復(fù)習(xí)篇第6講三角恒等變換2024年高一寒假數(shù)學(xué)專題化復(fù)習(xí)與重點化預(yù)習(xí)（人教A版2019）

第6講三角恒等變換本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1兩角和差的正弦，余弦與正切公式①余弦兩角和差公式cos②正弦兩角和差公式sin③正切兩角和差公式tan2輔助角公式asin其中tanφ=b熟記兩個特殊角的化簡過程a:b=1:1型，配πsinx±cosx=a:b=3:1sinx±33二倍角的正弦余弦正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=co③tαn2α=(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推導(dǎo)出sin2α，cos2α，4降冪公式co(由余弦倍角公式可得)5*sin6*sinα=7*sinα?cosβ=cosα?cosβ=sinα?sinβ=8*sinα+sinβ=2cosα+cosβ=2【題型1】三角恒等變換的技巧技巧1“1”的代換【典題1】已知3sinα+4cosα=5，求tanα.解析將3sinα+4cosα=5兩邊平方，得9即9sin即9tan2α【鞏固練習(xí)】1.(★★)已知tanα=2，則1sin2答案53解析∴12.(★★)已知tanα是關(guān)于x的方程2x2-x-1=0則3sin2α答案2解析3===3-1+23.(★★★)已知α∈(π2,π),tan2α=34，則答案-12解析∵tan2α=2tanα1-tan∴tanα=-3或13(舍去)∴sin2α+cos技巧2切化弦【典題1】設(shè)0<β<α<π2,tan(a-β)+tanβ=1A．2α+β=π2 B．2α-β=π2 C．a(chǎn)+2β=解析由題意知，tan(α-β)+tanβ=1cosβ，即等式兩邊同乘以cos(α-β)cosβ，得sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=cos(α-β)，所以sinα=cos(α-β)，即cos(π又0<β<α<π所以π2-α∈(0,π2)所以2α-β=π故選：B．【鞏固練習(xí)】1.(★)若tanθ+1tanθ=4，則A．15B．14C．13答案D解析∵tanθ+1∴sin2θ+cos22.(★★)如果角θ滿足sinθ+cosθ=2，那么tanθ+1tanθ的值是(A．-1 B．-2答案D解析∵sinθ+cosθ=2，∴1+2sinθcosθ=2那么tanθ+1故選：D．3.(★★)如果角θ滿足sinθ+cosθ=2，那tanθ+1答案2解析∵sinθ+cosθ=2，∴1+2sinθcosθ=2那么tanθ+14.(★★★)若α∈0,π2，tan?2答案15解析由tan?2α=cosα2-sin?α，得sin?2αcos?2α=cosα2-sin?α，即2sin?αcos?α1-2技巧3角的變換【典題1】若0<α<π2，-π2<β<0，cosπ4+αA．33B．-33C．5解析∵cosπ4+α=又∵cosπ4∴sin∴cos=13×【典題2】已知sin(α+3π4)=45，cos(π解析由-π4<α<所以cos(α+3由π4<β<3所以sin(π4所以cos=(-35)×所以cos2【鞏固練習(xí)】1.(★)已知cos(π6-α)=答案D解析∵cos?π2.(★)已知cos(π6-α)=34，則答案-解析∵cos(π∴sinα-3.(★★)已知tan(α+β)=3，tan(α+π4)=2，那么答案4解析∵tan(α+π4)=2，又tan(α+β)=3，tan(α+π∴tanβ=tan[α+β-α]=4.(★★)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(答案5解析∵0<α<π2，∴π4∴sin(π4+α)=∴cos(α+β=cos(π5.(★★★)已知α∈(0,π)，sin(α+π3)=35答案-解析設(shè)θ=α+π3，則sinθ=3∵α∈(0,π)，∴α+π3∈(∵sinθ=35∈(12,22)，則cos=2×-6.(★★★)設(shè)0<x1<x2<π答案35解析設(shè)0<x1<∵sin(2x∴0<2x∴π∴-π∴cos(2x∴cos2(=cos2x∴co∴co∴cos(x1技巧4升冪與降次【典題1】已知sin10°=a，則3sin240°A．8a+41-a2B．4a解析3sin選A．【鞏固練習(xí)】1.(★)若cos2θ=14，則sin2θ+2A．78 B．1932 C．138 答案C解析∵cos2θ=1∴sin故選：C．2.(★★)若2cos2?α-πA．-33 B．33 C．-3 D．3解析由于2cos2?α-π3=1+cos?2α，整理得2cos2?α3.(★★★)已知sin?(α+β)sin?(α-β)=答案D解析1=1=1-sin技巧4設(shè)元【典題1】化簡cos解析令x=cosy=sin則x+y=2-2cos?(α+β)cosx-y=cos?2β+cos①+②得2x=2-2=1-cos?2α-∴x=sin2?α【鞏固練習(xí)】1.(★★★)已知銳角α,β滿足α-β=π3，則1cosαcosβ+1A．4 B．43 C．8 D．8答案C解析因為銳角α,β滿足α-β=π3，所以令x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，則x+y=1由題意得x>0，y>0，則1cosαcosβ當且僅當x=y時取等號，此時1cosαcosβ+1故選：C．【題型2】萬能公式和半角公式的運用【典題1】若α∈(0,π)，且sinα+2cosα=2，則tanα2等于解析∵α∈(0,π)，∴α設(shè)tanα2=x∵sinα=2tanα2∴sinα+2cosα=2x即x+1-x2=1+x2【鞏固練習(xí)】1.(★★)已知α∈π2,π，且cosα=-35，則A．2B．－2C．12D答案A解析∵α∈π2,π∴sinα2∴tan2.(★★)已知cosθ=-15，5π2<θ<3π，那么A．105B．-105C．15答案D解析∵5π2<θ<3π∴sin∴sin3.(★★)已知sinα=45，則tanα2答案2或1解析∵sinα=45，∴2tanα24.(★★★)已知cos?θ=-725,答案-解析∵θ∈(-π,0)，∴θ2∴sinθ2∴sin【題型3】積化和公式與和化積公式的運用【典題1】在△ABC中，若B=30°，則cosAsinC的取值范圍是解析cosAsinC==1因為-1≤sin(A-C)≤1，所以-即cosAsinC的取值范圍為[-1【典題2】若A+B=2π3，求cos解析cos2由于A-B∈R，則1-1即所求值域為12【鞏固練習(xí)】1.(★★)已知cosα+cosβ=12，則cosα+β答案14解析∵cosα+cosβ=1∴cosα+β=12.(★★)求值：sin?50°-sin?答案3解析sin?故答案為：3.3.(★★★)在△ABC中，B=π4，則sinAsinC的最大值是答案2+解析sinAsinC==1∵-1≤cos∴-2-當A-C=0，即A=C=3π8時，sinAsinC取得最大值4.(★★★)cosπ7+cos答案1解析cos=1=1【題型4】三角代換【典題1】函數(shù)f(x)=x-4+15-3x的值域是A．[1,2] B．[0,2]解析由x-4≥015-3x≥0得：4≤x≤5所以，函數(shù)的定義域為{x|4≤x≤5}．設(shè)x=4+sin則原函數(shù)化為y=4+si∵0≤θ≤π∴y=sinθ+3∵0≤θ≤π2，∴π所以，y=2sin(θ+π3)則函數(shù)f(x)=x-4+15-3x故選：A．【鞏固練習(xí)】1.(★★★)若4x2+9答案最大值為136，最小值為解析4x2+9設(shè)x=sin則x+y=sinα2所以x+y的最大值為136，最小值為-2.(★★★)解方程1-x答案2解析設(shè)x=sin?α，方程化簡為而|cos當且僅當當α=取α=π4，即1.(★)已知tanα=-12，則2sinαcosA．43B．3C．-43答案A解析原式=22.(★)已知sinα=3cosα，則sin2αA．4+34 B．7+34 C答案B解析∵sinα=3cosα，∴sin故選：B．3.(★★)若α,β∈(0,π)，cos(α-β2)=-1213，A．3365 B．-3365 C．6365答案C解析由于α,β∈(0,π)，所以0<α2<π2故-π<α2-β<且sin(α2-β)=故cos(α2-β)=所以sin=sin(α-β故選：C．4.(★★)已知tanθ是方程x2-6x+1=0的一根，則cosA．34 B．12 C．13 答案C解析∵tanθ是方程x2∴tan2θ可得sin2θ-6sinθcosθ+∴sin2θ=2sinθcosθ=1∴cos故選：C．5.(★★★)已知3cos2α-4sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，且A．π2 B．π C．π6 D答案A解析由3cos2α-4sin2β由3sin2α-2sin2β=0得9sin得(3cos2α-2cos2β)(3cos2α+2cos2β)=5，得3cos2α-2cos2β=53①②聯(lián)立解得cos2α=79，∵α，β為銳角，∴sinα=13，∴cos(α+2β)=cosαcos2β－∵α+2β∈(0，3π2故選：A．6.(★★)已知sin(α+β)?sin(β-α)=m，則cos2α-cos2β答案m解析sinα+β7.(★★★)若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π答案3解析∵α∈(0,π2)∴cos2α=2∴cos∴cosα-sinα=15①,可得cosα>sinα∴①式兩邊平方可得：1-2sinαcosα=125，解得∴2sinαcosαsin∴解得：tanα=34或43(大于1故答案為：348.(★★★)求函數(shù)y=3x+6+8-x的值域為答案[解析設(shè)u=3x+6，v=8-x，則令u=30∵u、v≥0，∴y=210∴10函數(shù)y=3x+6+8-x9.(★★★)已知cos?(α-β)=-1213，cos(α+β)=1213，且α-β∈答案π解析由α-β∈π2,π得sin(α-β)=513且cos(α+β)=1213cos2β=-12又α-β∈π2,π∴2β∈π2,3π210.(★★★★)已知f(x)=1sinx(1)若x∈(0,π2)(2