初等數(shù)論題庫

浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（A1卷）

一、填空（30分）

74

1、d（1000）=。<p（1000）=。（101）=。

2、ax+bY=c有解的充要條件是o

3、20022002被3除后余數(shù)為。

4、兇=3,［Y］=4,億］=2,則［X—2Y+3Z］可能的值為________。

5^<p（1）+（p（P）+…<p（0"）=o

6、高斯互反律是__________—

7、兩個素數(shù)的和為31,則這兩個素數(shù)是。

8、帶余除法定理是。

解同余方程組（12分）

x=-2（modl2）

-x=6（modl0）

x=l（modl5）

A、敘述威爾遜定理。

B.證明若（萬一1）!+1三°（modm）,則m為素數(shù)（10分）

四.解方程X4+7X+4三o（mod27）（10分）

設(shè)2P+1為素數(shù)，試證三°（m°d2p+Da。分）

六、設(shè)P=4n+3是素數(shù)，證明當(dāng)q=2p+l也是素數(shù)時，梅森數(shù)Mp=2,-1不是素數(shù)。（期

分）

七、證X3+3y3=9Z3無正整數(shù)解。建分）

八、設(shè)n是大于2的整數(shù)，證明"（“）為偶數(shù)（10分）

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答案

1、16.2340,1

2、(a,b)|c

3、1

4、3,4,5,6,7,8,9,10,11

5、pn

6、P9,p,q為奇素數(shù)

7、2,29

8、a,b是兩個整數(shù)，b>0,則存在兩個惟一的整數(shù)q,r使得a=bq+r,0<r<b

答案

解:因為(12,10)|6-(-2),(10,15)|6-1,(12,15)|1-(-2)

所以同余式組有解

x=-2(mod4)

x=-2(mod3)

x三6(mod2)

x=6(mod5)

x=l(mod3)

x三l(mod5)

原方程等價于方程

x三一2(mod4)

<x=-2(mod3)

x=l(mod5)

即Hn、

由孫子定理得

x=46(mod60)

答案

A.(威爾遜定理)整數(shù)"是素數(shù)，則(2一1)1m-Kmodp)

證：若m不是素數(shù)，則=ab,Ka，b〈m,則?I(m-l)!,a|(/n-1)!+1,則有a|1

不可能，所以m是素數(shù)。

答案

解：由X4+7x+4三o(mod3)得"1(mod3)得x=l+3t代入

X4+7X+4三o小池)有l(wèi)ST(mod3)有t=1+3(代入x=i+3t得x=4+9t

代入x4+7x+4三°(mod27)有一(三一2(mod3)1=2+3,代入有

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元=22+27/

2，

即％三22(mod27)

答案

證：因n=2P+l為素數(shù)，由威爾遜定理(〃一I)“1三°(m°d〃)即有

(n-1)!+1=(n-1)(〃-2)A3?2?1=1-(n-1)?2-(n-2)Ap(n-p)+l(modn)

三(p!)2(-l)O+1SO(mod2p+1)即證

答案

(2)三l(modq)

證：因q=8n+7,由性質(zhì)2是q=8n+7的平方剩余，q即

qI24n+3-1

所以梅森數(shù)"戶=2。-1不是素數(shù)。

答案

證：假設(shè)x3+3y3=9Z3有解，設(shè)(x,y,z)是一組正整數(shù)解，則有X是3的倍

數(shù)，設(shè)x=3x,又得到y(tǒng)為3的倍數(shù)，設(shè)y=3y,又有z=3z,=9z3則

11IIII

有解(x”，Z1)且z>Z]

這樣可以一直進行下去，Z>Z|>Z2>Z3>Z4>…

但是自然數(shù)無窮遞降是不可能的，于是產(chǎn)生了矛盾

答案

證：因為(-1,n)=1,由歐拉定理有

(-1)<P(?)=1(modn)(因為n大于2,只有學(xué)(〃)為偶數(shù)。

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浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷(B1卷)

一、填空(30分)

1、d(37)=oo(37)=。

2、(p(1)+(p(P)+…(p(P")=o

3、不能表示成5X+3Y(X、Y非負)的最大整數(shù)為o

4、7在2004!中的最高塞指數(shù)是_______o

5、(1501,300)=。

6、axmb(modm)有解的充要條件是。

7、威爾遜定理是。

8、寫出6的一個絕對值最小的簡化系。

脾妙塔8x輯8西6

9、5050被7除后的余數(shù)為o

二、解同余方程組(12分)

x=2(mod5)

vx=3(mod8)

x=l(mod7)

三、證明當(dāng)n是奇數(shù)時，有3卜"+1).(10分)

四、如果整系數(shù)的二次三項式P(x)=x2+bx+c當(dāng)x=°,l時的值都是奇數(shù)，證明

P(x)=°沒有整數(shù)根方分)

五、解方程45x三21(modl32)(脂分)

六、證明：用算術(shù)基本定理證明出是無理數(shù)。GO分)

七、證明：對任何正整數(shù)n,若n不能被4整除，則有

5|ln+2n+3n+4n(10分)

八、解不定方程4x+5_y=10([0分)

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答案：

Is2,38

2、Pn

3、7

4、331

5、1

6、(a,m)|b

7、P為素數(shù)，(PT)!+l=°(modp)

8、1,5

9、5

答案：

解：因為5,7,8兩兩互素，所以可以利用孫子定理.

M=56,M=35,M=40,m=280

I23.

解同余式

56M.=l(mod5)35M.=1(mod8)40M=1(mod7)

I，2，3，

得到%=1M"3,M「3

于是所求的解為

x=56xlx2+35x3x3+40x3x1(mod140)

三267(mod280)

所以x=267(mod280).

答案：

證明：因為2三T(mod3),所以

2n+1=(-1)n+l(mod3)

于是，當(dāng)n是奇數(shù)時，我們可以令〃=2k+l

從而有20+1三(-l)2*+i+1=0(mod3)

3|(2?+1)

即?

答案：

證：由條件可得c為奇數(shù)，b為偶數(shù)

如果p(x)=0有根q,若q為偶數(shù)，則有仁+M+c為奇數(shù)，而P(q)=0為偶

數(shù)，不可能，若q為奇數(shù)，則有q2+bq+c為奇數(shù)，而p(q)=()為偶數(shù)，也不

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可能，所以雙M=°沒有整數(shù)根

答案：

解因為(45,132)=3|21,所以同余式有3個解.

將同余式化簡為等價的同余方程15x=7(m0d44).我們再解不定方程

15x—44j=7,得到一解(21,7).

因此同余式的3個解為

x=21(mod132)

132'

x三21+—(mod132)三65(modl32)

3

132'

x三21+2x_(modl32)=109(modl32)

3

答案：

P_

證：假設(shè).是有理數(shù)，則存在二個正整數(shù)p,q,使得、夕=彳，由對數(shù)定義可

得有3。2=尸，則同一個數(shù)左邊含奇數(shù)個因子，右邊含偶數(shù)個因子，與算術(shù)基本

定理矛盾。???、行為無理數(shù)。

答案：

證:則題意知n=4q+r,r=l,2,3。因為(行)=l,i=l,2,3,4所以有再三'mod5)

當(dāng)r=l時有l(wèi)+2+3+4m0(mod5)

當(dāng)1-2時有■+22+32+42=0(mod5)

當(dāng)『3時有H+23+33+43=0(mod5)

從而證明了結(jié)論。

答案：

解：因為(4,5)=1,所以方程有解，

由觀察得有特解x=0,y=2

所以方程的解為^=5/,j=2-4/,/eZ

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浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（C1卷）

一、填空（30分）

I、d（31）=ocr（3600）=。

2、四位數(shù)3441被9整除，則人=。

3、17X+2Y=3通解為=

4、費爾馬大定理是______。

5、孽出1彳的一個簡化系，要求每項都是5的倍數(shù)______。

,V2.4}_

O、一_______O

7、。?購857件匕為分?jǐn)?shù)是。

8、15!的標(biāo)準(zhǔn)分解是。

9、1000到2003的所有整數(shù)中13的倍數(shù)有個。

二、解同余方程組（12分）

x=3（mod4）

<x=2（mod5）

x=6（mod7）

三、敘述并且證明歐拉定理。（12分）

四、8xs9（modll）（io分）

五、證明梅森數(shù).「=2「-1的素因子夕〉力.Q0分）

..9s。歌39

六、試證若且是素數(shù)，則X（9分）

七、證明：對任何的正整數(shù)a,5a+2不可能是平方數(shù)（9分）

八、判斷方程X2三3（mod83）是否有解，若有解則有幾解（8分）

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答案

1、2,12493

2、7

3、x=1+2/,j/=—2—17/,/eZ

4、x"+》=旬23)無正整數(shù)解

5、5,25,35,55

6、0.6

3

7、7

8、2ii,3o,53?72?11,13

9、78

答案

證：因為4,5,7兩兩互素，所以可以利用孫子定理求解.

M=35,M=28,M=20,m-140

123?

解同余式

35M.=l(mod4)28M.=l(mod5)20Af.=l(mod7)

1，2，35

得到嗎'L，2=2,M，3=-1

于是所求的解為

x三35x(—1)x3+28x2x2+2()x(-1)x6(mod140)

s97(mod140)

答案

(歐拉定理)若(曲加)=1，則『犯三加。(1冽)

證明：設(shè)八巧，…為切)是模掰的一組互素剩余系.

g,加)=i由§2.2定理知町叫…，%?)是模我的一組

互素剩余系.

'1?啊啊…叫心產(chǎn)也…J制(mod聞即

/阿堂,弓加廣一…,仰前⑼又

(儼)=1G=1,2,…P,(砌；U…%”網(wǎng)=1

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答案

解：因為(8,11)=1,所以同余式有解。

x=三-3(mod11)

88-11

答案

證：設(shè)q是2P-1的質(zhì)因數(shù)，由于2P-1為奇數(shù)，二q手2,

(2,q)=1,由條件q|2i--l,即2P=1(modq)

又,:(q,2)=1,2P三1(modq)

設(shè)，?是使得2，三1(modp)成立最小正整數(shù)

若l<i<P，則有iIP則與P為素數(shù)矛盾

...i=p,：.plq-1,從而證明了結(jié)論。

答案

證：因為2,5且是素數(shù)

所以(p,10)=1,由歐拉定理有

1?！齂modp),從而有

P檢9

P-1

答案

證：因為平方數(shù)被5除后的余數(shù)為1,4,

而5a+2被5除后的余數(shù)為2,

2不同余1,4關(guān)于5,所以不相等

答案

解：因為83,所以有解，由性質(zhì)知有解就有兩解。

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浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（D1卷）

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.Q（29）=.

2.不能表示成5x+4y（x,y為非負整數(shù)）的最大整數(shù)為_____.

3.7在2008!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中的最高幕指數(shù)是.

4.2005和2006的最小公倍數(shù)是.

5.威爾遜定理是.

6.設(shè)乂>1為整數(shù)且被4、5、7除后的余數(shù)都為3,則最小的x是.

7.已知（a,b）=1,則（5a+3b,13a+8b）=.

8.1,4,9,16,…10000這100個平方數(shù)中是3的倍數(shù)的平方數(shù)有個.

9.若今天是星期日，則18°天后的那一天是星期.

10.32005的末二位數(shù)是.

二.解同余方程組（12分）

x三-3（mod5）

<x=-5（mod8）

x三l（mod7）

三.解同余方程三一2（mod25）（色分）

四.求4x2-中-3=°的整數(shù)解a。分）

五.判斷同余方程乂2三73（modl37）是否有解，若有解，有幾解.（8分）

六.證明：不存在整數(shù)乂V使等式x?+'2=1995成立.（10分）

七.設(shè)721a673b,試求a,b的值.（10分）

八.用1,2,.?8,9不重復(fù)地寫出被11整除最大的九位數(shù)（10分）

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答案

1.30

2.11

3.335

4.4022030

5.P為素數(shù)，則有(P—D!+l三°(modp)

6.143

7.1

8.33

9.四

10.43

11.

答案

解：因為5,8,7兩兩互素，所以有解

利用孫子定理求得=5"=35叫=40吁28()

解同余方程56M.三l(mod5)35M=l(mod8)40M.=l(mod7)

1'2'3

M.==3,M,=3

I23

于是所求的解為

x=56xlx(-3)+35x3x(-5)+40x3xl(mod280)

俎x三267(mod280).

答案

解：因為(17,25)=1,所以同余方程17x=-2(mod25)有一解

-2-216

x=-i7=^8=4----=-6(mod25)

4x6

答案

a

y=4x-_

解：因為X*°，所以X,

因為'為整數(shù),所以x只能取-1,-3,1,3

3=-3

從而原方程的解為〔乙一?一一1,也一"區(qū)=-11

答案

73

(—)=1

解：因為137，所以同余方程x2三73(mod137)有解

由定理有解則有兩解。

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答案

證：假設(shè)有整數(shù)x,y存在，使x2+y2=1995成立。

VX2,y2被4除余數(shù)為0或1.

...x2+y2被4除余數(shù)為0,1或2.

又???1995被4除余數(shù)為3.

??.得出矛盾，假設(shè)不成立.

故沒有整數(shù)x,y存在，使x2+y2=1995成立.

答案

解72=8X9,且（8,9）=1

8|a673b,且-a673b

8|槐b=6

且91a+6+7+3+6

即9|22+a,即a=5,所以

a=5>b=6

答案

因為被11整除的數(shù)的特征是奇數(shù)位數(shù)碼之和減去偶數(shù)位數(shù)碼之和為11的倍數(shù)，要寫

最大的九位

數(shù),前面可用98765,然后對后面的數(shù)字進行調(diào)整,此時奇數(shù)位數(shù)碼和比偶數(shù)位數(shù)碼

之和大7,只要

后面最大4或小7即可，小賣7不行,只能大4,剛好4,3之和比1,2之和大4,為了最

大，后4位為2413,

所以所求數(shù)為987652413.

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浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（E1卷）

一、填空（30分）

1、d（1200）=o

2、梅森數(shù)是素數(shù)，則n是o

3、不能表示成7X+6Y（X、Y非負）的最大整數(shù)為_______。

4、1X3X5X7.......X1999X2001的標(biāo)準(zhǔn)分解中13的基指數(shù)是

5、（13a+21b,34a+55b）=。已知（a,b）=1。

6、費爾馬猜想是。

7、寫出12的一個簡化系，要求每項都是7的倍數(shù)。

8、aX三b（modm）有解的充要條件是_______。

9、20022002被3除后余數(shù)為。

10s[X]=3,[Y]=4,[Z]=2,則[X—2Y+Z]可能的值為?

二、解方程組（10分）

x=l（mod7）

"x=2（mod8）

x-3（mod9）

三、敘述并且證明帶余除法定理。（10分）

四、解方程X2+2X+2三o（mod125）（10分）

五、設(shè)P為素數(shù)，試證對任整數(shù)a,都有P|（P-1）!a’+a。（10分）

六、證明不定方程8-2歲2+5z+3=0無整數(shù)解

七、證明梅森數(shù)“0=2°-1的素因子q一定為2pt+1型。（p>2為素數(shù)）。（10分）

八、證明形如4m+l的素數(shù)有無窮多個（10分）

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答案

1、24,

2、素數(shù)

3、29

4、83

5、1

6、xn+井=z"n23)無正整數(shù)解

7、7,35,49,77

8、(a,m)|b,

9、1

10、-5,-4,-3,-2

答案

解因為7,8,9兩兩互素，所以可以利用孫子定理.

M=72,M=63,M=56,m=494

I23

解同余式

72M.=I(mod7)63M.=l(mod8)56M.=l(mod9)

1，2，3，

得到,于是所求的解為

x=72x4x1+63x(-1)x2+56x(-4)x3(mod494)

=-510(mod494)=478(mod494).

答案

帶余除法定理：VaRcZ，且b〉0,則為,r?名使得

“二3+「(0"<方)成立，并且[/是惟一的.

證明：(存在性)作整數(shù)序列：

…-3人-2瓦-兒0,6,后，比…

對于&必存在一個整數(shù)0使得+1初成立

令r即a=qb+r()<r<br(=71

惟一?性),若公使得a=bqI+外(0￡((方)

Va=bqr=bq}+r,b(q-q)=r\-r

I。-。ITa-r|

v()<r<b,()<r]<b,

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04k-“〈8

，0加用＜1

又?：星：、|弓-%|=0即

從而有r=r'

'■4』是惟一的.

答案

解：由X2+2X+2三0(mod5)得X三l，2(mod5)對x三l(mod5)得x=i+5t代入

x=6+25t

X2+2X+2三o(mod25)有4』-l(mod5)有t=1+5(代入x=i+5t得

代入X2+2X+2三o(modi25)有"I三—2(m°d5)：=2+5,代入有

x=56+125tx=56(modl25)

2，，

同理另一解為X三67(modl25)

答案

證：由威爾遜定理

(p—1)!=-l(modp)

由歐拉定理apma(modp),兩式相乘即得

(p-1)!QP=-a(modp)

即有P|(P-1)!aP+a

答案

證:若不定方程有解，則x=yJ±Jjp-5z-3

但y4三0,1(mod5),/.對yz

y4-5z-3=2,3(mod5)

而一個平方數(shù)三0,1,4(mod5)

...J/4-5z-3不可能為完全平方，即-4_5z-3不是整數(shù),

所以原不定方程無解。

答案

證：設(shè)q是2P-1的質(zhì)因數(shù)，由于2P-1為奇數(shù)，...qW2,

(2-q)=1,由條件q|2i--l,即2P=1(modq)

又“:(q,2)=1,2P=1(modq)

設(shè)i是使得2*三1(modp)成立最小正整數(shù)

若則有iIP則與P為素數(shù)矛盾

精選

i=p,/.p0?1

又???伏1為偶數(shù),2|71,

/.2p|g1q-1=2〃匕即q=2pk+1

答案

證：假設(shè)形如4m+1的素數(shù)只有有限個，設(shè)為肉…?女，

顯然（2〃1…pj2+1的最小素因數(shù)夕是奇數(shù)，且p與…〃卜不同，設(shè)。為4利+3形

的素數(shù)，但〃整除（2口…pj2+1,表明（2R…p/2+1三0（modp）

「一。一

（-1、|三（一1）-2-三（一1）2，"+1=—1

即xz三（-1）（modp）有解，即［內(nèi)，但【PJ矛盾，

；.p為4〃什1形，這與4m+1的素數(shù)只有左個矛盾。

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浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷(F1卷)

一、填空(36分)

I、d(1000)=_______oo(1000)=_______o<p(1000)

2、n〉],若(“T)!+l三()(modn)則n為____。

3、不能表示成5X+3Y(X、Y非負)的最天整數(shù)為—o

4、7在2003!中的最高幕指數(shù)是o

5、(1515,600)=o

6、ax三伙modm)有解的充要條件是_。

7、威爾遜定理是0

8、寫出6的一個簡化系，要求每項都是5的倍數(shù)o

9、0.38化為分?jǐn)?shù)是。

10、22003的末位數(shù)是。

11、[-2.3]=o

12、(p(1)+(p(P)+…(p(P〃)=o

13、x>l且能被4、5、7整除，則最小的x是o

韓出琳8x的出\的6

14、5050被7除后的余數(shù)為。

15、兩個素數(shù)的和為31,則這兩個素數(shù)是。

16、帶余除法定理是o

二、解同余方程組(12分)

x=2(mod5)

<x=3(mod8)

x=l(mod7)

三、敘述并且證明費爾馬小定理。(12分)

四、如果整系數(shù)的二次三項式「(刈=乂2+隊+0當(dāng)*=0』時的值都是奇數(shù)，證

明P(x)=°沒有整數(shù)根(6分)

五、設(shè)P為奇素數(shù)，則有(8分)

(])b-i+2P-I+A+(p-1)P-I=-l(modp)

(2)1P+2P+A+(P-1)P=0(modp)

六、證明：對任何正整數(shù)k,m,n

精選

有11155k+2+45m+4+35n+3（6分）

證明：價是無理數(shù)。（8分）

七、試證：對任何的正整數(shù)〃，“2+2不能被4翦除。（6分）

八、解不定方程4x+5y=10（6分）

答案

1、16,2340,9360

1、素數(shù)

2、7

3、331

4、15

5、(a,m)|b

6、(p-1)!+1=0(modp)

7、5,25

29

8、90

9、8

10>-3

11、Pn

12、140

13、5

14、2,29

a,b是兩個整數(shù)，b〉0,則存在兩個惟一的整數(shù)q,r使得a=bq+r,0<r<b

答案

解：證：因為5,8,7兩兩互素，所以可以利用孫子定理求解.

M=56,M=35,M=4(),m=280

123?

解同余式

56M=l(mod5)35M.=l(mod8)40M=l(mod7)

I，2，3，

得到%=LM「3,叫=3.

于是所求的解為

x=56xlx2+35x3x3+40x3x1(mod140)

=267(mod280)

答案

費爾馬定理：對任意的素數(shù)p有anma(modp)

精選

證明：設(shè)p|a,則有P\ai>,有a。三"(modp),

若(a,p)=1,由歐拉定理有“X三Kmodp)兩邊同乘a

艮［］有=a(modp)

答案

證：由條件可得c為奇數(shù)，b為偶數(shù)

如果p(x)=0有根q,若q為偶數(shù)，則有為奇數(shù)，而p(q)=0為

偶數(shù)，不可能，若q為奇數(shù)，則有小+的+c為奇數(shù)，而p(q)=0為偶數(shù)，

也不可能，所以P(x)=°沒有整數(shù)根

答案

證：由歐拉定理

lp-1+2p-i+A+(p—l)p-1三1+1A+1=p—1=_l(modp)

由費爾馬定理

b-i+2p-n-A+(p-l)p-?=1+2+Ap-1三0(modp)

答案

iiB(5,11)=1,(4,11)=1,(3,11)=1由歐拉定理得

5io=l(modll)?3io=l(modll)?4io=l(modll)?進一步有

55=1(mod11)35=l(mod11)>45=l(mod11)

對任何正整數(shù)k,m,n有

55%+2+45〃H4+35〃+3=52+44+33=()(mod11)即有i

1|55A+2+45〃J+4+35〃+3

答案

證：假設(shè)、公是有理數(shù)，則存在自數(shù)數(shù)。力使得滿足m=3y2即“2=302,容易知

b2

道a是3的倍數(shù)，設(shè)。=3%，代入得=3(，又得到b為3的倍數(shù)，ax<b<a,

設(shè)b=3/則"=3%這里b<a

這樣可以進一步錄得4,%...直有〃>〃>/>/?］>%>%>...

但是自然數(shù)無窮遞降是不可能的，于是產(chǎn)生了矛盾，...、行為無理數(shù)

答案

證：n=2k時有〃2+2=4內(nèi)+2,不能被4整除

精選

當(dāng)n=2k+l時有+2=4心+4A+3,不能被4整除

所以有

對任何的正整數(shù)n，8+2不能被4整除

答案

解：因為（4,5）=1,所以不定方程有解，由觀察得有特解x=0,y=5

fx=0-5t

所以不定方程的解為V=2+4tt為整數(shù)

浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（G1卷）

一、填空(30分)

1、d(1001)=o。(2002)=

精選

a

2、'

X+QX

精選

+….QX

精選

精選

3、不能表示成5X+6Y（X、Y非負）的最大整數(shù)為

精選

4、2003!中末尾連續(xù)有個零。

精選

5、(21a+4,14a+3)=

6、xz

精選

=Z2通解為

精選

7、兩個素數(shù)的和是39,這兩個素數(shù)是

精選

8、從1001到2000的所有整數(shù)中，13的倍數(shù)有

精選

9、p,q是小于是100的素數(shù)，pq-l=x為奇數(shù)，則x的最大值是

精選

二、解同余方程組（12分）

證明費爾馬小定理。（10分）

四、明：設(shè)d是自然數(shù)n的正因子，則有

精選

nd=n2d(n)

(10分)

五、P為奇素數(shù)，則有（10分）

aP+bP=(a+b)“modp)

六、用初等方法解不定方程乂

2-200+1996=0。（10分）

精選

七、解不定方程式15x+25y=T00.（8分）

精選

八、請用1至IJ9這九個數(shù)中的六個（不重復(fù)）寫出一個最大的能被15整除的六位數(shù)

精選

（10分）

精選

答案

1、6,4032

0(Q,Q"..Q)|C

/、I2n

3、19

4、499

5、1

6

7、2,37

8、77

9、193

答案

解：因為4,5,7兩兩互素,所以可以利用孫子定理求解

x=l(mod4)

<x=l(mod5)

x=-3mod7)

原方程即為〔

M=35,M=28,M=20,m=140

I23?

解同余式

35M.三l(mod4)28M.三l(mod5)20M.=l(mod7)

1，2，3，

得至U=-=

于是所求的解為

xs35x(-1)x1+28x2x1+20x(-1)x(-3)(mod140)

=81(mod280)

所以x=81(modl40).

答案

精選

費爾馬小定理：p為素數(shù)，則時三/mod?)

證(1)當(dāng)(a,p)=1,則wl(mDdR),兩邊同乘p即得〃"三

⑵當(dāng)(〃，力)*1，則P|a,有力力，即有〃。三Wmod")

所以都有三〃(mod力

答案

n

證：設(shè)d是n的因子，則”也是n的因子，而n的因子數(shù)為d(n)

口”=口二(nd)2=〃d⑺口/=〃2心)

所以，1〃小/，所以4，即有

答案

證：由費爾馬小定理知對一切整數(shù)有

aP=a(p)

bP=b(P),

由同余性質(zhì)知有

aP+bP=a+b(p)

又由費爾馬小定理有Q+b)廣三a+b(p)

(〃+。)/>=aP+bp(p)

答案

解：由題意知x為偶數(shù)，設(shè)*=2X[,則有彳-I。？+499=°即有

不(再一1Q；/)=-499

由499為素數(shù)有兩因子只能取±1小499,從而得

(乂=2收=-2f.q=998=-998

17=50IJ=-50[j=50=-50

答案

解:因為(15,25)1-100

所以方程有解

原方程的一組特解為x=0,j=-4

所以原方程的解為

x=—5/,j/=—4+3/,/GZ

答案

987645

精選

浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（H1卷）

一、填空（30分）

1、CT（1000）=。

2、n〉]，若（〃一」+1三0（modn）則n為___。

3、7在2003!中的最高累指數(shù)是。一

4、（1515,600）=o

5、ax三b（modm）有解時有個解。

6、帶余除法定理是一

7,寫出6的一個簡化系，要求每項都是5的倍數(shù)—o

8、038化為分?jǐn)?shù)是0

9、[-0.3]=o

瞄臥琳8

10>50被7除后的余數(shù)為o

二、證明：若（凡昭戶小品&則當(dāng)礴過模船完全剩余系時，則

4X+5也通過模出的完全剩余系.（10分）

三、解同余方程組（12分）

x=2（mod5）

<x=3（mod8）

[x=-6（mod9）

四、設(shè)aJ，。任意三個不全為零的整數(shù)，且a=%+c<7eZ,則

（a,B）