初中數學二次函數的性質解答題訓練含答案

初中數學二次函數的性質解答題專題訓練含答案

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一、解答題(共17題)

1、在平面直角坐標系xOy中，點4(xi,y)),B(x2,y2)在拋物線y=ax

"+2ax(0<a<3)上，其中x,<x2?

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)若力(-2,y,8(0,夕2),直接寫出y,,y2的大小關系；

(3)若X/+*2=l-a,比較y1,y2的大小，并說明理由.

2、已知0為坐標原點，直線1：y=-+2與x軸、y軸分別交于A>。兩

點，點8(4,2)關于直線1的對稱點是點E,連接比交x軸于點D.

(1)求證：AD=CD；

(2)求經過B、C、D三點的拋物線的函數表達式；

5

(3)當x>0時，拋物線上是否存在點P,使S△瞰=35A^?若存在，求點P的

坐標；若不存在，說明理由.

3、如圖，拋物線y=，+bx+c與x軸交于A、B兩點,且/(T°),對稱軸為直線x=2.

(1)求該拋物線的函數達式；

(2)直線，過點A且在第一象限與拋物線交于點C.當NC49=45。時，求點C的坐標;

(3)點Z)在拋物線上與點C關于對稱軸對稱，點P是拋物線上一動點，令,當

"馬口，la4時，求面積的最大值(可含以表示).

4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=T+壇+。交x軸于點A和C(LO),交》軸于

點以0,3),拋物線的對稱軸交x軸于點S,交拋物線于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段。后繞著點。沿順時針方向旋轉得到線段0日,旋轉角為2(0°<&<90。)，連

BE1+2>

接AE',3?，求3的最小值.

(3)河為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,

曾為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由；

5、如圖，拋物線產“-2x+c(aw0)與x軸交于力、8(3,0)兩點，與>軸交于點

。(0,—3),拋物線的頂點為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸在拋物線的對稱軸上，點0在x軸上，若以點尸、Q、B、C為頂點，BC

為邊的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點P、Q的坐標；

(3)已知點物是x軸上的動點，過點"作x的垂線交拋物線于點G,是否存在這樣的

點"，使得以點/、"、。為頂點的三角形與△8⑦相似，若存在，請求出點〃的坐

標；若不存在，請說明理由.

這20天中，該產品每天的價格y(單位：元/件)與時間t的函數關系式為：y=At

+30(t為整數)，根據以上提供的條件解決下列問題：

(1)求出加關于t的函數關系式；

(2)這20天中哪一天的日銷售利潤最大，最大的銷售利潤是多少？

(3)在實際銷售的20天中，每銷售一件商品就捐贈a元(aV6)給希望工程，通

過銷售記錄發(fā)現，這20天中，每天扣除捐贈后的日銷利潤隨時間t的增大而增大，求a的

取值范圍.

7、如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=aM+2ax+5(aV

0)從左到右依次交x于點4、B,交y軸于點C,且力6=8

(1)求a的值

(2)點〃在第二象限的拋物線上，其橫坐標為t,連接劭，交y軸于點E,設線段

CE的長為d,求d與1之間的函數關系式

8、某板栗經銷商在銷售板栗時，經市場調查：板栗若售價為10元/千克，日銷售量為34

千克，若售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克，現設板栗售價為x元/千克

(x210且為正整數).

(1)若某日銷售量為24千克，直接寫出該日板栗的單價；

(2)若政府將銷售價格定為不超過15元/千克，設每日銷售額為獷元，求印關于x的

函數表達式，并求"的最大值和最小值.

(3)若政府每日給板栗經銷商補貼a元后(a為正整數)發(fā)現只有4種不同的單價使

日收入不少于395元且不超過400元，請直接寫出a的值，(日收入=銷售額+政府補貼)

9、函數y=/+尿+c的圖像與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,如=%.點

D在函數圖像上，8/x軸，且切=2,直線/是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂

點.

(1)求6,c的值；

(2)如圖①，連接應'，線段OC上的點F關于直線1的對稱點廠’恰好在線段BE

上，求點F的坐標；

(3)如圖②，動點尸在線段OB上，過點尸作x軸的垂線分別與BC交于點M,與

拋物線交于點N.試問：拋物線上是否存在點Q,使得V產W與△>!.的面積相等，且線

段AQ的長度最??？如果存在，求出點。的坐標；如果不存在，說明理由.

圖①圖②

10、拋物線了=。/+玩+3過點掰-LO),點8(3,0),頂點為c.

(1)求拋物線的表達式及點。的坐標；

(2)如圖1,點尸在拋物線上，連接此并延長交x軸于點D,連接應7,若△加(；是

以幺。為底的等腰三角形，求點P的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點下是線段幺。上(與點A,C不重合)的動點，

連接PE,作￡PEF=ACAB,邊EF交x軸于點F,設點尸的橫坐標為陰，求切的取值

范圍.

y=X2-2(尢-l)x+/——k

11、在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線2(k為常數).

(1)若拋物線經過點(l,k2),求k的值；

(2)若拋物線經過點(2k,yQ和點(2,y2)，且yQy2,求k的取值范圍；

(3)若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當l<x<2時，新拋物線對應的函

_3

數有最小值求k的值.

空

12、如圖，在直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線的頂點為(2,-亍)，拋物線

與軸的一個交點為A(4,0),點8(2,2g),點。與點8關于y軸對稱.

(1)判斷點。是否在該拋物線上，并說明理由；

(2)順次連接AB,BC,CO,判斷四邊形的形狀并證明；

(3)設點尸是拋物線上的動點，連接力、PC、AC,△PAC的面積S隨點戶的

運動而變化；請?zhí)骄縎的大小變化并填寫表格①?④處的內容；在當S的值為②時，

求點P的橫坐標的值.

直線的函數滿足條件的尸點

S取的一個特殊值S的可能取值范圍

表達式的個數

64個③

①②3個

102個④

y——x

13、如圖，點A8在函數，4的圖像上.已知的橫坐標分別為一2、4,直線

與了軸交于點5連接OA,OB_

(1)求直線幺8的函數表達式;

(2)求以。8的面積;

y=-x

(3)若函數4的圖像上存在點P,使得A取8的面積等于口。8的面積的一半，則

這樣的點尸共有個.

14、已知二次函數y=x'+bx+c(a#0)的圖象與x軸交于A,B(1,0)

兩點，與y軸交于點C(0,—3).

(1)求二次函數的表達式及點4的坐標；

(2)點〃是二次函數圖象上位于第三象限內的點，求點D到直線AC的距離取得最大值

時點D的坐標；

(3)點"是二次函數圖象對稱軸上的點，在二次函數圖象上是否存在點".使以M,N,

B,0為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請寫出點/V的坐標(不寫求解過程).

2

15、如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=AX+bx+c的圖象與x軸交于點A

(-3,0)和點8(5,0),頂點為點D,動點M、。在x軸上(點M在點Q

的左側)，在x軸下方作矩形MNPQ,其中MQ=3,/郵=2.矩形MNPQ沿x軸以

每秒1個單位長度的速度向右勻速運動，運動開始時，點〃的坐標為(-6,0),當

點"與點5重合時停止運動，設運動的時間為大秒(1>0).

(1)b—,c=.

(2)連接BD,求直線BD的函數表達式.

(3)在矩形MNPQ運動的過程中，MN所在直線與該二次函數的圖象交于點G,凡所

在直線與直線BD交于點H,是否存在某一時刻，使得以G、"、〃、Q為頂點的四邊

形是面積小于10的平行四邊形？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

(4)連接勿，過點尸作功的垂線交y軸于點R,直接寫出在矩形MNPQ整個運動

過程中點R運動的路徑長.

0),C(0,6)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)拋物線的頂點〃與對稱軸1上的點及關于x軸對稱，直線4M交拋物線于點D,

直線BE交AD于點E,若直線BE、將叢ABD的面積分為1:2兩部分，求點E的坐

標.

(3)P為拋物線上的一動點，。為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點使/、

〃、尸、0為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明

理由.

17、已知二次函數y=-W+&x+cc和一次函數、=添+力的圖象都經過點力(-3,0),

且二次函數>=--+云+。的圖象經過點8(0,3),一次函數>=爾+加的圖象經過點

C(0,-1).

(1)分別求加、〃和b、c的值;

(2)點尸是二次函數>=一9+灰+，的圖象上一動點，且點尸在x軸上方，寫出XACP

的面積5關于點P的橫坐標x的函數表達式，并求S的最大值.

二========

一、解答題

1、(1)X=-1；(2)必=乃；(3)乃〈為.

【解析】

【分析】

2a

(1)根據對稱軸與系數的關系可以直接求得對稱軸為：x=-五=-1；

(2)利用對稱軸到點的距離進行判定y值即可；

(3)利用作差法，將乃-內表示出來，再進行判斷正負，據此判斷大小即可.

【詳解】

2a

解：(1)由題意得：對稱軸X=2a=-l；

(2)VO<a<3,

拋物線開口向上，

又：對稱軸x=-1,

...卜2-(-1)|=1,|0-(-1)|=1

.'.A、B兩點到對稱軸的距離相等，即：乂=為

(3)由題意得：

萬一必

_ax；+2axi-(ax1+2%)

ax；+2axi-ax：-2ax2

-a(%1-x2)(xj+x2+2)

=a(^-X2)(3一百)

*.'O<a<3,xt<x2

：.M-M〈0，

即：必＜為.

【點睛】

本題主要考查二次函數中系數的運用，以及比較函數值的大小，熟練掌握二次函數的基礎運

算是解題的關鍵.

￡_3235

2、(1)見解析；(2)y=15x2~i5x+2；(3)P的坐標(5,0)、(2,

4+后

0)或(2,4).

【分析】

(1)根據已知條件求出A、。的坐標，得到BC//AO,N8C力=NCA。，結合點6(4,

2)關于直線1的對稱點是點E,得到ACEA*CBA,則ZBCA=ZECA,從而得到

AECA=^CAO,即可證AD=CD

12_6

(2)根據點3(4,2)關于直線1的對稱點是點少，求出￡(了，一百)，得

4

到直線CE的解析式，又。點在x軸上，求出〃(5,0),設經過B、C、。三

3

點的拋物線的函數表達式為y=^2+^+c,將8(4,2),D(2,0),(7(0,

2)代入即得拋物線的解析式；

55

=

(3)分別計算S△和3s△曲￡,利用SA/WC3s△俏4■列方程，求出產點的縱坐標,

再代入拋物線得到尸點的橫坐標，即可求出尸點的坐標.

【詳解】

(1)證明：???直線/：y=-+2與x軸、y軸分別交于A、C兩點，B

(4,2),

：.A(4,0),C(0,2)

BC//AO

Z.BCA=Z.CAO

?點6(4,2)關于直線1的對稱點是點E,

：.^CEA=^CBA

ZBCA=ZECA

：.乙ECA=2CA0

：.AD=CD

(2)解：設OD=m,由對稱可得CE=BC=4,AE=AB=0C=2,NAED=NB=90。，

.*.CD=AD=4-m,

在RtAOCD中，ODz+0Cz=CD2,

.,.m2+2?=(4-m)2,

3

m=2,

3

AD(2,0),

設經過B、C、D三點的拋物線的函數表達式為：y=ax2+bx+c,

3

把B(4,2),C(0,2),D(2,0)代入得：

16。+43+c=2

93,八

<—a+—b+c=0

42

c=2

9

'8

a=—

15

<c=2

,32

b----

解得〔15

8_32

經過B,C,D三點的拋物線的函數表達式為：y=15x2-記x+2；

(3)存在，理由如下:

^=5C|2-7?|.1=4|2-^|.1=2|2-^|

5c5cli15，61

§￡&惻=1/0%〔,5=3乂4乂丁5=4yl

?S“BC=m'bQAF=4

...2|2-“=4

解得力=°或為=4

又x>0

8__32_35

當〃二°時，代入y=15x2~15x+2得“5,

8_32_4+陰_4-庫

當為=4時，代入y=5x2~15x+2得K=XX（舍去）

354+后

綜上，P的坐標(5,o)2,0）或（2,4）

【點睛】

本題是二次函數與幾何的綜合題.需要大量的計算過程，找準關鍵點進行計算是本題的關鍵,

一般出現在壓軸題中，難度較大.

3、(1)y=--4x-5；(2)點。的坐標是(6,7)；(3)當1a<2時，xPCD

的最大面積為48+16&-4a、當2Wa￡5時，的最大面積為64

【分析】

(1)根據已知點和對稱軸，用待定系數法求二次函數的解析式即可；

(2)由NC/8=45。得等腰直角三角形，從而求得坐標；

(3分情況討論，在對稱軸的左右兩邊，即當1口<2,1口工5時分別求得APC。面積的

最大值

【詳解】

(1)???拋物線過力(T°),對稱軸為x=2,

2

0=(-1)+6X(-1)+C

［上=2

I2x1,

b=-4

解得V=-5

...拋物線表達式為y=A-4f

(2)過點c作C￡_Lx軸于點E,

?；448=45。，

AE=CE,

設點。的橫坐標為乙,

則縱坐標為九=五+1,

C(xe,x{+1)

代入V=x2-4x-5,得：

x,+l=x；-4x,-5.

解得憶=7（舍去），應=6,

黑=7

...點。的坐標是（6,7）.

（3）由（2）得C的坐標是（6,7）

V對稱軸x=2,

.?.點。的坐標是（一2,7）,

工8=8,

8與x軸平行，點P在x軸下方，

設APCD以8為底邊的高為h

則為=11+7,

，當LI最大值時，的面積最大，

：iSxpWa,i<a<5,

①當1Ma<2口寸，lWxpM2,

止匕時y=x?-4x-5在14孫Ma上》隨x的增大而減小.

ML叩-4。-5卜5+4。-/，

.Z?=,J+7=12+4以一以2

???/立。的最大面積為：

=1xCDxA=1x8x(12+4a-1)=48+16a-41

②當2<a<5^,止匕時V=x2-4x-5的對稱軸

x=2含于IMxpWa內

,ML#一4x2-5|=9,

.二4=9+7=16,

???△汽力的最大面積為：

」=-xCDxA=1x8x16=64

22.

綜上所述：當14。<2時，的最大面積為48+16a-4a2,

當2K45時，的最大面積為64.

【點睛】

本題考查了用待定系數法求函數表達式，二次函數圖像與性質，二次函數求最值問題，熟練

掌握二次函數的圖像與性質是解決本題的關鍵.

展

4、(1)P=f2-2x+3；(2)~；(3)存在，M點的橫坐標分別為：2,-1,

-1+6-1-75

2或2.

【解析】

【分析】

(1)待定系數法求二次函數解析式，設解析式為歹=-丁+從+，將C(LO),現0,3)兩點代

入求得方，。的值即可；

DE"I_J>—AE1

(2)胡不歸問題，要求3的值，將折線化為直線，構造相似三角形將3轉化

'DE，BE'+—AE'

為3,再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得3最值；

(3)分2種情形討論：①力△為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質可以

求得N點的坐標；

②為矩形的對角線，設不為4?的中點，RN=\AB,利用兩點距離公式求解方程可

得N點的坐標.

【詳解】

解：(1):y=過C(L。)，8(0,3)

-l+b+c=0

.?.c=3

I.b=-2,c=3

：.拋物線的解析式為：y=---2x+3

OD=-OE

(2)在。七上取一點D,使得3,連接AE',BD

OD=-OE=^-OE'

?.*33

-3+1

x=------=—1d

對稱軸2

...￡(T,0),0E=l

OE'=OE=1,OA=3

OE'_OD

：.~OA~~OE'~3,2D0E'=4E'0A

：.LDOE'^>LE'OA

DE'=-AE'

：.3

BE'+-AE'=BE'+DE'

：.3

當B,S',D三點在同一點直線上時，BE*DE'最小為BD.

OD=-

在RtM。。中，3,OB=3

BD=JOB'+OD'=$=容

圾

BE'+-AE'?…,

即取小值為

(3）情形①如圖,AB為矩形的一條邊時,

y=0

2

聯立y=-x-2x4-3

..工(-3,0),04=3

???OB=3

..明430是等腰RU9Z&40=45°

分別過工，3兩點作石的垂線，交"一一一2"3于點NIM,

過兇,縱作軸，死尸，五軸，

4QBN]=4PA11=A5。

△BNQ,△/死尸也是等腰直角三角形

設QB=m,則MQ=加，所以跖（-也加+3）

代入y=-xJ2x+3,解得的=1,的=0（不符題意，舍）

-M（-L4）

同理，設。產="，則PN=n+3,所以抽（附,一”可

代入P=-x2-2x+3,解得n1=2（叼=-3（不符題意，舍）

超（2,-5）

②AB為矩形的對角線，設A為/6的中點，則2

VJS(-3,0),5(0,3)

33_____

"2"2),AB=疔7?=3④

RB=-AB=—

22

-：RN=-AB

2

逑

2

設N(x,-/-2x+3),則

(x+亨+&+2X管=(當2

整理得：x(x+3)b+x-l)=°

解得：々=0（不符題意，舍），x,=-3（不符題意，舍），

-1+小&

管―-

-i+/-1-V5

:綜上所述：從點的橫坐標分別為：2,-1,或.

【點睛】

本題考查了二次函數的性質，待定系數法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數與一

次函數交點，矩形的性質，等腰直角三角形性質，平面直角坐標系中兩點距離計算等知識，

能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關鍵.

5、(1)Z-2x-3；(2)點尸GT或尸(13、點Q(4,0)或點0(-2,0).(3)

810

存在，M(0,0)或，"(5,0)或物(6,0)或"(5，0)

【解析】

(1)根據二次函數表達式和已知坐標點代入計算即可，

(2)以點。、0、3、C為頂點，回為邊的四邊形為平行四邊形，分為兩種情況:

月Q08C或馬Q*BC,根據平行四邊形對邊相等且平行求解即可，

(3)先根據題意求出A點坐標和頂點坐標，根據B,C,D坐標點得知△BDC是

直角三角形，豆4BCD=對，設點〃得坐標(制,0),則點G得坐標為(如1-2加-31,

根據相似的性質分情況求解即可.

【詳解】

解：(1)將點3(3,0),C(0,—3)分別代入產加*-2—,中，

9?-2x3+c=0

得：i。=-3,

以=1

解得h=-3,

拋物線得函數關系為廠-—2x-3

(2)點尸GT或尸(1,3)、點Q(4,。)或點<2(-2.0).

如圖:

?.?以點P、Q、B、。為頂點，/為邊的四邊形為平行四邊形,

...4或吟MBC,

?.,點4(3,0),<7(0,-3),

當片QM5C時,則%i=BC,

設對稱軸與x軸交于點M,

P】M=0C=3,MQi=O8=3,

?(1,3),ft(-2.0).

???

同理巴Q/力C時，鳥(L-3),Q(4,0)；

故答案為：召(L3).Q(-2,0)；鳥(1,-3),02(4,0).

(3)當尸°時，X2-2X-3=0,

解得：再=-1,為=3,

A(-1,0)

乂-2x-3=(x-11—4

???拋物線得頂點D得坐標為（1,—4）

?.?。（0,—3）、3（3,0）、D（1,-4）

BD2+21+42=20,CZ?2=12+12,BC^32+32,

BD2=CD2+BC2

/.△是直角三角形，且N比》=90，

設點"得坐標（加，。），則點G得坐標為網/-2鹿-3）,

根據題意知：

ZAMG=ZBCD=90。

/.要使以A、M、G為頂點得三角形與△BCD相似，需要滿足條件：

_A_M_=_B_C項—_A_M_=_C_D

MGCD”MGBC

-1-w_3y/2-\-m_顯

①當*一1時，此時有：總-2m-3應或/_2.-3372

解得：㈣一可的一一或的=0,加2=-1,都不符合太-1,所以忌-1時無解.

m+\_30m+1_應

②當-K加工3時，此時有：-（笳-2.-3）應或-（笳-2.-3）3點

解得：的一了所一（不符合要求，舍去）或的=o,叼=-1（不符合要求，舍去），

號,。

所以"（3）或〃（0,0）

w+1_301_y/2

③當力＞3時，此時有：/-2掰-3y/2或3應

=10=_]

解得：加「不’的-一（不符合要求，舍去）或的=6,附=7（不符要求，舍去）

10

所以點"（6,0）或"（百，0）

答：存在點"，使得/、"、G為頂點得三角形與△BCD相似，點M得坐標為："（0,

810

0）或"（5,0）或"（6,0）或〃（1，0）.

【點睛】

此題考查二次函數相關知識，綜合性較強，涵蓋平行四邊形性質和三角形相似及勾股定理，

有一定難度.

6、（1）^=-2^+100；（2）在第15天時日銷售利潤最大，最大利潤為612.5元；

（3）2.25<<2<6

【分析】

（1）由題意得，設加=*+以根據表格中的數據，代入求解即可；

（2）設日銷售利潤為印元，求得印與￡的關系式，根據二次函數的性質求解最大值即可;

（3）根據20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據函數的性質，求解即可.

【詳解】

解：（1）由題意得，設:+b,將（2,96）,（女94）代入解析式，得

2f+B=96t=-2

<<

孕+6=94,解得卜=100,即w=-2z+100

故答案為：掰=-2￡+100

(2)設日銷售利潤為印元，則由題意可得,

jy=(-2^4-100)x(1^+30-25)

4

1

=——t0+15^+500

2

1

0+612.5

--<0

2，開口向下

:.當￡=15時，%大=612.5

在第15天時日銷售利潤最大，最大利潤為612.5元

取=(-2?+100)%+25-20-a]

(3)由題意得：<4)

1,,

———t+(15+2(2)/+500—lOOtj

2,

/.對稱軸為：￡=15+2a,

???每天扣除捐贈后的日銷利潤隨時間￡的增大而增大，且1金￡20,

15+2a>19.5,

/.a>2.25,

又,?a<6

/.2.25<a<6.

【點睛】

本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解答本題的關鍵.

7、(1)a~~3；(2)d=-t

【分析】

2a,

x=——=-1

(1)先求出拋物線對稱軸為2a，再根據=8,則1、B到對稱軸的距離

為4,即可求出4(-5,0),6(3,0),然后把B點坐標代入拋物線解析

式中求解即可；

(2)由〃的橫坐標為t,得到I33J過〃作加_Lx軸于點H,則

122V

c”122DHOE

DH=—t——￡+5ctonZ.DBH=----=--------------=—0E,

33,加=-亡，再由BH,即3T3,進行求

解即可.

【詳解】

解：(1)拋物線的解析式為y=ax2+2ax+5

x=———=-1

/.拋物線的對稱軸為直線2a

，4、B關于直線x=-1對稱

：AB=8,

，力、B到對稱軸的距離為4,

二1(-5,0),8(3,0),

???把B點坐標代入拋物線解析式得：9a+6a+5=0,

1

a=--

???3

1

a=——

(2)???3,

y=-—x__x+5

???拋物線解析式為33,

?；D的橫坐標為t,

DH=--t2--t+5

過〃作掰_Lx軸于點〃，則33,OH=~t,

,：B(3,0),

OB=3,

：.陰=3+(-t)=3-t,

122c

——t—一￡+5萬口

DHOE0E

..tanNE)BH.=-----=-----33_

BHOBg|J3-t-3,

-i2-2z+15

0E=

3-t

y=——x—x+5

???C是拋物線33與y軸的交點,

CQ5),

0C=5,

—2/+15

=0C-0E=5-

--

【點睛】

本題主要考查了求二次函數解析式，二次函數的對稱性，解直角三角形，解題的關鍵在于能

夠熟練掌握二次函數的相關知識.

8、（1）該日板栗的單價為15元/千克；（2）獷關于x的函數表達式為獷=-2x

%54x,獷的最大值為364元，獷的最小值為340元；（3）a的值為35或36.

【分析】

（1）根據售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克，且某日銷售量為24千克，

列方程求解即可；

（2）根據題意，利用每日銷售額等于銷售量乘以銷售單價，列出函數關系式，并將其寫成

頂點式，根據二次函數的性質可得答案；

(3)由題意得：395￡2x?+54x+a<400,由二次函數的對稱性及只有4種不同的

單價使日收入不少于395元且不超過400元，可知x的取值為12,13,14,15,

計算可得a的值.

【詳解】

解：(1)根據題意得：34-2(x-10)=24,

解得x=15,

/.該日板栗的單價為15元/千克；

(2)根據題意得：

獷=x[34-2(x-10)]

=-2x2+54x

27729

=-2(%-T)2+V,

由題意得：10Wx<15，且x為正整數，

V-2<0,

,當x=13或14時，w有最大值，最大值為364元.

27729

當x=10時，甲有最小值，最小值為：-2(10-2)?+~=340(元).

w關于x的函數表達式為獷=-2/+54x,w的最大值為364元，w的最小值為340

元；

(3)由題意得：395￡2x?+54x+a<400,

???只有4種不同的單價使日收入不少于395元，4為偶數，

...由二次函數的對稱性可知，x的取值為12,13,14,15,

當x=12或15時，-2x2+54x=360；當x=13或14時，-lx2+54x=364,

'：補貼a元后日收入不少于395元且不超過400元,360+35=395,364+36=400,

，a的值為35或36.

【點睛】

本題考查了二次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系、熟練掌握二次函數的性質

是解題的關鍵.

9、(1)i=-2,c=-3；(2)點F的坐標為(0-2)；(3)存在滿足題意的點Q,

坐標為2'4,或5'4\

【分析】

X=1=-1Z>2

(1)CD=2,則函數對稱軸2,即：b=-2,則函數表達式為：>=x-2x+c,

OB=OC,則點8坐標為(Y，°),把點8坐標代入函數表達式，即可求解；

(2)直線龍的表達式為：y=2x-6,把x=2代入上式得：jz=2x2-6=-2,即：點坐

標為砥2,-2),即可求解;

(3)設點P的坐標為伽，°),可表示出PN、PA、PB的長，作QU”垂足為R,

則可求出QR的長，用n可以表示出Q、R、N的坐標，在必&磔及中用勾股定理可求

出關于n的二次函數，利用二次函數的性質可以求出Q點的坐標

【詳解】

x=i=-L>

(1)CD=2,則函數對稱軸2,即：b=-2,

則函數表達式為：P=x2-2x+c,QB=OC,則點8坐標為(Y，°),

把點8坐標代入函數表達式，解得：。=-3或，=0舍去)，

答：b=-2,c=-3；

(2)二次函數表達式為：y=x?-2x-3,

函數對稱軸為x=l,則頂點6坐標為(L-4),

把點￡、B坐標代入一次函數表達式:

3加+〃=0fw=2

y=爾+力得:加+*=-4,解得：儲=-6,

則直線BE的表達式為：》=2X-6,

由題意得：點/的橫坐標為2，把x=2代入上式得：V=2x2-6=-2即：點坐標為尸（2,-2）,

.?.點尸的坐標為（°，-2）

（3）存在點Q滿足題意.

設點尸坐標為伽，°）,則PA=n+\,

PB=PM=3-?,PAT=-?2++3.

如圖，作QRIPN,垂足為R

*/竄=,

.；(M+1)(3—力=](-/+2附+3)。

.?乙乙

QR=1

①當點。在直線刖的左側時，點。的坐標為(/-1，-一甸，氏點的坐標為5,1一%，N

點的坐標為5,方-2M-3)

在R2QRN中,畋2=1+伽_3)2,

”3(1-15)

/.當一亍時，嶺取得最小值1,此時Q點的坐標為2'4,

②當點Q在直線網的右側時，點Q的坐標為(，+14一41,

同理畋2=1+Q-I)2,

1/15.

當2時，加取得最小值1,此時Q點的坐標為2'/；

J_15日_15

綜上可知存在滿足題意的點Q，坐標為2'/或、2'4\

【點睛】

本題考查的是二次函數知識的綜合運用，涉及到一次函數、三角形面積計算、二次函數的性

質、分類討論的思想等知識點，解本題的關鍵在于通過坐標確定線段的長度，本題考查的知

識點較多，綜合性較強，難度總體較大.

7205

2,0,oc，，尸(一，)-1<W<一

10、(1)>=-x+2x+3,C(l,4).(2)39；(3)4

【分析】

(1)將48的坐標代入解析式，待定系數法求解析式即可，根據頂點在對稱軸上，求得

對稱軸，代入解析式即可的頂點。的坐標;

(2)設D3,0),根據△%C是以/C為底的等腰三角形，根據AD=CD,求得D點的

坐標，進而求得CD解析式，聯立二次函數解析式，解方程組即可求得P點的坐標；

(3)根據題意，可得△。的△/咫，設AS=n,根據相似三角形的性質，線段成比例，

可得20、，根據配方法可得冽的最大值，根據點￡是線段/C上(與點A,

C不重合)的動點，可得活的最小值，即可求得加的范圍.

【詳解】

(1)?.,拋物線>="2+"+3過點/(-L0),點5(3,0)；

a-3+3=0

、9a+3b+3=0f

a=-l

解得U=2,

..y=-/+2x+3,

b2[

、：X=———=------=I29

2a2x(-1),代入y=-x+2x+39

解得：>=4,

二頂點Cd。

(2)設Q@。)，

.'(TO),是以/C為底的等腰三角形，

AD=CD

即J(d+l)Jj(d_l)2+W

3+1)2=3_1尸+42

解得d=4

。(4,0)

...C(1,4),D(4,O)

設直線C3的解析式為廣玄+b

Ak-\-b=0

上+3=4

解得

_4

~3

16

bT

416

y=-―彳+—

二直線8的解析式為y33

416

y=--%+—

，33

聯立〔＞=*+2才+3

7

%

_20=1

M=—

解得：I9,n=4

P(120

(3)???點尸的橫坐標為打，/T°),。(1，4),0'/

AC="+1尸+甲=2邪,AF=m+\

72020

CP=J(--l)2+(--4)

T

設AE=n,則C下=2小一%，

???△24c是以/C為底的等腰三角形，

ZDAC=ZDCA

???APEF=乙CAB=AEAF,ZCEF=AEAF+ZAFE=APEF+乙CEP

ZCEP=ZAFE

hCEP^^AFE

AF_AE

~CE~~CP

M+1_n

2有f-變

即9

,m--一(?2-2>/5n)-1

整理得20kV

tn=——(n—?^5)2+—M2

2044

當￡點與C點重合時，尸與A點重合，由題意，點E是線段HC上(與點A,C不重

合)的動點，

?.?止1,0)

：.m>-\

—1<也<2

”的取值范圍為：一4.

【點睛】

本題考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與