，指數(shù)。

公式表示為：a"+a"=a""~"[a0,m、〃是正整數(shù)，且加＞〃）。

2.零指數(shù)幕的意義

任何不等于0的數(shù)的。次幕都等于1。用公式表示為：.

3.負(fù)整數(shù)指數(shù)事的意義

任何不等于0的數(shù)的-n（n是正整數(shù)）次幕，等于這個(gè)數(shù)的n次幕的倒數(shù)，用公式表示為

a-"=1（a/0,n是正整數(shù)）

a"

注意點(diǎn)：

（1）底數(shù)a不能為0,若a為0,則除數(shù)為0,除法就沒有意義了；

⑵（a#0,，w、〃是正整數(shù)，且加＞〃）是法則的一部分，不要漏掉；

（3）只要底數(shù)不為0,則任何數(shù)的零次方都等于1；

4.整式的除法

(1)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則

①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)暴分別相除后，

作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)

因式。

②根據(jù)法則可知，單項(xiàng)式相除與單項(xiàng)式相乘計(jì)算方法類似，也是分成系數(shù).相同字母與

不相同字母三部分分別進(jìn)行考慮。

(2)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則

①多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的..分別

除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，注意多項(xiàng)式各項(xiàng)都包括前面的符號(hào)。

典例講練)

1.同底數(shù)塞的除法

【例1】a6-a2-r(—a2)3=..

【解析】上面兩個(gè)式子均是同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算，首先我們根據(jù)同級(jí)運(yùn)算的順序，然后

在依據(jù)同底數(shù)事的計(jì)算法則計(jì)算即可。

【答案】一a?

練習(xí)1.下列計(jì)算正確的是()

Ax2(m+1).x"4]—x2B.(xy)8-r(xy)4—(xy)2

C.X10-r(X7-rX2)=X5D.x4n-rx2n-x2n=l

練習(xí)2.m8+m8

練習(xí)3.下列算式中，正確的是()

、

A.(a2b3)5+(ab2)10=ab5B.(,一1)=—1—=-1

3329

C.(0.00001)°=(9999)0D.3.24xl04=0.0000324

2.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

13433

[例2]-xyz-^(-xyz)

【解析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則運(yùn)算即可。

【答案】原式=$§工yz=gXy

練習(xí)4.28x4y2-r7x3y

練習(xí)5?3abiaC

oZ

3.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

rtalnl/36363495、33

【例3](--axx_歷〃x

r依小、nsj36333634339533

【答案】原式=-^4xx+gaxx_75Qxx

55c232

=-4?+2ax

練習(xí)6.[2m(7n3m3)2+28m7n3—21m5n3]-r(-7m5n3).

練習(xí)7-1(—3fy4)=.2x(3x2y2)Ry"￡y8

4,利用公式的除法運(yùn)算

【例4][(a—b)(a+b)]24-(a2—2ab+b2)—2ab.

【解析】利用積的乘方等于乘方的積和完全平方和整式的除法公式計(jì)算即可。

【答案】原式=(a—b)2(c+b)2+(a—b)2—2ab=a2+b2.

練習(xí)8.[(m+n)(m—n)—(m—n)2+2n(m—n)]-r4n.

練習(xí)9.[(m+n—p)(m+p+n)—(m+n)2]4-(—p).

5,整式除法的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例5】已知9m+32m+2=(；)1求n的值.

【解析】先把32m+2化為底數(shù)為9的基，再根據(jù)同底數(shù)幕的除法運(yùn)算法則計(jì)算，最后比

較指數(shù)的值即可.

【答案】解：：32m+2=(32)m+l=9m+l

.-,9m4-3m+2=9m-i-9m+'=9'=-=(-)2

93

n=2

練習(xí)10.已知3m=6,9"=2,求32mf+i的值.

練習(xí)11.若2X=3,2，=6,2Z=12,求x,y,z之間的數(shù)量關(guān)系.

【例6】若m.n為正整數(shù)，(_12j+求m.n的值.

【解析】先計(jì)算乘方，再根據(jù)同底數(shù)器的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減計(jì)算除法求解即可.

【答案】解：原式可轉(zhuǎn)化為：x44-xm-xn=x

即X4"n=x

：m.n為正整數(shù)

:.當(dāng)m=l時(shí),n=2

當(dāng)m=2時(shí),n=l

故答案為：m=l,n=2；或m=2,n=l

練習(xí)12.已知10m=3,10n=2,求102mn的值.

練習(xí)13.已知32m=6,9n=8,求36m—4n的值.

爭(zhēng)當(dāng)堂檢胡

1.4x4y24-(-2xy)2=.

oz-424^1132I

2?-oxyz"I--xyzI=.

3.2(-a2)3-ra3=.

4.-r5x2y=5xy2.

5ym+2n+6=ym+2.

6.4-(-5my2z)=-m2y3z4.

7.(16a3-24a2H-8a2)=.

8.(m+n)2(m-n)-r(m+n)2=

7m^ni

9.m是奇數(shù),

(-42)m

10.(-8x4y+12x3y2-4x2y3)4-(^x2Y)=.

11.(a+b)(a-b)(a4+a2b2+b4)-r(b6-a6)=

12.21a84-7a2=()

A.7a4B.3a6C.3a10D.3a16.

13.x9y3-rx6y2=()

A.x3yB.x3y3C.x3y2D.x3.

14.28a4b2v7a3b=()

A.4ab2B.4a4bC.4a4b2D.4ab.

15.-4x4y2z2^(——x3yz)=()

2

A.8xyzB.-8xyzC.2xyzD.8xy2z2

多當(dāng)堂總結(jié)）

爭(zhēng)家庭作誣

1.(1)6x2+(_2x)=.

(2)8x6y4z-r=4x2y2.

2

(3)(yxy2-4x3y2)+(-2xy2)=.

(4)(5a3b2+10a2b3)+=a+2b.

(5)()-r(3a2b3)=2a3b2-a2b+3.

(6)[6a2b2++]-r=3a+b-l.

2.下列計(jì)算，結(jié)果正確的是()

A.8x6-r2x2=4x3B.10X64-5X3=—x3

2

C.(-2x2y2)34-(-xy)3=-2x3y3D.(-xy2)2-r(-x2y)=-y3

3.若xmyn-r；x3y=4x2則()

A.m=6,n=lB.m=5,n=l

C.m=5,n=0D.m=6,n=0

4.計(jì)算正確的是()

A.(9x4y3-12x3y4)-i-3x3y2=3xy-4xy2

B.(28a3-14a2+7a)4-7a=4a2-2a+7a

7

C.(-4a3+12a2b-7a3b2)+(-4a2)=a-3b+—ab2

4

D.(25x2+15x2y-20x4)+(-5x2)=-5-3xy+4x2

5.(IO2)3X1044-(-103)3.

6.[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]+4y.

相交線與平行線

多大腦體操）

多作業(yè)完成情況）

學(xué)教學(xué)目標(biāo)）

1.掌握對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念；

2.掌握垂線段的定義及其畫法；

3.掌握三線八角的定義和找法；

4.掌握平行線的性質(zhì)與判定.

多趣味引入）

學(xué)知識(shí)梳重）

（1）相交線

（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有和。

（2）相交：在同一平面內(nèi)，有的兩條直線稱為相交線。

（3）鄰補(bǔ)角：①定義：有公共頂點(diǎn)，且有一條公共邊，另一條邊互為反向延長(zhǎng)線,

具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角。

②性質(zhì)：位置一一互為鄰角數(shù)量一一互為補(bǔ)角（兩角之和為180。）

（4）對(duì)頂角：①定義：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且有一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩

邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角

②性質(zhì)：時(shí)頂角相等|幾何語(yǔ)言：?；N1+Z2=180。

Z2+Z3=180°

.zl=z3（同角的補(bǔ)角相等）

兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：

圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系

對(duì)頂角>4有公共頂點(diǎn)Z1的兩邊對(duì)頂角相等

與N2的兩邊互即N1=Z2

為反向延長(zhǎng)線

N1與N2

鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)Z3與N4Z3+Z4=18

有一條邊公共，0°

/另一邊互為反向

N3與N4延長(zhǎng)線。

注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；

⑵如果Na與NB是對(duì)頂角，那么一定有Na=N0；反之如果/a=N。，那么Na與z。

不一定是對(duì)頂角

⑶如果Na與NB互為鄰補(bǔ)角，則一定有；反之如果Na+ZB=180。，則Na

與NP不一定是鄰補(bǔ)角。

(4)兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。

2.垂線

⑴定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂

直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做。

符號(hào)語(yǔ)言記作：如圖所示：ABXCD,垂足為0

⑵垂線性質(zhì)1:過一點(diǎn)一條直線與已知直線垂直。

(3)垂線性質(zhì)2:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱:

3.垂線的畫法：

⑴過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線：⑵過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。

注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點(diǎn)作線段的

垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。

P

ABABApB

畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在

它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。

4.點(diǎn)到直線的距離

A0

(1)定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的.

如圖，POJLAB,點(diǎn)P到直線AB的距離是P0的長(zhǎng)。P。是垂線段。

P0是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條。

(2)應(yīng)用：現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是"垂線段最短"性質(zhì)的應(yīng)用。

5.，，垂線，，、，，垂線段，，、，，兩點(diǎn)間距離，，、，，點(diǎn)到直線的距離，，聯(lián)系與區(qū)別

⑴垂線與垂線段的區(qū)別：區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，

可以度量長(zhǎng)度。

聯(lián)系：具有垂直于己知直線的共同特征。（垂直的性質(zhì)）

⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距

離是點(diǎn)與直線之間。

聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)（即已知點(diǎn)與垂足）間距離。

⑶線段與距離距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等

同。

6.三線八角

兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。

如圖，直線被直線/所截

（1）N1與N5在截線/的同側(cè)，同在被截直線a,b的上方，\

叫做（位置相同）7^

（2）N5與N3在截線/的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線。力之間（內(nèi)），叫做

（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）

（3）N5與Z4在截線/的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做。

（4）三線八角也可以成模型中看出?同位角是"A"型；內(nèi)錯(cuò)角是"Z"型；同旁內(nèi)角是"U"

型。

學(xué)典例講組）

1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

【例1】（2015廣西柳州）如圖，圖中Na的度數(shù)等于（）

A.135°B.125°C.11500.

105°

【解析】此題考查鄰補(bǔ)角定義，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)解答即可.

解：Na的度數(shù)=180°-45°=135°.

【答案】A.

練習(xí)1.下列說法正確的有（）

①對(duì)頂角相等;②相等的角是對(duì)頂角;③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角;

④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

練習(xí)2.如圖所示，直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,NA0D的對(duì)頂角是,ZA0C

的鄰補(bǔ)角是:若NAOC=50。，則NB0D=，ZC0B=.

練習(xí)3.對(duì)頂角的性質(zhì)是.

練習(xí)4.如果CDXAB于點(diǎn)D,自CD上任一點(diǎn)向AB作垂線，那么所畫垂線均與CD重合,

這是因?yàn)?

練習(xí)5.如圖所示,LI,L"L3交于點(diǎn)0/1=Z2/3:Z1=8:1,求N4的度數(shù).（方程思想）

2.垂線段

【例2】畫NA=30。，在NA的兩邊上分別截取AC=40mm,AB=26mm,連結(jié)BC,過

C點(diǎn)分別畫CA,AB的垂線，畫B點(diǎn)到AC的垂線段，并量出C點(diǎn)到AB的距離和B點(diǎn)到AC

的距離.

【解析】根據(jù)題意作圖，再根據(jù)垂線段的定義，作出距離，量出線段長(zhǎng)度即可。

【答案】如圖，

C點(diǎn)至!jAB的距離CE=20mm,B點(diǎn)到AC的距離BF—13mm.

練習(xí)6.如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB；

B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC；

C.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段；

D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段.

A

BC

練習(xí)7.如圖所示，AD_LBD,BCJLCD,AB=a,BC=b,則BD的范圍是

理由是.

練習(xí)8.如圖，線段AB的長(zhǎng)是到的距離；點(diǎn)D到AB的距離是的長(zhǎng);

線段的長(zhǎng)是點(diǎn)B到AC的距離.

3.三線八角（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）

【例3】（2015?江蘇宿遷，第4題）如圖所示，直線a,b被直線c所截，N1與N2是

A.同位角B.內(nèi)錯(cuò)角C.同旁內(nèi)角D.鄰

【解析】根據(jù)三線八角的概念，以及同位角的定義作答即可.

解：如圖所示，N1和N2兩個(gè)角都在兩被截直線直線b和a同側(cè)，并且在第三條

直線c（截線）的同旁，故N1和N2是直線b、a被c所截而成的同位角.

【答案】A.

練習(xí)9.⑴如圖，ZA的同位角是,Z1的內(nèi)錯(cuò)角是,N2的

同旁內(nèi)角是.

⑵如圖所示，ZB與NCAD是由直線與直線被直線

所截得到的

D

練習(xí)10.如圖：(1)Z1和NB是由直線截直線和所成的角.

(2)Z2和NC是由直線截直線和____所成的角.

⑶NB和NC是由直線截直線和所成的角.

練習(xí)11.如圖，⑴NB、NEDB是直線和被直線所截得

(2)直線截直線和所得的NAFD和NC是角；

(3)與NCFD成內(nèi)錯(cuò)角的有；

⑷與N(:成同旁內(nèi)角的有個(gè)，它們是.

1.若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊互相垂直，則這兩個(gè)角.

2.已知點(diǎn)。，畫和點(diǎn)。的距離是3厘米的直線可以畫______條.

3.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，NCOB=30。，則N1=°

4.平面上三條直線兩兩相交最多能構(gòu)成對(duì)頂角的對(duì)數(shù)是.

5.下列說法正確的個(gè)數(shù)是()

①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角；

②對(duì)頂角的平分線在同一條直線上；

③如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，且角平分線互為反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角：

④兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的角相等，且一個(gè)角的一邊是另一個(gè)角一邊的反向延長(zhǎng)線，那么這

兩個(gè)角是對(duì)頂角.

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

6.如圖，直線AB、CD相交于。，OEA.CD,OF平分NBOC,NAOC=30。,

則NBOE=°,ZCOF=。，

ZEOF=°,ZAOE=

7.如圖，已知。4_L0B,OD±OC,則下列說法不正確的是（）

A.Z6OC=ZAOD

B.ZAOC+Z.BOD=180°

C.ZCOD與N4。8互補(bǔ)

D.ZCOB與NBOD相等

8.（2011?梧州）如圖,直線EO_LCD,垂足為點(diǎn)O,AB平分NEOD,則NBOD的度數(shù)為

（）

A.120°B.130°

9.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，作NDOE=NBOD，OF平分NAOE，若NAOC=28。，

則NEOF=度.

10.如圖，直線AB、CD被直線EF所截,

則N3的同旁內(nèi)角是（B）.

A.Z1B.Z2C.Z4D.Z5

11.下列說法中惜送的個(gè)數(shù)是（）

（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

（2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種。

（4）不相交的兩條直線叫做平行線。

（5）有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

12.如右圖所示，己知AC_LBC,CDLAB,垂足分別是C、D,那

么以下線段大小的比較必定成立的是（）

A.CD>ADB.AC<BC

C.BC>BDD.CD<BD

13.如圖，CDA.AB,垂足為D,AC1.BC,

線（或線段）距離的線段有（）

（A）1條（B）3條（C）5條（D）7條

14、如圖，ADWBC,點(diǎn)。在上,B。、CO分別平分NABC、ZDCB,

ZA+ND=m°.則/BOC=.

15、三條直線AB、CD、￡廠相交于點(diǎn)O,如圖⑦所示，NAOD的對(duì)頂角

是________,/尸08的對(duì)頂角是_________,NE08的鄰補(bǔ)角是_____________________。

拿當(dāng)堂總胤

家庭作前

1.如圖，三條直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)0,則NAOE+NDOB+NC0F='

2.（2015?柳州）如圖，在所標(biāo)識(shí)的角中，互為對(duì)頂角的兩個(gè)角是（）

A.N2和N3B.N1和N3C.N1和N4D.N1和N2

3.兩條相交直線所成的角中（）

A.必有一個(gè)鈍角B.必有一個(gè)銳角

C.必有一個(gè)不是鈍角D.必有兩個(gè)銳角

4.（2014?梧州）如圖，直線a、b相交，N1=65。，則N2的度數(shù)是'

5.如圖所示，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,已知NAOC=70。，OE把NBOD分成兩部分,

且NBOE:ZE0D=2:3,則NEOD=.

6,兩條直線相交于一點(diǎn)構(gòu)成對(duì)對(duì)頂角；三條直線相交于一點(diǎn)，構(gòu)成對(duì)對(duì)

頂角；n直線相交于一點(diǎn)，構(gòu)成對(duì)對(duì)頂角；100條直線相交于一點(diǎn)構(gòu)成對(duì)對(duì)頂

角.

7.平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是;平面上四條直線相互間的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

8.點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C為直線m上三點(diǎn)，PA=4cm,PB=5cm,PC=

2cm,則點(diǎn)P到直線m的距離為（）

A.4cmB.2cm

C.小于2cmD.不大于2cm

9.如圖，N1的同旁內(nèi)角有個(gè).

A

10.對(duì)于下圖，有以下判斷：①N1與N3是內(nèi)錯(cuò)角；②N2與Z3是內(nèi)錯(cuò)角；③N2

與N4罡是同旁內(nèi)角；④N2與N3是同位角.其中說法正確的有__________（填寫序號(hào)）.

11.如圖所示，能表示點(diǎn)到直線（線段）的距離的線段有____________條.

12.如圖，AC±BC,AC=9,BC=12,AB=15.

（1）試說出點(diǎn)A到直線BC的距離；點(diǎn)B到直線AC的距離;

（2）點(diǎn)C到直線AB的距離是多少？你是怎樣求得的？

13.如圖所示，li,L,b交于點(diǎn)0，N1=N2,Z3：Z1=8：1,求N4的度數(shù).

三角形

■大腦體壕）

爭(zhēng)作業(yè)完成情況）

拿教學(xué)目瓦

1.認(rèn)識(shí)三角形的概念及基本要素，并能用符號(hào)語(yǔ)言表示三角形及其基本要素教學(xué)難點(diǎn)；

2.能正確區(qū)分銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形；

3.理解三角形三邊之間的關(guān)系，并能用于解決相關(guān)的問題；提高自主探.究的能力，增強(qiáng)學(xué)

好數(shù)學(xué)的信心。

辨趣味引元）

爭(zhēng)知識(shí)梳直

1.三角形的定義：

由3條不在同一直線上的線段，首尾組成的封閉圖形稱為三角形。如下的圖形就是

一個(gè)三角形。

2.三角形的各組成部分：

（1）邊：組成三角形的三條線段如右所示：就是三角形