兩個計(jì)數(shù)原理及其簡單應(yīng)用超好用的公開獲獎高二數(shù)學(xué)人教A

兩個計(jì)數(shù)原理及其簡單應(yīng)用超好用的公開獲獎高二數(shù)學(xué)人教A目錄CONTENTS計(jì)數(shù)原理基本概念排列與組合二項(xiàng)式定理概率初步知識與事件概率隨機(jī)變量及其分布數(shù)理邏輯初步知識與推理方法01計(jì)數(shù)原理基本概念定義舉例說明應(yīng)用范圍分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有$n$類辦法，在第$1$類辦法中有$m_{1}$種不同的方法，在第$2$類辦法中有$m_{2}$種不同的方法，……，在第$n$類辦法中有$m_{n}$種不同的方法。那么，完成這件事共有$N=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}$種不同的方法。從A地到B地可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有4班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從A地到B地共有多少種不同的走法？適用于分類完成任務(wù)的情況，各類辦法相互獨(dú)立，不能同時使用。定義完成一件事，需要分成$n$個步驟，做第$1$步有$m_{1}$種不同的方法，做第$2$步有$m_{2}$種不同的方法，……，做第$n$步有$m_{n}$種不同的方法。那么，完成這件事共有$N=m_{1}timesm_{2}times...timesm_{n}$種不同的方法。舉例說明3位旅客到4個旅館住宿，每人只住一個旅館，且3人住的旅館各不相同，有多少種住宿方式？應(yīng)用范圍適用于分步完成任務(wù)的情況，各步驟相互依存，必須依次完成。分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)系區(qū)別兩者關(guān)系與區(qū)別從計(jì)算方式上看，分類加法計(jì)數(shù)原理是“加法原理”，即把完成一件事的所有方法數(shù)相加；而分步乘法計(jì)數(shù)原理是“乘法原理”，即把完成一件事的所有步驟的方法數(shù)相乘。此外，兩者的應(yīng)用范圍也有所不同，需要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)選擇合適的方法。分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的兩種最基本、最重要的方法。兩者都是把問題分為若干個部分或步驟來求解，但它們的區(qū)別在于分類加法計(jì)數(shù)原理是各部分相互獨(dú)立，不能同時使用；而分步乘法計(jì)數(shù)原理是各步驟相互依存，必須依次完成。02排列與組合從n個不同元素中取出m（m≤n，m與n均為自然數(shù),下同）個不同元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的一個排列；從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的排列數(shù)，用符號A(n,m）表示。排列定義A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!，此外，特別地，規(guī)定0!=1。排列公式排列定義及公式組合定義從n個不同元素中取出m個不同元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù)，用符號C(n,m）表示。組合公式C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!），其中“!”表示階乘，即從n個元素中取出m個元素的組合數(shù)等于從n個元素中取出m個元素的排列數(shù)除以m的階乘。組合定義及公式VS排列與組合都是研究從一些不同元素中取出部分元素進(jìn)行某種操作的問題，但排列考慮的是元素的順序，而組合則不考慮順序。因此，對于同一個問題，如果考慮順序則用排列數(shù)表示，如果不考慮順序則用組合數(shù)表示。相互轉(zhuǎn)化排列與組合之間可以相互轉(zhuǎn)化。具體來說，從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列可以轉(zhuǎn)化為從n個不同元素中取出m個不同元素的所有組合與這m個元素的全排列的乘積，即A(n,m)=C(n,m)*m!。反過來，從n個不同元素中取出m個不同元素的所有組合也可以轉(zhuǎn)化為從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列除以這m個元素的全排列，即C(n,m)=A(n,m)/m!。區(qū)別與聯(lián)系排列與組合關(guān)系03二項(xiàng)式定理$(a+b)^{n}$的展開式共有$n+1$項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)，即$C_{n}^{0},C_{n}^{1},ldots,C_{n}^{n}$。展開式的通項(xiàng)$T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$，其中$r$是從$0$到$n$的整數(shù)。當(dāng)$b=1$時，$(a+b)^{n}$的展開式變?yōu)?(a+1)^{n}$，其各項(xiàng)系數(shù)之和為$2^{n}$。二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)公式$T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$可用于求二項(xiàng)式展開式中的任意一項(xiàng)。利用通項(xiàng)公式可以求二項(xiàng)式展開式中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)。通過比較相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系，可以確定二項(xiàng)式系數(shù)的增減性。通項(xiàng)公式及應(yīng)用01020304對稱性：$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$，即二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。增減性與最大值：當(dāng)$n$為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)$n$為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于$2^{n}$，即$(a+b)^{n}$展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為$2^{n}$。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，都等于$2^{n-1}$。二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)04概率初步知識與事件概率概率是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，用來量化隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。概率定義概率的取值范圍在0到1之間，包括0和1；必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0；概率具有可加性，即互斥事件的概率之和等于它們的并事件的概率。概率性質(zhì)概率定義及性質(zhì)等可能事件定義在一定條件下，進(jìn)行的試驗(yàn)中，若每一個基本事件（結(jié)果）發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能事件。等可能事件概率計(jì)算公式P(A)=m/n，其中m表示事件A包含的基本事件數(shù)，n表示試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件數(shù)。等可能事件概率計(jì)算1234互斥事件定義相互獨(dú)立事件定義互斥事件概率計(jì)算公式相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式互斥事件和相互獨(dú)立事件概率計(jì)算如果兩個事件不能同時發(fā)生，則稱這兩個事件為互斥事件。P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A和B為互斥事件，P(A∪B)表示A和B的并事件的概率。如果兩個事件的發(fā)生與否互不影響，則稱這兩個事件為相互獨(dú)立事件。P(A∩B)=P(A)P(B)，其中A和B為相互獨(dú)立事件，P(A∩B)表示A和B的交事件的概率。05隨機(jī)變量及其分布設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)。稱X=X(e)為隨機(jī)變量。根據(jù)隨機(jī)變量可能取的值的個數(shù)分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量定義及分類隨機(jī)變量分類隨機(jī)變量定義分布列定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為$x_1,x_2,...,x_n$，事件$X=x_i$的概率為$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,...,n$，則稱$p_1,p_2,...,p_n$為離散型隨機(jī)變量X的分布列。分布列性質(zhì)$p_igeq0,i=1,2,...,n$；$sum_{i=1}^{n}p_i=1$。離散型隨機(jī)變量分布列設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對于任意實(shí)數(shù)x有$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度。$f(x)geq0$；$int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1$；連續(xù)型隨機(jī)變量取個別值的概率為0，即$P(X=a)=0$，其中a為任意實(shí)數(shù)；連續(xù)型隨機(jī)變量在任一區(qū)間上取值的概率與這個區(qū)間是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間無關(guān)，只要這個區(qū)間不包含點(diǎn)a，則$P(a<X<b)=P(aleqX<b)=P(a<Xleqb)=P(aleqXleqb)=int_{a}^f(x)dx$。概率密度函數(shù)定義概率密度函數(shù)性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)06數(shù)理邏輯初步知識與推理方法探討命題的真假性質(zhì)，以及命題間的邏輯關(guān)系，如合取、析取、否定等。命題與命題邏輯真值表與邏輯等價蘊(yùn)含與推理規(guī)則通過真值表判斷復(fù)合命題的真假，理解邏輯等價的含義和判定方法。掌握蘊(yùn)含的概念，了解推理規(guī)則在命題邏輯中的應(yīng)用。030201命題邏輯基本概念

充分條件、必要條件、充要條件判斷方法充分條件理解充分條件的含義，掌握判斷充分條件的方法。必要條件理解必要條