（課標全國版）高考數學第一輪復習講練測 第51講 隨機事件的概率 （講）原卷版+解析

第51講隨機事件的概率【學科素養(yǎng)】1.結合隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性實驗，考查對概率意義及基本性質的理解，凸顯數據分析的核心素養(yǎng)．2．結合概率的意義及事件的概念，考查事件的關系及運算，凸顯數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【課標解讀】1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.【備考策略】從近三年高考情況來看，本講內容一般不作獨立考查，預測2022年將會考查：①對立、互斥與古典概型結合考查隨機事件概率的計算；②隨機事件與統(tǒng)計圖表相結合考查用頻率估計概率．試題難度不大，屬中、低檔題型.【核心知識】1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數上，把這個常數記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率．3．事件的關系與運算定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．5．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．【高頻考點】高頻考點一隨機事件的關系1．把語文、數學、英語三本書隨機分給甲、乙、丙三位同學，每人一本，記事件A為“甲分得語文書”，事件B為“乙分得數學書”，事件C為“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對立事件2．一袋中裝有5個大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個，白球2個，從中任取2個小球，若事件“2個小球全是紅球”的概率為eq\f(3,10)，則概率是eq\f(7,10)的事件是()A．恰有一個紅球 B．兩個小球都是白球C．至多有一個紅球 D．至少有一個紅球3．從1,2,3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數．上述事件中，是對立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③高頻考點二隨機事件的頻率和概率例2.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【方法技巧】1．概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值．2．隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率．【變式探究】電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率．(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率．(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化．假設表格中只有兩類電影的好評率數據發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？(只需寫出結論)高頻考點三互斥事件、對立事件的概率例3.一盒中裝有大小和質地均相同的12只小球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出的小球是紅球或黑球的概率；(2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率．【方法技巧】復雜的互斥事件的概率的兩種求法直接法第一步，根據題意將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和；第二步，運用互斥事件的概率求和公式計算概率間接法第一步，求事件的對立事件的概率；第二步，運用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．特別是含有“至多”“至少”的題目，用間接法就顯得比較簡便【變式探究】經統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數相應的概率如下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率．【變式探究】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．第51講隨機事件的概率【學科素養(yǎng)】1.結合隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性實驗，考查對概率意義及基本性質的理解，凸顯數據分析的核心素養(yǎng)．2．結合概率的意義及事件的概念，考查事件的關系及運算，凸顯數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【課標解讀】1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.【備考策略】從近三年高考情況來看，本講內容一般不作獨立考查，預測2022年將會考查：①對立、互斥與古典概型結合考查隨機事件概率的計算；②隨機事件與統(tǒng)計圖表相結合考查用頻率估計概率．試題難度不大，屬中、低檔題型.【核心知識】1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數上，把這個常數記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率．3．事件的關系與運算定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．5．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．【高頻考點】高頻考點一隨機事件的關系1．把語文、數學、英語三本書隨機分給甲、乙、丙三位同學，每人一本，記事件A為“甲分得語文書”，事件B為“乙分得數學書”，事件C為“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對立事件解析：選C事件A，事件B，事件C都是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A、B兩項錯誤；事件A，事件B可能同時發(fā)生，故事件A與事件B不互斥，C項正確；事件B與事件C既不互斥，也不對立，D項錯誤．故選C.2．一袋中裝有5個大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個，白球2個，從中任取2個小球，若事件“2個小球全是紅球”的概率為eq\f(3,10)，則概率是eq\f(7,10)的事件是()A．恰有一個紅球 B．兩個小球都是白球C．至多有一個紅球 D．至少有一個紅球解析：選C因為eq\f(7,10)＝1－eq\f(3,10)，所以概率是eq\f(7,10)的事件是“2個小球全是紅球”的對立事件，應為：“一個紅球一個白球”與“兩個都是白球”的和事件，即為“至多有一個紅球”．3．從1,2,3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數．上述事件中，是對立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③解析：選C“至少有一個是奇數”即“兩個都是奇數或一奇一偶”，而從1,2,3，…，7這7個數中任取兩個數，根據取到數的奇偶性知共有三種情況：“兩個都是奇數”“一奇一偶”“兩個都是偶數”，故“至少有一個是奇數”與“兩個都是偶數”是對立事件，易知其余都不是對立事件．故選C.高頻考點二隨機事件的頻率和概率例2.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【解析】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25℃，由表格數據知，最高氣溫低于25℃的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25℃，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20℃，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值為900,300，－100，Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20℃，由表格數據知，最高氣溫不低于20℃的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.【方法技巧】1．概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值．2．隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率．【變式探究】電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率．(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率．(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化．假設表格中只有兩類電影的好評率數據發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？(只需寫出結論)【解析】(1)由題意知，樣本中電影的總部數是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，獲得好評的第四類電影的部數是200×0.25＝50.故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估計為1－eq\f(372,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率．高頻考點三互斥事件、對立事件的概率例3.一盒中裝有大小和質地均相同的12只小球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出的小球是紅球或黑球的概率；(2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率．【解析】記事件A＝{任取1球為紅球}；B＝{任取1球為黑球}；C＝{任取1球為白球}；D＝{任取1球為綠球}，則P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(4,12)，P(C)＝eq\f(2,12)，P(D)＝eq\f(1,12).(1)由于A，B互斥，故取出1球為紅球或黑球的概率為P1＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)法一：由于A，B，C互斥，故取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P2＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：任取一球，取出的小球是紅球或黑球或是白球的對立事件是取出一個小球是綠球．故P2＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).【方法技巧】復雜的互斥事件的概率的兩種求法直接法第一步，根據題意將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和；第二步，運用互斥事件的概率求和公式計算概率間接法第一步，求事件的對立事件的概率；第二步，運用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．特別是含有“至多”“至少”的題目，用間接法就顯得比較簡便【變式探究】經統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數相應的概率如下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率．解：記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為