工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)第五版課件

工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)第五版課件CATALOGUE目錄緒論行列式矩陣向量組與線性方程組特征值與特征向量二次型與正定矩陣線性空間與線性變換01緒論線性代數(shù)的起源：從解線性方程組到向量空間的理論建立線性代數(shù)的發(fā)展：從經(jīng)典線性代數(shù)到現(xiàn)代線性代數(shù)的演變線性代數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域線性代數(shù)的歷史與發(fā)展03線性代數(shù)的核心思想用代數(shù)方法解決幾何問題，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的統(tǒng)一01研究對(duì)象向量、矩陣、線性變換、二次型等02基本問題線性方程組的解法、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩與特征值等線性代數(shù)的研究對(duì)象與基本問題線性代數(shù)在工程領(lǐng)域的應(yīng)用土木工程計(jì)算機(jī)工程結(jié)構(gòu)力學(xué)、有限元分析等領(lǐng)域計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖像處理、人工智能等領(lǐng)域機(jī)械工程電氣工程其他工程領(lǐng)域機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析、機(jī)器人控制等領(lǐng)域電路分析、信號(hào)處理等領(lǐng)域化學(xué)工程、生物醫(yī)學(xué)工程等02行列式由n階方陣的元素所構(gòu)成的代數(shù)和，其值等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。行列式的定義行列式具有以下性質(zhì)行列式的性質(zhì)行列式的定義與性質(zhì)互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如第j列的元素都是兩數(shù)之和：$a_{1j}=b_{1}+c_{1},a_{2j}=b_{2}+c_{2},...a_{nj}=b_{n}+c_{n}$，則D等于下列兩個(gè)行列式之和。行列式的定義與性質(zhì)行列式的計(jì)算計(jì)算行列式的方法有多種，包括直接計(jì)算法、降階法、三角化法等。其中，直接計(jì)算法是按照行列式的定義進(jìn)行計(jì)算，降階法是通過將高階行列式化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算，三角化法是通過行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角或下三角形式進(jìn)行計(jì)算。行列式的化簡化簡行列式的方法包括提取公因子、利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行變換等。在化簡過程中，需要注意保持行列式的值不變，同時(shí)盡量簡化計(jì)算過程。行列式的計(jì)算與化簡VS克拉默法則是線性方程組的一種解法，它利用行列式的性質(zhì)求解線性方程組的解。具體地，對(duì)于n元線性方程組，可以構(gòu)造一個(gè)包含方程系數(shù)的n階行列式D，以及n個(gè)包含方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)的n-1階行列式D1，D2，...，Dn。然后利用克拉默法則求解方程組的解。行列式的應(yīng)用行列式在數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，在解析幾何中，可以利用行列式判斷點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系；在線性代數(shù)中，可以利用行列式求解線性方程組的解；在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，可以利用行列式計(jì)算隨機(jī)變量的相關(guān)性和協(xié)方差矩陣的逆矩陣等?？死▌t克拉默法則與行列式的應(yīng)用03矩陣矩陣的相等兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)相等且對(duì)應(yīng)元素相等。矩陣的定義由$mtimesn$個(gè)數(shù)$a_{ij}$排成的$m$行$n$列的數(shù)表稱為$m$行$n$列的矩陣，簡稱$mtimesn$矩陣。矩陣的加法兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相加。矩陣與矩陣相乘第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)元素相乘再相加。數(shù)與矩陣相乘用該數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素。矩陣的概念與基本運(yùn)算矩陣的秩與初等變換矩陣的秩矩陣中最大的非零子式的階數(shù)稱為該矩陣的秩。初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。初等變換對(duì)調(diào)兩行（列）；以數(shù)$kne0$乘以某一行（列）的所有元素；把某一行（列）所有元素的$k$倍加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去。矩陣的等價(jià)如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)。逆矩陣的定義逆矩陣的性質(zhì)廣義逆矩陣矩陣的逆與廣義逆對(duì)于$n$階矩陣A，如果有一個(gè)$n$階矩陣B，使得$AB=BA=I$，則稱A是可逆的，并把B稱為A的逆矩陣。若A可逆，則A的逆矩陣唯一；若A可逆，則$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$；若A可逆，數(shù)$lambdane0$，則$lambdaA$可逆，且$(lambdaA)^{-1}=frac{1}{lambda}A^{-1}$。對(duì)于任意矩陣A，總可以構(gòu)造一個(gè)與其行數(shù)相同的單位陣E，使得E滿足EA=A，此時(shí)稱E為A的一個(gè)廣義逆矩陣。04向量組與線性方程組向量組的概念由一組數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為向量，由若干個(gè)同維數(shù)的向量所組成的集合稱為向量組。向量的線性組合設(shè)向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$，對(duì)于任意一組數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，表達(dá)式$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$稱為向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$的一個(gè)線性組合。線性組合的性質(zhì)線性組合具有加法和數(shù)乘的封閉性，即兩個(gè)向量的線性組合仍是向量，一個(gè)向量與一個(gè)數(shù)的乘積仍是向量。向量組及其線性組合線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念01若存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性相關(guān)；否則稱向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)性的判定02通過求解齊次線性方程組或計(jì)算向量組的秩來判斷向量組的線性相關(guān)性。極大線性無關(guān)組03在向量組中，若存在一個(gè)部分組滿足其本身是線性無關(guān)的，且任意添加上向量組中的其他向量后都變?yōu)榫€性相關(guān)的，則稱該部分組為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。向量組的線性相關(guān)性線性方程組的應(yīng)用在工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為線性方程組進(jìn)行求解，如電路分析、化學(xué)方程式的配平、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出分析等。線性方程組的概念由一組線性方程所組成的方程組稱為線性方程組。高斯消元法通過對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為階梯形矩陣，從而求解出方程組的解?？死▌t利用行列式的性質(zhì)，直接給出$n$元線性方程組解的表達(dá)式。線性方程組的解法與應(yīng)用05特征值與特征向量特征多項(xiàng)式的求解對(duì)于給定的n階方陣A，可以構(gòu)造特征多項(xiàng)式f(λ)=|λE-A|，其中E是n階單位矩陣。求解f(λ)=0即可得到A的特征值。特征向量的求解對(duì)于每個(gè)特征值λ，求解齊次線性方程組(λE-A)x=0，得到的非零解即為對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征值與特征向量的定義設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征值與特征向量的概念與計(jì)算相似矩陣的定義設(shè)A和B都是n階方陣，如果存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B成立，則稱A和B相似。對(duì)角化的定義如果n階方陣A相似于對(duì)角矩陣，即存在可逆矩陣P和對(duì)角矩陣Λ，使得P^(-1)AP=Λ成立，則稱A可對(duì)角化。對(duì)角化的條件n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。相似矩陣與對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，且不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，由于其特征向量正交，因此可以通過正交變換將其相似對(duì)角化。具體地，存在正交矩陣Q和對(duì)角矩陣Λ，使得Q^TAQ=Λ成立。正交變換的求解對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，可以先求出其特征值和特征向量，然后將特征向量單位化并正交化，得到正交矩陣Q。最后通過Q^TAQ計(jì)算得到相似對(duì)角化后的對(duì)角矩陣Λ。實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)06二次型與正定矩陣二次型的概念與標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)$k_i$只取$1,-1,0$時(shí)，稱為二次型的規(guī)范形。二次型的規(guī)范形二次型是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是系數(shù)，$x_i$是變量。二次型的定義通過坐標(biāo)變換，二次型可以化為標(biāo)準(zhǔn)形$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+ldots+k_ny_n^2$，其中$k_i$是特征值。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正定矩陣的定義：對(duì)于任意非零向量$x$，都有$x^TAx>0$，則稱矩陣$A$為正定矩陣。正定矩陣的性質(zhì)與判定正定矩陣的性質(zhì)與判定010203正定矩陣的行列式大于零；正定矩陣的特征值均為正數(shù)；正定矩陣的性質(zhì)正定矩陣的性質(zhì)與判定01正定矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形中主對(duì)角線上的元素均為正數(shù)；02正定矩陣可逆，且其逆矩陣也為正定矩陣。正定矩陣的判定03010203順序主子式全大于零的實(shí)對(duì)稱矩陣為正定矩陣；存在可逆矩陣$C$，使得$A=C^TC$，則$A$為正定矩陣；矩陣$A$的所有特征值均為正數(shù)，則$A$為正定矩陣。正定矩陣的性質(zhì)與判定01二次型表示的是一個(gè)二次曲面，其形狀由系數(shù)矩陣的特征值決定。當(dāng)系數(shù)矩陣為正定矩陣時(shí)，二次曲面是一個(gè)橢球面；當(dāng)系數(shù)矩陣為非正定矩陣時(shí)，二次曲面可能是馬鞍面或其他形狀。二次型的幾何意義02在多元函數(shù)的極值問題中，經(jīng)常需要用到二次型來表示目標(biāo)函數(shù)或約束條件。優(yōu)化問題03在圖像處理中，二次型可用于表示圖像的亮度、色彩等特征，以及進(jìn)行圖像壓縮和重構(gòu)等操作。圖像處理04在結(jié)構(gòu)力學(xué)、振動(dòng)分析等領(lǐng)域中，二次型可用于描述結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼等特性，以及進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性和響應(yīng)分析等操作。工程技術(shù)二次型的幾何意義與應(yīng)用07線性空間與線性變換設(shè)V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)數(shù)域，若對(duì)V中任意兩個(gè)元素α與β，總有唯一元素γ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為α與β的和，記為γ=α+β；對(duì)數(shù)域P中任意數(shù)k與V中任意元素α，總有唯一元素δ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為k與α的積，記為δ=kα。并且和與積兩種運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)則，則稱V為數(shù)域P上的線性空間。封閉性、結(jié)合律、交換律、有零元、有負(fù)元、數(shù)乘分配律、數(shù)因子分配律。線性空間定義線性空間的性質(zhì)線性空間的概念與性質(zhì)基、維數(shù)與坐標(biāo)基在線性空間中，如果存在n個(gè)線性無關(guān)的向量α1,α2,...,αn，使得V中任意向量α都可以由它們線性表示出來，那么這n個(gè)向量就稱為V的一組基。維數(shù)基中向量的個(gè)數(shù)n稱為線性空間V的維數(shù)，記作dimV=n。坐標(biāo)對(duì)于V中任意向量α，如果存在一組數(shù)k1,k2,...,kn使得α=k1α1+k2α2+...+knαn，那么這組數(shù)就稱為向量α在基α1,α2,...,αn下的坐標(biāo)。線性變換定義設(shè)T是線性空間V