工程數(shù)學(xué)課件數(shù)值分析

工程數(shù)學(xué)課件數(shù)值分析目錄數(shù)值分析概述插值法函數(shù)逼近與擬合數(shù)值積分與微分線性方程組的直接解法非線性方程組的迭代解法數(shù)值分析概述01意義數(shù)值分析在科學(xué)技術(shù)和工程應(yīng)用中具有重要地位，它提供了各種有效的數(shù)值計(jì)算方法，使得人們能夠利用計(jì)算機(jī)快速、準(zhǔn)確地求解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，為科學(xué)研究和工程實(shí)踐提供了強(qiáng)有力的支持。定義數(shù)值分析是研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論的學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。數(shù)值分析的定義與意義研究如何有效地求解各種類型的線性與非線性方程（組），包括代數(shù)方程、超越方程、微分方程等。線性與非線性方程（組）的求解研究如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)構(gòu)造出逼近或插值函數(shù)，以便在指定區(qū)間內(nèi)對(duì)未知數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測或估計(jì)。函數(shù)逼近與插值研究如何有效地計(jì)算定積分、重積分以及微分運(yùn)算的數(shù)值方法，這些方法在求解實(shí)際問題時(shí)經(jīng)常用到。數(shù)值積分與微分研究如何有效地求解各種類型的常微分方程和偏微分方程，這些方程在描述自然現(xiàn)象和工程問題中經(jīng)常出現(xiàn)。常微分方程與偏微分方程的數(shù)值解法數(shù)值分析的研究對(duì)象近似思想01由于計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次運(yùn)算和存儲(chǔ)有限的數(shù)據(jù)，因此在實(shí)際計(jì)算中需要采用近似方法，通過有限的計(jì)算步驟得到問題的近似解。迭代思想02對(duì)于許多復(fù)雜的問題，直接求解往往非常困難甚至不可能，因此可以采用迭代方法，從一個(gè)初始值出發(fā)逐步逼近問題的真實(shí)解。誤差分析思想03在數(shù)值計(jì)算中，由于計(jì)算機(jī)舍入誤差的存在以及算法本身的局限性，計(jì)算結(jié)果往往存在誤差。因此需要對(duì)誤差進(jìn)行分析和控制，以保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。數(shù)值分析的基本思想插值法02插值法是一種通過已知離散數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)的方法，使得該函數(shù)在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)上取值與給定值相等，并可用于估計(jì)未知點(diǎn)的函數(shù)值。根據(jù)構(gòu)造插值函數(shù)的方法不同，插值法可分為多項(xiàng)式插值、分段插值、樣條插值等。插值法的定義插值法的分類插值法的定義與分類01拉格朗日插值法的基本思想：以已知數(shù)據(jù)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造拉格朗日基函數(shù)，通過線性組合得到插值多項(xiàng)式。02拉格朗日插值法的優(yōu)點(diǎn)：形式簡潔，易于計(jì)算。03拉格朗日插值法的缺點(diǎn)：當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)增多時(shí)，插值多項(xiàng)式次數(shù)增高，可能導(dǎo)致龍格現(xiàn)象（Rungephenomenon）。拉格朗日插值法通過構(gòu)造差商表，利用差商的性質(zhì)遞推得到牛頓插值多項(xiàng)式。牛頓插值法的基本思想具有繼承性，新增數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)只需計(jì)算新增點(diǎn)與原有數(shù)據(jù)點(diǎn)的差商，無需重新構(gòu)造多項(xiàng)式。牛頓插值法的優(yōu)點(diǎn)同樣存在龍格現(xiàn)象，且計(jì)算量相對(duì)較大。牛頓插值法的缺點(diǎn)牛頓插值法分段插值法的基本思想01將數(shù)據(jù)點(diǎn)分成若干段，每段上采用低次多項(xiàng)式進(jìn)行插值，從而避免高次多項(xiàng)式插值的缺陷。02分段插值法的優(yōu)點(diǎn)能夠克服高次多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象，提高插值精度。03分段插值法的缺點(diǎn)在分段點(diǎn)處可能不光滑，需要采取一定措施保證分段函數(shù)的連續(xù)性或光滑性。分段插值法函數(shù)逼近與擬合03逼近問題的提出在實(shí)際問題中，往往需要根據(jù)一組離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)來尋找一個(gè)近似函數(shù)，使得該函數(shù)在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)。這就是函數(shù)逼近問題。逼近的度量為了衡量近似函數(shù)與給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的接近程度，需要引入一種度量方法。常用的度量方法有均方誤差、最大誤差等。逼近函數(shù)的選擇根據(jù)問題的不同，可以選擇不同類型的逼近函數(shù)，如多項(xiàng)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。函數(shù)逼近的基本概念03非線性最小二乘法當(dāng)逼近函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí)，可以通過迭代算法（如牛頓法、梯度下降法等）求解最佳逼近函數(shù)的參數(shù)。01最小二乘法的基本思想最小二乘法是一種常用的函數(shù)逼近方法，其基本思想是通過最小化誤差的平方和來尋找最佳逼近函數(shù)。02線性最小二乘法當(dāng)逼近函數(shù)為線性函數(shù)時(shí)，可以通過求解線性方程組得到最佳逼近函數(shù)的系數(shù)。最小二乘法正交多項(xiàng)式的定義正交多項(xiàng)式是指一組在給定區(qū)間上正交的多項(xiàng)式序列。正交多項(xiàng)式的性質(zhì)使得它們?cè)诤瘮?shù)逼近中具有優(yōu)良的性質(zhì)。正交多項(xiàng)式的構(gòu)造根據(jù)給定的權(quán)函數(shù)和區(qū)間，可以通過Gram-Schmidt正交化過程構(gòu)造出正交多項(xiàng)式序列。正交多項(xiàng)式逼近的應(yīng)用正交多項(xiàng)式逼近在數(shù)值分析、信號(hào)處理、圖像處理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。例如，在數(shù)值分析中，可以利用正交多項(xiàng)式逼近求解微分方程的數(shù)值解；在信號(hào)處理中，可以利用正交多項(xiàng)式逼近實(shí)現(xiàn)信號(hào)的濾波和壓縮等。正交多項(xiàng)式逼近數(shù)值積分與微分04數(shù)值積分的基本思想01用被積函數(shù)的有限個(gè)抽樣值的離散或加權(quán)平均近似值代替定積分的值。02常用的數(shù)值積分方法有：矩形法、梯形法、辛普森法等。數(shù)值積分的精度與步長選取有關(guān)，步長越小精度越高，但計(jì)算量也越大。0301牛頓-柯特斯公式是一系列數(shù)值求積公式的總稱，由英國數(shù)學(xué)家牛頓和柯特斯提出。02該公式基于等距節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式來構(gòu)造數(shù)值積分公式，具有較高的代數(shù)精度。常見的牛頓-柯特斯公式有：梯形公式、辛普森公式、布爾公式等。牛頓-柯特斯公式02高斯求積公式是一種高效的數(shù)值積分方法，具有較高的代數(shù)精度和收斂速度。該方法通過選取特定的節(jié)點(diǎn)和權(quán)值，使得求積公式對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式都能精確成立。常見的高斯求積公式有：高斯-勒讓德求積公式、高斯-切比雪夫求積公式等。高斯求積公式數(shù)值微分的基本思想數(shù)值微分是用函數(shù)在某點(diǎn)的附近的一些點(diǎn)的函數(shù)值的差商來近似代替該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。常用的數(shù)值微分方法有：向前差分法、向后差分法、中心差分法等。數(shù)值微分的精度與步長選取有關(guān)，步長越小精度越高，但計(jì)算量也越大。同時(shí)，對(duì)于高階導(dǎo)數(shù)，需要采用更高階的差分公式來提高精度。線性方程組的直接解法05高斯消元法的步驟先將方程組寫成增廣矩陣形式，然后通過初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，最后通過回代求解。高斯消元法的注意事項(xiàng)在消元過程中，需要選取主元，避免主元素為零或絕對(duì)值過小導(dǎo)致計(jì)算誤差。高斯消元法的基本思想通過消元將線性方程組轉(zhuǎn)化為上三角矩陣，然后回代求解。高斯消元法列主元消元法的基本思想在每次消元前，先選取所在列絕對(duì)值最大的元素作為主元，然后進(jìn)行消元。列主元消元法的優(yōu)點(diǎn)能夠減小計(jì)算誤差，提高數(shù)值穩(wěn)定性。列主元消元法的步驟與高斯消元法類似，但在每次消元前需要選取列主元。列主元消元法追趕法的基本思想針對(duì)三對(duì)角矩陣線性方程組，通過追趕過程將系數(shù)矩陣分解為兩個(gè)二對(duì)角矩陣的乘積，然后求解。追趕法的步驟先將三對(duì)角矩陣分解為兩個(gè)二對(duì)角矩陣的乘積，然后通過追趕過程求解線性方程組。追趕法的適用范圍適用于系數(shù)矩陣為三對(duì)角矩陣的線性方程組，具有計(jì)算量小、精度高的優(yōu)點(diǎn)。追趕法非線性方程組的迭代解法06迭代公式構(gòu)造將非線性方程轉(zhuǎn)化為迭代公式，通過不斷代入計(jì)算得到近似解。收斂性判斷根據(jù)迭代序列的收斂性判斷解的可靠性，通常需要滿足一定的收斂條件。加速收斂采用加速技術(shù)，如Aitken加速、Steffensen加速等，提高迭代法的收斂速度。簡單迭代法迭代公式根據(jù)泰勒展開式構(gòu)造牛頓迭代公式，通過不斷迭代得到近似解?；舅枷肜锰├占?jí)數(shù)展開式，將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程進(jìn)行求解。收斂性與收斂速度牛頓迭代法具有平方收斂速度，但需要滿足一定的初始條件。牛頓迭代法基本思想利用割線代替切線，構(gòu)造非線性方程的近似