初中數(shù)學八年級下冊平行四邊形練習題（含解析）

易錯專題03平行四邊形(含解析)共39小題

一.直角三角形斜邊上的中線(共3小題)

1.如圖，在AABC中，ZB=50°,C￡>_LAB于點。，/BCO和NBOC的角平分線相交于點

2.兩個連續(xù)整數(shù)a、b滿足a<VH<b,則以a、b為邊的直角三角形斜邊上的中線

為.

3.如圖(1),已知銳角△ABC中，CD、BE分別是A&AC邊上的高，M、N分別是線段

BC、OE的中點.

(1)求證：MN1.DE.

(2)連接。M,ME,猜想/A與NOME之間的關系，并證明猜想.

(3)當N4變?yōu)殁g角時，如圖(2),上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，

直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由.

，&

C

⑴MC(2)

二.三角形中位線定理(共5小題)

4.如圖，在△ABC中，D,E分別是A8,AC的中點，AC=10,F是OE上一點，連接4尸,

CF,DF=\.若NAFC=90。，則BC的長度為()

BC

A.10B.12C.14D.16

5.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,BC=5.若OE是△ABC的中位線，延長交AABC

的外角NACM的平分線于點F,且。尸=9,則CE的長為

6.已知：如圖，AD.CE分別是△A8C的角平分線和中線，ADLCE,AD=CE=4,則BC

的長等于________________.

7.如圖，在AABC中，AB=6cm,AC=lOcm,A￡>平分NBAC,BDLAD于點D,8。的延

長線交AC于點F,E為BC的中點，求。E的長.

8.(1)如圖1,BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AG±CE,垂足

分別是F、G,連接FG.求證：FG=*(AB+8C+AC).［提示：分別延長4F、AG與直

線BC相交］

(2)如圖2,若BD、CE分別是AABC的內(nèi)角平分線，過點A作AG1CE,

垂足分別是F、G,連接FG.線段FG與△ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的

猜想，并給予證明.

A

三.平行四邊形的性質(zhì)（共4小題）

9.下列平行四邊形中，其圖中陰影部分面積不一定等于平行四邊形面積一半的是（）

10.平行四邊形的一條邊長是｝2cm,那么它的兩條對角線的長可能是（）

A.8czM和\6cmB.10c“？和16c，"C.8c，"和\4cmD.8c/?和\2cm

11.如圖，平行四邊形中，點。為對角線AC、8。的交點，點E為CO邊的中點,

連接0E,如果AB=4,0E=3,則平行四邊形的周長為.

4

12.在平面直角坐標系中，已知。O8AC,其中點O（0,0）、A（-6,-8）,B（.m,-m-

4）,則。OB4C的面積為.

四.平行四邊形的判定（共2小題）

13.在下列給出的條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.AB//CD,ZA=ZC

C.AB=BC,AD=DCD.AD//BC,ZA+ZD=180°

14.如圖，用9個全等的等邊三角形，按圖拼成一個幾何圖案,從該圖案中可以找出個

平行四邊形.

五.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共4小題）

15.下列命題中正確的是（）

A.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B.對角線相等四邊形是矩形

C.對角線垂直的平行四邊形是正方形

D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

16.如圖，已知/xoy=60。，點A在邊0X上，0A=2.過點A作AC_LOY于點C,以AC

為一邊在/XOY內(nèi)作等邊三角形ABC,點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點，

過點P作PO〃oy交ox于點D,作PE//OX交OF于點E.設OD=a,OE=b,則a+2b

的取值范圍是.

17.如圖，在四邊形A8CZ）中，ZA=ZB=ZBCD=90°,AB=DC=4,AD^BC=S.延長

BC到E,使CE=3,連接DE,由直角三角形的性質(zhì)可知DE=5.動點P從點B出發(fā),

以每秒2個單位的速度沿8C-CD-D4向終點A運動，設點P運動的時間為f秒.（f>

0）

（1）當，=3時，BP=；

（2）當1=時，點尸運動到的角平分線上；

（3）請用含f的代數(shù)式表示AABP的面積S；

（4）當0Vf<6時，直接寫出點尸到四邊形ABEQ相鄰兩邊距離相等時,的值.

BBC

備用圖

18.如圖，8D是。ABCO的對角線，NA8。的平分線8E交于點E,NCDB的平分線

DF交BC于點、F.求證：四邊形OEBF為平行四邊形.

19.如圖，已知菱形ABCQ的邊長為6,點M是對角線AC上的一動點，且NABC=120。,

A.3V3B.3+3V3C.6+V3D.6V3

20.如圖，在菱形ABC。中，ZA=100°,E,F分別是邊A8和3c的中點，EPLCD于點

C.50°D.55°

21.如圖，菱形ABC。的頂點B、C在x軸上（8在C的左側(cè)），頂點A、。在x軸上方,

對角線3。的長是|亞，點E（-2,0）為BC的中點，點P在菱形A8CO的邊上運動,

點F在y軸的正半軸上，且/EFO=30。，當點尸到EP所在直線的距離取得最大值時,

點P恰好落在AB的中點處，則菱形ABCD的邊長等于.

七.菱形的判定（共2小題）

22.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZB=60°,ZFAC,ZECA是△ABC的兩個外角，AD

平分NBiC,CC平分NECA.

求證：四邊形A8co是菱形.

23.如圖，在△ABC中，NACB=90。，BC的垂直平分線QE交BC于。，交A8于E,F在

QE上，S.AF=CE=AE.

(1)說明四邊形ACE尸是平行四邊形;

(2)當NB滿足什么條件時，四邊形ACE尸是菱形，并說明理由.

A.菱形的判定與性質(zhì)(共4小題)

24.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE〃AC交于點E,OF〃A3交AC于點尸，且A。

交EF于點O,則NAO尸為()

C.100°D.110°

25.如圖，在四邊形ABC。中，AC=BD=6,E、F、G、4分別是AB、BC、CD、D4的中

點，則改%+尸〃2=

HD

26.如圖，在四邊形ABC。中，AB=AD,CB=CD,E是CO上一點，BE交AC于F,連

接。F.

(1)證明：ZBAC^ZDAC,4AFD=NCFE.

(2)若AB〃CD,試證明四邊形48CD是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得NE尸。=N8C￡>,并說明理由.

27.如圖，已知點E,尸分別是。4BC7)的邊BC,AO上的中點，且/54C=90。.

(1)求證：四邊形AEC尸是菱形；

(2)若NB=30。，8c=10,求菱形AECF面積.

九.矩形的性質(zhì)(共4小題)

28.下列結(jié)論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()

A.內(nèi)角和為360。B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線互相垂直

29.如圖，四邊形ABCD為矩形，H、尸分別為A。、8C邊的中點，四邊形EFGH為矩形,

E、G分別在AB、CO邊上，則圖中四個直角三角形面積之和與矩形EFGH的面積之比

為.

30.如圖，在矩形48CZ）中，點E在A。上，且8E=BC.

（1）EC平分/BE。嗎？證明你的結(jié)論.

（2）若A8=l,NABE=45。，求BC的長.

31.已知：如圖，在nA8C￡＞中，E、F分別為邊AB、8的中點，BO是對角線，AG//DB

交CB的延長線于G.

（1）求證：AADE名ACBF；

（2）若四邊形AGB。是矩形，則四邊形BEZJF是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論

一十.矩形的判定（共1小題）

32.下列各句判定矩形的說法（1）對角線相等的四邊形是矩形：（2）對角線互相平分且相

等的四邊形是矩形；（3）有一個角是直角的四邊形是矩形；（4）有四個角是直角的四邊

形是矩形；（5）四個角都相等的四邊形是矩形；（6）對角線相等，且有一個角是直角的

四邊形是矩形；是正確有幾個（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

一十一.矩形的判定與性質(zhì)（共1小題）

33.如圖，直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,點。是4B上的一個動點，

過點。作J_AC于E點,DF±BC于尸點,連接EF,則線段EF長的最小值為

一十二.正方形的性質(zhì)（共4小題）

34.如圖，以邊長為4的正方形ABCQ的中心。為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與

正方形的邊交于E、尸兩點，則線段EF的最小值為（）

A.2B.4C.V2D.2V2

35.將〃個邊長都為lev??的正方形按如圖所示的方法擺放，點Ai，A2,…，4分別是正方

形對角線的交點，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）

36.有5張邊長為2的正方形紙片，4張邊長分別為2、3的矩形紙片，6張邊長為3的正方

形紙片，從其中取出若干張紙片，且每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個

正方形（原紙張進行無空隙、無重疊拼接），則拼成正方形的邊長最大為（）

A.6B.7C.8D.9

37.如圖，正方形ABC。的邊長為5,E是AO邊上一點，AE=3,動點P由點。向點C運

動，速度為每秒2個單位長度，EP的垂直平分線交AB于交CO于N.設運動時間

為，秒，當時，f的值為（）

3

A.V2B.2C.V3D.-

2

一十三.正方形的判定（共1小題）

38.下列說法正確的是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.每一條對角線都平分一組對角的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

一十四.正方形的判定與性質(zhì)（共1小題）

39.如圖，正方形ABCC的對角線交于點。，以為邊向外作RSAOE,ZA￡D=90°,

連接OE,DE=6,0E=8我,則另一直角邊AE的長為.

B

易錯專題03平行四邊形（含解析）共39小題

參考答案與試題解析

直角三角形斜邊上的中線（共3小題）

1.如圖，在A48C中，ZB=50°,于點。，/BCD和/BOC的角平分線相交于點

則NAC￡>+NCE￡)=()

C.175°D.190°

【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，即可得到ACCF是等邊三角形，進而

得到NAC￡>=60。,根據(jù)NBCD和N8OC的角平分線相交于點E,即可得出/CE￡>=115。，

即可得到ZACD+ZC￡D=60°+115。=175。.

【解答】解：???CO_L4B,尸為邊AC的中點，

：.DF=^AC=CF,

又,：CD=CF,

：.CD=DF=CF,

...△CZ)尸是等邊三角形，

...ZACD=60°,

VZB=50°,

：.ZBCD+ZBDC=U0°,

：N8CD和/BOC的角平分線相交于點E,

：.NDCE+NCDE=65。,

：.ZCED=\\5°,

：.ZACD+ZCED=60°+l15°=175°,

故選：C.

【點評】本題主要考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上

的中線等于斜邊的一半.

2.兩個連續(xù)整數(shù)4、b滿足則以4、b為邊的直角三角形斜邊上的中線為2.5

或2.

【分析】求出VII的范圍，得出。=3,b=4,有兩種情況：①當b是斜邊時，求出，即

1

可；②當必為直角邊時，由勾股定理求出斜邊，再求出耳斜邊即可.

【解答】解：?.,3<VTT<4,

.?.a=3,b=4,

①當〃是斜邊時，以〃、〃為邊的直角三角形斜邊上的中線是2；

②當必為直角邊時，由勾股定理得：斜邊=『32+42=5,

以a、人為邊的直角三角形斜邊上的中線是2.5；

故答案為：2.5或2.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，實數(shù)大小比較等知識點的應

用，主要應用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.如圖(1),已知銳角△ABC中，C。、BE分別是A3、AC邊上的高，M、N分別是線段

BC、OE的中點.

(1)求證：MN±DE.

(2)連接。M,ME,猜想NA與NOME之間的關系，并證明猜想.

(3)當變?yōu)殁g角時，如圖(2),上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，

直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由.

11

【分析】(1)連接。M,ME,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到。M=±BC,ME=加,得到

DM=ME,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計算；

(3)仿照(2)的計算過程解答.

【解答】(1)證明：如圖(1),連接。M,ME,

???C。、BE分別是A3、AC邊上的高，M是3c的中點，

：.DM=|BC,ME=&BC,

:.DM=ME,

又＜N為DE中點、,

:.MN上DE；

(2)在△ABC中，ZABC+ZACB=\SO°-ZA,

■:DM=ME=BM=MC,

：,/BMD+/CME=(180°-2ZABC)+(180°-2ZACB),

=360°-2(ZABC+ZACB)9

=360°-2(180°-NA),

=2ZA,

AZDME=180°-2ZA；

(3)結(jié)論(1)成立，結(jié)論(2)不成立，

理由如下：連接。M,ME,

在^ABC中，NABC+N4cB=180。-NBAC,

■:DM=ME=BM=MC,

：.ZBME+ZCMD=2ZACB+2AABC,

=2(180°-NBAC),

=360°-2ZBAC,

AZDME=180°-(360°-2ZBAC),

=2ZBAC-180°.

B

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形中，斜

邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.

二.三角形中位線定理（共5小題）

4.如圖，在△48C中，D,E分別是48,AC的中點，AC=10,尸是。E上一點，連接AF,

CF,DF=\.若NAFC=90。，則BC的長度為（）

A.10B.12C.14D.16

【分析】先證明E尸=5,繼而得到。E=6；再證明QE為△ABC的中位線，即可解決問

題.

【解答】解：如圖，：乙4尸C=90。，E是AC的中點，

RIAACF中，EF=%C=1x10=5,

.,.￡）￡=1+5=6；

'：D,E分別是AB,AC的中點，

為△ABC的中位線，

：.BC=2DE=\2,

故選：B.

【點評】本題主要考查了三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等兒何知識點及其應

用問題；牢固掌握三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識點是解題的基礎

和關鍵.

5.如圖，在AABC中，NA8c=90。，BC=5.若。E是△4BC的中位線，延長。E交△48C

的外角/ACM的平分線于點F,且。尸=9,則CE的長為6.5.

【分析】依據(jù)三角形中位線定理，可得DE=*C=2.5,DE//BC,再根據(jù)OE〃BC,CF

平分/ACM,可得/ECF=NFCM=/EFC,進而得出CE=FE=6.5.

【解答】解：：BC=5,OE是AABC的中位線，

1

.*.OE=郵=2.5,DE//BC,

又；￡）尸=9,

；衣=9-2.5=6.5,

'JDE//BC,CF平分/ACM,

NECF=NFCM=NEFC,

：.CE=FE=6.5,

故答案為：6.5.

【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等

于第三邊的一半是解題的關鍵.

6.已知：如圖，AD,CE分別是△ABC的角平分線和中線，AD1CE,AD=CE=4,則BC

的長等于」西_.

1

【分析】過E作EF〃A。，交BC于F,依據(jù)EF是△48。的中位線，可得

進而得到RtACEF中，CF=yjEF2+CE2=V22+42=2通，依據(jù)G是CE的中點,

GD//EF,可得。是C尸的中點，進而得到8c的長.

【解答】解：如圖，過E作EF〃A。，交BC于凡則/CEF=90。,

YE是AB的中點，

二尸是B。的中點，

.?.E尸是△ABO的中位線，

：.EF=5AD=2,

RtACEF中，CF=>JEF2+CE2=V22+4Z=2遙，

平分/8AC,ADLCE,

：.ZACE^ZAEC,

：.AC=AE,

，G是CE的中點，

,CGD//EF,

二￡>是CF的中點，

：.CD=DF=BF=V5,

：.BC=3\[5,

故答案為：3圾.

【點評】本題主要考查了三角形中位線定理以及平行線分線段成比例定理的運用，解決

問題的關鍵掌握：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

7.如圖，在AABC中，AB=6cm,AC=\Ocm,A。平分NBAC,B￡>_LA。于點。，8。的延

長線交AC于點F,E為5c的中點，求OE的長.

E

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)定理得到A8=4F=6,BD=DF,求出CF根據(jù)

三角形中位線定理計算即可.

【解答】解：*.?AO平分NB4C,BDLAD,

：.AB^AF=6,BD=DF,

：.CF=AC-AF=4,

<BD=DF,E為BC的中點，

：.DE=|CF=2.

【點評】本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應用，掌握三角

形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

8.(1)如圖1,BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作A凡LBO,AGLCE,垂足

1

分別是尸、G,連接FG.求證：FG=1(AB+BC+AC).偎示：分別延長AF、AG與直

線BC相交］

(2)如圖2,若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，過點A作AG±CE,

垂足分別是尺G,連接尸G.線段尸G與△ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的

猜想，并給予證明.

(1)(2)

【分析】⑴利用全等三角形的判定定理4sA證得AABF絲4MBF,然后由全等三角形

的對應邊相等進一步推出M8=4B,AF=MF,同理CN=AC,AG=NG,由此可以證明

尸G為AAMN的中位線，然后利用中位線定理求得/G=*(AB+BC+AC)；

(2)延長AF、AG,與直線3C相交于"、N,與(I)類似可以證出答案.

【解答】解：(1)如圖1,VAF±BD,/ABF=NMBF,

:?/BAF=/BMF,

在aABF和^MBF中,

(Z.AFB=Z-MFB

\BF=BF,

{Z.ABF=乙MBF

：.4ABF9叢MBF(ASA),

：.MB=AB,

：.AF=MF,

同理：CN=AC,AG=NG,

.?.FG是△AMN的中位線，

1

：.FG=^MN,

1

=*(MB+BC+CN),

i

=5(AB+8C+AC).

(2)猜想：FG=》(ABMC-8C),

證明：如圖2,延長AG、AR與直線BC相交于M、N,

???由(1)中證明過程類似證△A8FgZ\N8/，

:?NB=AB,AF=NF,

同理CM=AC,AG=MG,

：.FG=：MN,

:.MN=2FG,

:.BC=BN+CM-MN=AB+AC-2FG,

1

；.FG=/(AB+AC-BC).

【點評】本題主要考查了三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性

質(zhì)和判定等知識點，解此題的關鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線.

三.平行四邊形的性質(zhì)（共4小題）

9.下列平行四邊形中，其圖中陰影部分面積不一定等于平行四邊形面積一半的是（）

A.B.

C.--------D.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積逐個進行判斷，

即可求解.

【解答】解：A、因為高相等，三個底是平行四邊形的底，根據(jù)三角形和平行四邊形的面

積可知，陰影部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，正確；

8、因為兩陰影部分的底與平行四邊形的底相等，高之和正好等于平行四邊形的高，所以

陰影部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，正確；

C、根據(jù)平行四邊形的對稱性，可知小陰影部分的面積等于小空白部分的面積，所以陰影

部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，正確；

。、無法判斷陰影部分面積是否等于平行四邊形面積一半，錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，并利用性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式進行判斷，

找出選項.

10.平行四邊形的一條邊長是1257,那么它的兩條對角線的長可能是（）

A.8c，〃和\6cmB.10c”？和\6cmC.8c,”和\AcmD.8c/n和\2cin

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)中，兩條對角線的一半和一邊構(gòu)成三角形，利用三角形

三邊關系判斷可知.

【解答】解：A、4+8=12,不能構(gòu)成三角形，不滿足條件，故A選項錯誤；

B、5+8>12,能構(gòu)成三角形，滿足條件，故B選項正確.

C、4+7<12,不能構(gòu)成三角形，不滿足條件，故C選項錯誤；

。、4+6<12,不能構(gòu)成三角形，不滿足條件，故。選項錯誤.

故選：B.

【點評】主要考查了平行四邊形中兩條對角線的一半和一邊構(gòu)成三角形的性質(zhì).并結(jié)合

三角形的性質(zhì)解題.

11.如圖，平行四邊形ABC。中，點。為對角線AC、2。的交點，點E為CO邊的中點,

連接0E,如果A8=4,OE=3,則平行四邊形ABC。的周長為20.

【分析】平行四邊形中對角線互相平分，則點。是8。的中點，而E是C。邊中點，根

據(jù)三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半可得AD=6,進一步即可求

得。ABCQ的周長.

【解答】解：,??四邊形ABCZ)是平行四邊形，

：.OB^OD,OA=OC,

又?點E是CO邊中點

：.AD=WE,即A￡>=6,

.?.□ABC。的周長為(6+4)x2=20.

故答案為：20.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，三角形中位線性質(zhì)應

用比較廣泛；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

4

12.在平面直角坐標系中，己知。O8AC,其中點O(0,0)、A(-6,-8)、BGn,~m-

4),則。O8AC的面積為24.

44

【分析】由A(-6,-8)可得AO的解析式為y=可式，由B(/??,-m-4),可得點B在

44

直線y=可式-4上，設直線y=可式-4與y軸交于點D,則AO//BD,￡)(0,-4),依據(jù)SAABO

1

=SAADO=2X4x6=12,即可得至ljS平行四邊形ABOC=2X12=24.

A

【解答】解：如圖所示，由A(-6,-8)可得，A。的解析式為)=孑，

「4

又?：B(m，—m-4),

3

...點B在直線y=*-4上，

4

設直線)=費-4與了軸交于點D,則A0〃8￡>,D(0,-4),

???SAABO=S&ADO=2x4x6=12,

?'?S平行四邊形A8OC=2x12=24,

故答案為：24.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題時注意：平行四邊形是中心對稱圖形.

四.平行四邊形的判定（共2小題）

13.在下列給出的條件中，不能判定四邊形43。是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.AB//CD,ZA=ZC

C.AB=BC,AD=DCD.AD//BC,ZA+ZD=180°

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定即可判斷A、G根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知求出

根據(jù)平行四邊形的判定判斷B即可；根據(jù)平行線的判定推出AD//BC,根據(jù)平行四邊形

的判定判斷。即可.

【解答】解:

A,'：AB//CDfAB=CD9???四邊形A3CQ是平行四邊形，故本選項錯誤;

B、9：AB//CD,

：.ZA+Z￡>=180°,ZB+ZC=180°,

■:ZA=ZC,

：.ZB=ZD,

???四邊形A3CO是平行四邊形，故本選項錯誤；

C、根據(jù)AB=5C,AD=DCf不能判斷四邊形是平行四邊形，故本選項正確;

D、VZA+ZD=180°,

J.AB//CD,

■:\D〃BC,

...四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了對平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定等知識點的應用，關鍵

是推出證明是四邊形是平行四邊形的條件，題型較好，是一道容易出錯的題目.

14.如圖，用9個全等的等邊三角形，按圖拼成一個幾何圖案，從該圖案中可以找出15

個平行四邊形.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定，可找出現(xiàn)15個平行四邊形.

【解答】解：兩個全等的等邊三角形，以一邊為對角線構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，這

樣的兩個平行四邊形又可組成較大的平行四邊形，從該圖案中可以找出15個平行四邊形.

故答案為：15.

【點評】此題主要考查學生對平行四邊形的判定的掌握情況和讀圖能力，注意找圖過程

中，要做到不重不漏.

五.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共4小題）

15.下列命題中正確的是（）

A.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B.對角線相等四邊形是矩形

C.對角線垂直的平行四邊形是正方形

D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形、平行四邊形的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，本選項說法錯誤：

8、對角線相等平行四邊形是矩形，本選項說法錯誤；

C、對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，本選項說法錯誤；

。、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，本選項說法正確；

故選：D.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷,正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

16.如圖，已知/XOF=60。，點A在邊0X上，0A=2.過點A作AC_L0Y于點C,以AC

為一邊在NXOY內(nèi)作等邊三角形ABC,點P是△ABC圍成的區(qū)域(包括各邊)內(nèi)的一點，

過點交0X于點。，作PE〃OX交。丫于點E.設。。=〃，OE=h,則”+2匕

的取值范圍是2Wa+26是.

【分析】作輔助線，構(gòu)建30度的直角三角形，先證明四邊形EODP是平行四邊形，得

EP=OD=a,在RtzXaEP中，ZEPH=30°,可得E4的長，計算a+2b=20”，確認?！?/p>

最大和最小值的位置，可得結(jié)論.

【解答】解：如圖I,過尸作PH^oy交于點H,

'JPD//OY,PE//OX,

：.四邊形EODP是平行四邊形，NHEP=ZXOY=60°,

：.EP=OD=a,

「△HEP中，NEPH=30°,

11

：.EH=死尸=沙

1

：.a+2b=2(-a+b)=2(EH+EO)=20/7,

2

當尸在AC邊上時，H與C重合，此時OH的最小值=OC=^OA=1,即“+2b的最小值

是2；

當尸在點8時，如圖2,OC=\,AC=BC=V3,

RtACaP中，ZHCP=30°,

；.PH=等，CH=|,

則。，的最大值是：OC+CH=1+尹會即(a+2b)的最大值是5,

H,

B(P)

O2

圖2

圖1

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、平行四邊形的判定

和性質(zhì)，有難度，掌握確認a+2b的最值就是確認?！弊钪档姆秶?

17.如圖，在四邊形A8CD中，ZA=ZB=ZBCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=S.延長

到E,使CE=3,連接。E,由直角三角形的性質(zhì)可知OE=5.動點P從點8出發(fā),

以每秒2個單位的速度沿BC-CO-D4向終點A運動，設點P運動的時間為f秒.(f>

0)

(1)當f=3時，BP=6；

(2)當尸8時,點P運動到NB的角平分線上；

(3)請用含f的代數(shù)式表示AABP的面積S；

(4)當0</<6時?，直接寫出點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等時f的值.

備用圖

【分析】(1)根據(jù)題意可得8P=2r,進而可得結(jié)果;

（2）根據(jù)NA=NB=NBCO=90。，可得四邊形ABC。是矩形，根據(jù)角平分線定義可得

AF=AB=4,得。尸=4,進而可得f的值；

（3）根據(jù)題意分3種情況討論：①當點P在BC上運動時，②當點P在O）上運動時，

③當點尸在AO上運動時，分別用含t的代數(shù)式表示△ABP的面積S即可；

（4）當0<f<6時，點尸在8C、C￡>邊上運動，根據(jù)題意分情況討論：①當點P在BC

上，點P到邊的距離為4,點尸到A8邊的距離也為4,②當點尸在BC上，點P到

AO邊的距離為4,點尸到。E邊的距離也為4,③當點P在CD上，點P到AB邊的距

離為8,但點尸到48、8c邊的距離都小于8,進而可得當f=2s或f=3s時，點P到四

邊形ABED相鄰兩邊距離相等.

【解答】解：（1）BP=2f=2x3=6,

故答案為：6；

（2）作NB的角平分線交A。于F,

備用圖

；.NABF=NFBC,

ZA=ZABC=NBCQ=90。，

二四邊形ABC。是矩形，

,JAD//BC,

:.NAFB=NFBC,

：.ZABF=ZAFB,

：.AF=AB=4,

：.DF=AD-AF=S-4^4,

：.BC+CD+DF=8+4+4=16,

：.2t=\6,解得f=8.

當f=8時，點P運動到/ABC的角平分線上;

故答案為：8；

（3）根據(jù)題意分3種情況討論：

①當點P在8C上運動時，

11

SAABP=2xBPxAB=x2tx4=4t；(0<t<4)；

②當點尸在CO上運動時，

SAABP=IxABxBC=1X4x8=16；(4</<6)；

③當點尸在AO上運動時，

11

SAABP=2xABxAP=zx4x(20-2r)=-4z+40;(6</<10)；

(4)當0C/V6時，點尸在BC、CD邊上運動，

根據(jù)題意分情況討論：

①當點P在8C上，點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等,

點尸到AO邊的距離為4,

.,.點P到AB邊的距離也為4,

即BP=4,

?*.2/=4>解得f=2c；

②當點尸在5C上，點P到邊的距離為4,

.?.點P到DE邊的距離也為4,

備用圖

：.PE=DE=5,

：.PC=PE-CE=2,

/.8-2r=2,解得f=3s；

③當點尸在CD上，如圖，過點P作尸于點H,

點P到。E、8E邊的距離相等，

即PC=PH,

,:PC=2t-8,

,:S&DCE=S&DPE+S^PCE,

111

??.一x3x4=4X5XPW+4X3XPC,

222

：.12=8PH,

A12=8(2/-8),

解得t=苧.

備用圖

綜上所述：f=2或f=3或U苧時，點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線定義、三角形的面積、全等三角形的

判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識.

18.如圖，8。是。ABC。的對角線，的平分線BE交4。于點E,/CDB的平分線

DF交BC于點、F.求證：四邊形DEBF為平行四邊形.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線定義求出推出。尸〃BE,根據(jù)

平行四邊形的判定判斷即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AB//CD,

:.NCDB=NABD,

；￡）斤平分/COB,BE平分NABO,

11

/FDB="CDB,/EBD=^ZABD,

：.ZFDB=ZEBD,

：.DF//BE,

'：AD//BC,IPED//BF,

四邊形DEBF是平行四邊形.

【點評】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質(zhì)和判定等的應用，關鍵是推出

DF//BE,主要檢查學生能否運用定理進行推理，題型較好，難度適中.

六.菱形的性質(zhì)（共3小題）

19.如圖，已知菱形A8C。的邊長為6,點M是對角線4c上的一動點，且NABC=120。,

A.3V3B.3+3V3C.6+V3D.6>/3

【分析】過點D作DEYAB于點E,連接BD,根據(jù)垂線段最短，此時DE最短，即

MA+MB+MD最小,根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長,進而可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點。作OELA8于點E,連接BO,

?.?菱形ABCD中,ZABC=120°,

：.ZDAB=60°,AD=AB=DC=BC,

.?.△ADB是等邊三角形，

，/MAE=30。，

：.AM=2ME,

,:MD=MB,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE,

根據(jù)垂線段最短，此時力E最短，即肱4+M8+M。最小，

；菱形ABCD的邊長為6,

：.DE=y/AD2-AE2=V62-32=3百，

：.2DE=6y/3.

：.MA+MB+MD的最小值是6V3.

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握菱

形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì).

20.如圖，在菱形ABCZ）中，ZA=100°,E,尸分別是邊A8和2c的中點，EPLCD于點

C.50°D.55°

【分析】延長EF交。C的延長線于H點.證明△BEFmACHF,得EF=FH.在RtAPEH

中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得NFPC=NFHP=/BEF.在等腰

△8E尸中易求NBE尸的度數(shù).

【解答】解：延長EF交QC的延長線于//點.

,在菱形A8C。中，乙4=100。，E,F分別是邊A8和8c的中點，

.,.ZB=80°,BE=BF.

：.ZBEF=(180°-80°)+2=50°.

\'AB//DC,：.ZFHC=/BEF=50°.

又,：BF=FC,NB=NFCH,

四△CW.

：.EF=FH.

'：EP±DC,

：.NEPH=90°.

：.FP=FH,則/FPC=NFHP=/8EF=50°.

【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法、直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半等知識點，綜合性較強.如何作出輔助線是難點.

21.如圖，菱形ABCQ的頂點B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），頂點A、。在x軸上方,

對角線8。的長是|S3,點E(-2,0)為8c的中點，點尸在菱形ABC。的邊上運動,

點尸在y軸的正半軸上，且NE尸。=30。，當點尸到EP所在直線的距離取得最大值時,

點P恰好落在AB的中點處，則菱形ABCD的邊長等于便一

【分析】如圖1中，當點尸是4B的中點時，作R7LPE于G,連接EF.首先說明點G

與點E重合時，F(xiàn)G的值最大，如圖2中，當點G與點E重合時，連接4C交8。于”,

PE交BD于J.設BC=2a.利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：如圖1中，當點尸是A8的中點時，作FG_LPE于G,連接ER

VE(-2,0),/EFO=30°,

：.OE=2,EF=4,

"：ZFGE=90°,

：.FG<EF,

...當點G與E重合時，F(xiàn)G的值最大.

如圖2中，當點G與點E重合時，連接AC交BD于H,PE交BD于J.設BC=2a.

：.PE//AC,BJ=JH,

???四邊形ABC。是菱形，

/Tn/in

：.AC1,BDBH=DH=E，即=等

936

J.PELBD,

?.*ZBJE=ZEOF=ZPEF=90°,

：.ZEBJ=ZFEOf

：.4BJEs叢EOF,

??,

EFEO

Vio

,a~

??一，

42

.2/10

..BC—2a=-—.

故答案為：，2-/一10.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段

最短等知識，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，

屬于中考選擇題中的壓軸題.

七.菱形的判定（共2小題）

22.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZB=60°,ZFAC.ZECA是△ABC的兩個外角，AD

平分NfiAC,CO平分NECA.

求證：四邊形ABC。是菱形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形A8C。是平行四邊形，再利用菱形的判

定得出.

【解答】證明：：NB=60。，AB=AC,

...△4BC為等邊三角形，

：.AB=BC,

：.ZACB=60°,

ZFAC=ZACE=12O°,

：.ZBAD=ZBCD=\20°,

.?./8=/。=60。