初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 垂徑定理“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

垂徑定理實(shí)踐探究

把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸．活動(dòng)一課內(nèi)探究●O如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？?思考·OABCDE活動(dòng)二

線段：AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒AB???O?CDE┐????猜想：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。B接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.∵CD⊥AB于M證明：已知：CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于M，求證：AM=BM，AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒BAODCE垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理：(一)垂直于弦的直徑（二）垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所的兩條弧.垂徑定理三種語(yǔ)言（三）CD是直徑CD⊥ABAE＝BE⌒⌒AC＝BC⌒⌒AD＝BDEOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB

練習(xí)

1OBAED在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？O例1已知：如圖在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)是8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。（弦心距：圓心到弦的距離。）?

oABE└解：連結(jié)OA，作OE⊥AB于E，則OE=3cm,AE=BE∵AB=8cm∴AE=4cm在Rt△AOE中有

OA=

==5cm∴⊙O的半徑為5cm。1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB為直徑，則下列結(jié)論不正確的是（）2.已知⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB，垂足為M，OM=3，則CD=

.3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB為直徑，若CD=10，AM=1，則⊙O的半徑是

.

●OCDABM└CA、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM⌒⌒⌒⌒813

練習(xí)21400年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)是弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).

例題解析RD7.237.4趙州石拱橋趙州石拱橋解：由題設(shè)得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.RD37.47.2例2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。求證：AC＝BD。證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，

∵OE⊥AB

∴AE＝BE，CE＝DE。

∴AE－CE＝BE－DE?！郃C＝BDE.ACDBO└方法歸納:1.垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。2.解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常（1）連結(jié)半徑；（2）過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。請(qǐng)圍繞以下兩個(gè)方面小結(jié)本節(jié)課：1、從知識(shí)上學(xué)習(xí)了什么？

２、從方法上學(xué)習(xí)了什么？課堂小結(jié)圓的軸對(duì)稱性；垂徑定理（１）垂徑定理和勾股定理結(jié)合。（２）在圓中解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常作的輔助線——過(guò)圓心作垂直于弦的線段；——連接半徑。(1)如圖,已知⊙O的半徑為6cm,弦AB與半徑OA的夾角為30°,求弦AB的