云南省昆明市高三上學期1月“三診一模”摸底診斷測試（期末）數(shù)學

昆明市2024屆高三“三診一模”摸底診斷測試數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A B. C. D.2.復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知是拋物線的焦點，點在上，且的縱坐標為，則（）A. B. C. D.4.在中，點滿足，則（）A. B.C. D.5.某學校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯誤的是（）A.若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則C.若該八名選手成績極差為，則D.若該八名選手成績的平均數(shù)為，則6.已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個不等的實根，，且，則（）A. B. C. D.7.若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”.已知，互為“平行函數(shù)”，則（）A. B. C. D.8.第七屆國際數(shù)學大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（）A. B.與平面所成的角為C. D.平面10.已知圓，直線，點在直線上運動，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，當最大時，則（）A.直線的斜率為1 B.四邊形的面積為C. D.11.古希臘數(shù)學家托勒密（Ptolemy85165）對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應關系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為.例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即.則（）A.B.若，則CD.（）12.已知函數(shù)，，則（）A當時，有2個零點B.當時，有2個零點C.存在，使得有3個零點D.存在，使得有5個零點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，點（）在角終邊上，且，則的值可以是______.（寫一個即可）14.春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個敬老院做義工，每個敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個交點為，若為等腰三角形，則的離心率為______.16.已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為______.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.中，，，.（1）求的面積；（2）如圖，，，求.18.記為數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.19.如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點，是線段上一點，，.（1）證明：平面平面；（2）是否存在點，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.20.聊天機器人（chatterbot）是一個經(jīng)由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.（1）求一個問題的應答被采納的概率；（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當最大時的值.21.已知是橢圓的右焦點，點在不過原點的直線上，交于，兩點.當與互補時，，.（1）求的方程；（2）證明：為定值.22.已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍.昆明市2024屆高三“三診一模”摸底診斷測試數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合B的補集，再求交集即可.【詳解】由題，則.故選：C2.復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由題意，所以復數(shù)在復平面內對應的點為，它在第一象限.故選：A.3.已知是拋物線的焦點，點在上，且的縱坐標為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】由已知得，由于的縱坐標為，結合拋物線定義可得，故選：D4.在中，點滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的加減法則，根據(jù)向量定比分點代入化簡即可得出結果.【詳解】如下圖所示：易知；即可得.故選：C5.某學校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯誤的是（）A.若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則C.若該八名選手成績的極差為，則D.若該八名選手成績的平均數(shù)為，則【答案】A【解析】分析】舉反例判斷A,利用眾數(shù)和平均數(shù)定義判斷B、D,分情況討論x判斷C.【詳解】對A,因為，當,八名選手成績從小到大排序，故該八名選手成績的第百分位數(shù)為，但，故A錯誤；對B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)，B正確；對C,當，極差，不符合題意舍去；當，極差為，符合題意當，極差為不符合題意舍去，綜上，，C正確；對D,平均數(shù)為解得，故D正確.故選：A6.已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個不等的實根，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式變形為，畫出圖像，找到兩函數(shù)交點位置，求出結果即可.【詳解】，最小正周期為，作出的圖像，可知當時，有三個根，所以，即或，解得根分別為，又因為，所以，故選：B.7.若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”.已知，互為“平行函數(shù)”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“平行函數(shù)”的定義，結合函數(shù)圖象的變換關系求解即可.【詳解】因為，，而將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，所以，經(jīng)檢驗符合題意，故選：B.8.第七屆國際數(shù)學大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設第三角形的斜邊長為，面積為，根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列求和公式運算求解.【詳解】因為，設第三角形的斜邊長為，面積為，由題意可知：，，，則，，可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，所以所作的所有三角形的面積和為.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（）A. B.與平面所成的角為C. D.平面【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標系，運用向量法逐個分析即可.【詳解】易知正四棱柱是長方體，故以為原點建立空間直角坐標系，連接，設，，，與平面所成的角為，故，,，，易知面的法向量,易知，故，可得，化簡得，結合底面是正方形，可得，故，，即，故A正確，易知面的法向量，，設與平面所成的角為，故，化簡得，故，故B正確，易知，，故，即不垂直，故C錯誤，易知，，故，，，，，設面的法向量，故，，解得，，，即，則與不平行，故與面不垂直，故D錯誤，故選：AB10.已知圓，直線，點在直線上運動，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，當最大時，則（）A.直線的斜率為1 B.四邊形的面積為C. D.【答案】AC【解析】【分析】由題意分析得，結合，即可判斷A，求出，結合三角函數(shù)即可判斷D，算出即可得四邊形的面積，由此即可判斷B，結合等面積法即可判斷C.【詳解】若要最大，則只需銳角最大，只需最大，即最小，所以若最小，則，由垂徑分線定理有，所以，所以，故A正確；由題意，此時，，所以此時，故D錯誤；而當時，，所以四邊形的面積為，故B錯誤；由等面積法有四邊形的面積為，又由題意，所以，故C正確.故選：AC.11.古希臘數(shù)學家托勒密（Ptolemy85165）對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應關系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為.例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即.則（）A.B.若，則C.D.（）【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)所給定義即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，圓心角所對弦長為若，則弦長為,顯然,故A錯誤，對于B，若，則弦長為,而直徑為，故，B正確，對于C，圓心角所對的弦長為，故，C正確，對于D,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知：所對的弦長之和大于所對的弦長，所以，（），故D正確，故選：BCD12.已知函數(shù)，，則（）A.當時，有2個零點B.當時，有2個零點C.存在，使得有3個零點D.存在，使得有5個零點【答案】BCD【解析】【分析】令，可得，結合圖象分析方程的根的分布，再結合圖象分析的交點個數(shù)，即可得解.【詳解】由的圖象可知，的值域為，對于選項AC：令，則在上恒成立，可知在上單調遞增，則，即當且僅當?shù)忍柍闪?，令，若，可得，令，當，則，可知；當，結合圖象可知當且僅當，方程有根，解得；即或，結合圖象可知：有1個根；有2個根；綜上所述：當時，有3個零點，故A錯誤，C正確；對于選項B：令，若，可得，令，即，注意到，由圖象可知方程有兩個根為一根為，另一根不妨設為，即或，結合圖象可知：有1個根；有1個根；綜上所述：當時，有2個零點，故B正確；對于選項D：令，若，可得，令，即，令，解得，由圖象可設方程有三個根為，且，即或或，結合圖象可知：或有1個根；有3個根；綜上所述：當時，有5個零點，故D正確；故選：BCD.【點睛】易錯點睛：利用數(shù)形結合求方程解應注意兩點1.討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構造兩個函數(shù)，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性、否則會得到錯解．2.正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關鍵，數(shù)形結合應以快和準為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結合．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，點（）在角終邊上，且，則的值可以是______.（寫一個即可）【答案】（，，均可）【解析】【分析】由求得的取值范圍，結合三角函數(shù)的定義進而可得解.【詳解】，即，解得，又，故的值可為、、、、，則，即的值可以是或或.故答案為：（，，均可）.14.春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個敬老院做義工，每個敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】18【解析】【分析】先把小王、小李視為1組，再把剩下的3人分成2組，把這3組全排列即可.【詳解】把小王、小李視為1組，剩下的3個人先分成2組，分組的方式是：1，2；則有，把這3組人再分配給3個敬老院，則.故答案為：1815.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個交點為，若為等腰三角形，則的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】利用點到直線的距離公式求出的長，再利用雙曲線的定義結合等腰三角形列式計算即得.【詳解】雙曲線的半焦距為c，漸近線方程為，點到漸近線距離為，由雙曲線定義得，由為等腰三角形，得，即，因此，則，所以的離心率為.故答案為：16.已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由球的表面積計算出球的半徑，設出該正四棱錐底面邊長及高，由球的半徑可得底面邊長與高的關系，求出該正四棱錐體積的表達式，結合導數(shù)計算即可得.【詳解】由，故該球半徑，設正四棱錐底面邊長為，高為，則，，則有，化簡得，，令，則，故當時，，當時，，即有極大值，即該正四棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于得出體積的表達式后構造函數(shù)，借助導數(shù)研究函數(shù)單調性后可得最值.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，，，.（1）求的面積；（2）如圖，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角關系求解正余弦值，即可根據(jù)正弦定理求解，進而有和差角公式以及三角形面積公式求解即可，（2）根據(jù)邊角關系以及余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為，,所以，因為，，所以，在中，由正弦定理可得，解得.又因為，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，因為，所以，又因為，即，故，所以，，在中，由余弦定理可得，解得.18.記為數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）先計算，再利用得進而證明等比數(shù)列，可得通項公式；（2）先求出，再利用并項求和法求的前項和.【小問1詳解】當時，，所以，當時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即.【小問2詳解】由題意，，則，記數(shù)列的前項和為，所以.19.如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點，是線段上一點，，.（1）證明：平面平面；（2）是否存在點，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】【分析】（1）利用勾股定理及逆定理判定線線垂直，得出線面垂直再證面面垂直即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量研究面面夾角，計算即可.【小問1詳解】因為，是的中點，所以，在直角中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．【小問2詳解】存在點滿足條件，以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，設，則，，，，，設平面的法向量為，則，令得，所以平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由已知得，解得，即，所以存在點使平面與平面的夾角為，此時．20.聊天機器人（chatterbot）是一個經(jīng)由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.（1）求一個問題的應答被采納的概率；（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當最大時的值.【答案】（1）0.75（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，（2）根據(jù)二項分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【小問1詳解】記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件，“一次應答被采納”為事件，由題意，，，則，.【小問2詳解】依題意，，，當最大時，有即解得：，，故當最大時，.21.已知是橢圓的右焦點，點在不過原點的直線上，交于，兩